中考數學總復習 第二部分 空間與圖形 第六章 圖形與變換、坐標 課時31 銳角三角函數及其應用課件.ppt

第二部分 空間與圖形 課時 31 銳角三角函數及其應用 第六章 圖形與變換、坐標 知識要點梳理 1. 銳角三角函數的定義：如圖 2-6-31-1，在 Rt ABC中， C 90 ，則有 （ 1）正弦： sinA _ _. （ 2）余弦： cosA _ _. （ 3）正切： tanA _ _. 2. 特殊角的三角函數值： 3. 解直角三角形的關系公式 （如圖 2-6-31-2）： （ 1）三邊關系： _. （ 2）角關系： A+ B=_. （ 3）邊角關系： sinA=_， sinB=_， cosA=_, cosB=_， tanA=_， tanB=_. a2+b2=c2 90 4. 解直角三角形的應用的有關概念 : （ 1）如圖 2-6-31-3,仰角是 _，俯角是 _. （ 2）如圖 2-6-31-4,方向角： OA： _， OB： _， OC： _， OD： _. BOA AOC 北偏東 60 東南方向 正東 南偏西 20 （ 3）如圖 2-6-31-5,AB的坡度 iAB=_， 叫 _， tan =iAB=_. 坡角 重要方法與思路 解直角三角形的應用問題的有關要點 : （ 1）應用范圍： 通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關測量問題， 如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，解此類問題 關鍵在于構造出直角三角形，通過測量角的度數和測量邊的 長度，計算出所要求的物體的高度或長度 . （ 2）一般步驟： 將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，構造出直角 三角形，轉化為解直角三角形的問題） ; 根據題目的已知條件選用適當的銳角三角函數或邊角關系 去解直角三角形，得到數學問題的答案，再轉化得到實際問 題的答案 . 中考考點精練 考點 1 銳角三角函數、解直角三角形 1. （ 2016沈陽）如圖 2-6-31-6，在 Rt ABC中， C=90 ， B=30 ， AB=8，則 BC的長是 （ ） D 2. （ 2014汕尾）在 Rt ABC中， C=90 ，若 sinA= ，則 cosB的值是 （ ） 3. （ 2014廣州）如圖 2-6-31-7，在邊長為 1 的小正方形組成的網格中， ABC的三個頂 點均在格點上，則 tanA等于 （ ） B D 4. （ 2015廣州）如圖 2-6-31-8， ABC中， DE是 BC的垂直平 分線， DE交 AC于點 E，連接 BE.若 BE=9， BC=12，則 cosC=_. 解題指導： 本考點的題型一般為選擇題或填空題，難度較低 . 解此類題的關鍵在于畫出直角三角形的圖形，利用銳角三角 函數的定義進行計算，要熟練掌握銳角三角函數包括正弦、 余弦、正切等概念的定義和計算公式（注意：相關要點請查 看“知識要點梳理”部分，并認真掌握） . 考點 2 解直角三角形的應用 1.（ 2014廣東）如圖 2-6-31-9，某數學興趣小組想測量一棵樹 CD的高度，他們先在點 A處測得樹頂 C的仰角為 30 ，然后沿 AD 方向前行 10 m，到達 B點，在 B處測得樹頂 C的仰角高度為 60 （ A， B， D三點在同一直 線上） .請你根據他們的測量 數據計算這棵樹 CD的高度 （結果精確到 0.1 m） . （參考數據： 1.414， 1.732） 解： CBD= A+ ACB， ACB= CBD- A=60 -30 =30 . A= ACB. BC=AB=10（ m） . 在 Rt BCD中， 答：這棵樹 CD的高度為 8.7米 . 2. （ 2014珠海）如圖 2-6-31-10，一艘漁船位于小島 M的北偏 東 45 方向、距離小島 180海里的 A處，漁船從 A處沿正南方向 航行一段距離后，到達位于小島南偏東 60 方向的 B處 . （ 1）求漁船從 A到 B的航行過程中與小島 M之間的最小距離 （結果用根號表示）； （ 2）若漁船以 20海里 /小時的速度從 B沿 BM方向行駛，求漁船 從 B到達小島 M的航行時間（結果精確到 0.1 小時） .（參考數據： ） 解：（ 1）如答圖 2-6-31-1， 過點 M作 MD AB于點 D. AME=45 ， AMD= MAD=45 . AM=180海里， MD=AMcos45 = （海里） . 答：漁船從 A到 B的航行過程中與小島 M間 的最小距離是 海里 . （ 2）在 Rt DMB中， BMF=60 ， DMB=30 . MD= 海里， 答：漁船從 B到達小島 M的航行時間約為 7.4小時 . 解題指導： 本考點的題型一般為解答題，難度中等 . 解此類題的關鍵在于借助實際問題中的俯角、仰角或方向角 等構造直角三角形并解直角三角形 . 熟記以下解直角三角形 的應用問題的一般過程： （ 1）將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，構造出直 角三角形轉化為解直角三角形問題）； （ 2）根據題目已知特點選用適當銳角三角函數或邊角關系去 解直角三角形，得到數學問題的答案，再轉化得到實際問題 的答案 . 考點鞏固訓練 考點 1 銳角三角函數、解直角三角形 1. 在 Rt ABC中， C=90 ， AB=13， AC=12，則 cosA=（ ） 2. 如圖 2-6-31-11，在網格中，小正方形的邊 長均為 1，點 A， B， C都在格點上，則 ABC 的正切值是 （ ） C D 3. 如圖 2-6-31-13，在平面直角坐標系中，直線 OA過點（ 2， 1），則 sin 的值是 （ ） B 4. 在 Rt ABC中， C=90 ，如果 AC=4， sinB= ，那么 AB=_. 5. 如圖 2-6-31-13， ABC中， ACB=90 ， sinA= ， BC=8， D是 AB的中點，過點 B作直線 CD的垂線，垂足為點 E. （ 1）求線段 CD的長； （ 2）求 cos DBE的值 . 6 考點 2 解直角三角形的應用 6. 如圖 2-6-31-14，小山崗的斜坡 AC的坡度是 tan = ，在 與山腳 C距離 200 m的 D處，測得山頂 A的仰角為 26.6 ，求小山 崗的高 AB.（結果取整數，參考數據： sin26.6 =0.45， cos26.6 =0.89， tan26.6 =0.50） 解： 在直角三角形 ABC中， 在直角三角形 ADB中， BD-BC=CD=200, 解得 AB=300（ m） . 答：小山崗的高 AB為 300米 . 7. 如圖 2-6-31-15，甲、乙兩條輪船同時從港口 A出發(fā)，甲輪 船以每小時 30海里的速度沿著北偏東 60 的方向航行，乙輪船 以每小時 15海里的速度沿著正東方向行進， 1小時后，甲船接 到命令要與乙船會和，于是甲船改變了行進的方向，沿著東南 方向航行，結果在小島 C處與乙船相遇 .假設乙船的速度和航向 保持不變，求港口 A與小島 C之間的距離 . 解：如答圖 2-6-31-2. 由題意，得 1=60 ， 2=30 ， 4=45 ， AB=30海里 . 過點 B作 BD AC于點 D， 則 1=3=60 . 在 Rt BCD中， 4=45 ， CD=BD. 在 Rt ABD中， 2=30 ， AB=30海里， 8. 某國發(fā)生 8.1級強烈地震，我國積極組織搶險隊赴地震災區(qū) 參與搶險工作，如圖 2-6-31-16，某探測對在地面 A， B兩處均 探測出建筑物下方 C處有生命跡象，已知探測線與地面的夾角 分別是 25 和 60 ，且 AB=4 m，求該生命跡象所在位置 C的深 度 . （結果精確到 1 m，參考數據： sin25 0.4 ， cos25 0.9， tan25 0.5 ， 1.7） 解：如答圖 2-6-31-3，作 CD AB交 AB的延長線于點 D. 設 CD為 x m. 在 Rt ADC中， DAC=25 ， 在 Rt BDC中， DBC=60 ，而 AB=4 m, 解得 x3 （ m） . 答：生命跡象所在位置 C的深度約為 3 m.