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1、第四章 第五節(jié) 二維正態(tài)分布及二維均勻分布 二、二維均勻分布 一、二維正態(tài)分布 一、二維正態(tài)分布 設(shè)二維隨機變量 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 ( , )XY 2 1 222 112 1 1 ( )( , ) e xp 2( 1 )21 xf x y 2 1 2 2 2 1 2 2 ( ) ( ) ( )2 x y y 其中 為常數(shù)， 1 2 1 1, , , , 則稱 服從 二維正態(tài)分布 ， ( , )XY 記為 221 1 2 2( , ) ( , ; , ; )X Y N 120 , 0 , | | 1 , 且 定理： 若 ，則： 221 1 2 2( , ) ( , ; , ; )X Y N
2、（ 1） 221 1 2 2 ( , ) , ( , ) ;X N Y N （ 2） 221 1 2 2( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,E X D X E Y D Y 12( , ) , ;XYC ov X Y （ 3） X 與 Y 相互獨立的充要條件是 0. 例 1 已知 22 ( 1 , 3 ) , ( 0 , 4 ) ,X N Y N且 1 .2XY 設(shè) 11 ,32Z X Y求： ( ),EZ .XZ( ),DZ 解： ( ) 1,EX 由已知， ( ) 9 ,DX ( ) 0 ,EY ( ) 16DY ( , )Cov X Y ( ) ( )XY D X D Y 1 3
3、 4 62 則 ()EZ 11( ) ( )32E X E Y13 ()DZ 1 1 1 12,3 2 3 2D X D Y C o v X Y 1 1 1 1( ) ( ) 2 ( , ) 9 4 3 2D X D Y Co v X Y 3 ( , )C ov X Z 11, 32Co v X X Y 11( , ) ( , ) 32Co v X X Co v X Y 11( ) ( , ) 32D X Co v X Y 0 ()DZ 1 1 1 12,3 2 3 2D X D Y C o v X Y 0.XZ 所以 例 2 設(shè)隨機變量 服從二維正態(tài)分布 ( , )XY 22 21( , )
4、 2 xy f x y e 求隨機變量 的概率密度。 221 ()3Z X Y 解： 當(dāng) 時， 0z Z 的分布函數(shù) ； ( ) 0ZFz 當(dāng) 時， 0z ()ZFz 221 ()3P X Y z 22 221 3 2 () 1 2 xy x y z e dx dy 2 223 00 1 2 rzd e rdr 321 ze ()ZFz對 z 求導(dǎo)， 得 Z 的概率密度函數(shù) 3 2 0 , 0 () 3 ,0 2 Zz z fz ez 即 3 2 0 , 0 () 1 , 0Z z z Fz ez 二、二維均勻分布 設(shè) D 是平面上的一個有界區(qū)域，其面積為 A 。 若二維隨機變量 的聯(lián)合概率密
5、度函數(shù)為 ( , )XY 1 , ( , ) ( , ) 0 , ( , ) x y D f x y A x y D 則稱 在區(qū)域 D 上服從 二維均勻分布 。 ( , )XY 例如，矩形區(qū)域上的均勻分布，其概率密度函數(shù)為 1 , ( ) ( )( , ) 0, a x b c y d b a d cf x y 其 它 例 3 設(shè)二維隨機變量 在圓域 上服從 ( , )XY 2 2 2x y r 二維均勻分布， （ 2）問 X 與 Y 是否相互獨立。 （ 1）求 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù) ； XY 解： ( , )XY的聯(lián)合密度函數(shù)為 2 2 2 2 1 , ( , ) 0, x y r f x
6、 y r 其 它 下面求 X , Y 的邊緣概率密度函數(shù)。 當(dāng) 時， |xr ()Xfx 22 22 2 1rx rx dyr 22 2 2 rx r 當(dāng) 時， |xr ()Xfx0 故 22 2 2 , | | () 0 , | | X r x x r fx r xr 同理 22 2 2 , | | () 0 , | | Y r y y r fy r yr 由于 ( , ) ( ) ( ) ,XYf x y f x f y所以 X 與 Y 不相互獨立。 又 ()EX 2222 r r x r x d xr 0 ()EY 2222 r r y r y dyr 0 ()E XY 2 2 2 2 1 x y r x y dxdyr 0 于是 ( , )Cov X Y ( ) ( ) ( )E XY E X E Y 0 0XY 作業(yè) 習(xí)題 4 24, 25, 26
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