解三角形應用舉例.ppt

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1、考綱要求 考綱研讀 1.掌握正弦定理、余 弦定理，并能解決一 些簡單的三角形度 量問題 2能夠運用正弦定 理、余弦定理等知識 和方法解決一些與 測量和幾何 計算有 關的實際問題 . 1.考綱特別強調數(shù)學的應用意識能綜合應用所 學數(shù)學知識、思想和方法解決問題，包括解決 在相關學科、生產、生活中簡單的數(shù)學問題 2能理解對問題陳述的材料，并對所提供的信 息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽 象為數(shù)學問題 3能應用相關的數(shù)學方法解決問題進而加以驗 證，并能用數(shù)學語言正確地表達和說明應用 的主要過程是依 據(jù)現(xiàn)實生活背景，提煉相關的 數(shù)量關系，將現(xiàn)實問題轉化為數(shù)學問題，構造 數(shù)學模型，并加以解決 .

2、第 2講 解三角形應用舉例 1解斜三角形的常用定理與公式 (1)三角形內角和定理： A B C 180 ； sin(A B) ______； cos(A B) _________. sinC cosC (2)正弦定理： _____________________(R 為 ABC 的外接圓 半徑 ) 2R a b c sinA sinB sinC c2 a2 b2 2abcosC (3)余弦定理： ____________________. (4)三角形面積公式： _______________________________. (5)三角形邊角定理：大邊對大角同，大角對大邊 2利用正弦定理，可

3、以解決兩類有關三角形的問題 (1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角； (2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角 (從而進一步 求出其他的邊和角 ) 3利用余弦定理，可以解決兩類有關三角形的問題 (1)已知三邊，求三個角； (2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角 S ABC 12 ab sin C 12 bc sin A 12 ac sin B A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等邊三角形 1在 ABC中，若 2acosB c，則 ABC的形狀一定是 ( ) C 2如圖 7 2 1 某河段的兩岸可視為平行，在河段的一岸邊 選取兩點 A， B，觀察對岸的點 C，測得

4、 CAB 75 ， CBA 45 ，且 AB 200 米則 A， C 兩點的距離為 ( ) 圖 7 2 1 A. 200 6 3 米 B 100 6 米 C. 100 6 3 米 D 2 00 2 米 A 3 在 AB C 中， c 3 ， b 1 ， B 3 0 ，則 C 的值為 ( ) A 60 B 30 C 120 D 120 或 60 面積為 ____. 4 若 A B C 滿足 AB AC 2 3 ， BAC 30 ，則三角形的 5 ABC 的內角 A ， B ， C 的對邊分別為 a ， b ， c ，若 a ， b ， c 成等比數(shù)列，且 c 2 a ，則 sin B ____

5、. D 1 74 考點 1 向量在三角形中的應用 C(c,0) (1)若 c 5，求 sin A 的值； (2)若 A 為鈍角，求 c 的取值范圍 例 1： 已知 ABC的三個頂點的直角坐標分別為 A(3,4)， B(0,0)， 解析： (1) AB ( 3 ， 4) ， AC ( c 3 ， 4) 若 c 5 ，則 AC (2 ， 4) cos A cos AC ， AB 6 16 5 2 5 1 5 . sin A 2 5 5 . (2) 若 A 為鈍角，則 3 c 9 1 6 25 3 . c 的取值范圍是 25 3 ， . (1)角的處理方法通常有三類：一是用邊表示角， 如正余弦定理；

6、二是用向量表示角，如數(shù)量積的定義；三是用直 線的斜率表示角 (2)用向量處理角的問題時要注意兩點：一是要注意角的取值 范圍；二是利用向量處理 ABC 的角，角 A 是直角的充要條件是 AB AC 0 ； A 是銳角的充要條件是 AB AC 0 且 AB ， AC 不共線； A 是鈍角的充要條件是 AB AC 0 且 AB ， AC 不共線 【 互動探究 】 1 已知 ABC 的角 A ， B ， C 所對的邊分別是 a ， b ， c ，設向 量 m ( a ， b ) ， n (sin B ， sin A ) ， p ( b 2 ， a 2) (1) 若 m n ，求證： ABC 為等腰三角

7、形； (2) 若 m p ，邊長 c 2 ，角 C 3 ，求 ABC 的面積 解： (1) m n ， a sin A b sin B .即 a a 2 R b b 2 R . a b . ABC 為等腰三角形 (2) m p 0 ，即 a ( b 2) b ( a 2) 0 ， a b ab .由余弦 定理可知， 4 a 2 b 2 ab ( a b ) 2 3 ab ， 即 ( ab ) 2 3 ab 4 0. ab 4( 舍去 ab 1) ， S 1 2 ab sin C 1 2 4 sin 3 3 . 考點 2 有關三角形的邊角計算問題 例 2 ： 在銳角 ABC 中， a ， b ，

8、 c 分別為角 A ， B ， C 所對 的邊，且 a 2 c sin A . (1) 確定角 C 的大??； (2) 若 c 3 ，且 ABC 的面積為 2 3 ，求 a 2 b 2 的值 解析： (1) 由 a 2 c sin A 及正弦定理得， a c 2sin A sin A sin C ， sin A 0 ， sin C 1 2 . ABC 是銳角三角形， C 6 . (2) c 3 ， C 6 ，由面積公式得 1 2 ab sin 6 2 3 ， 即 ab 8 3 .由余弦定理得 a 2 b 2 2 ab cos 6 3 ， 即 a 2 b 2 3 ab 3. ab 8 3 ， a

9、2 b 2 24 3. 故 a 2 b 2 27. 1. 在解三角形中，常常要求 a 2 b 2 ， a b ， ab 這些 值，首先要注意到，這三個值中的任意一個都可以用其余兩個來 表示 2 要注意余弦定理的變形技巧：將 a 2 b 2 2 ab co s C c 2 變 為 ( a b ) 2 2 ab 2 a b co s C c 2 等 3 要注意向量的數(shù)量積與面積之間的關系 (201 1 年湖南 ) 設 A BC 的內角 A ， B ， C 所對的邊分別為 a ， b ， c ，已知 a 1 ， b 2 ， cos C 1 4 (1) 求 ABC 的周長； (2) 求 cos ( A

10、 C ) 的值 解析： (1) 在 ABC 中，由余弦定理得 c 2 a 2 b 2 2 ab c os C 1 4 2 1 2 1 4 4 ， c 2. ABC 的周長為 1 2 2 5. (2) 由 cos C 1 4 得， sin C 1 cos 2 C 1 1 16 15 4 . 由余弦定理得 cos A b 2 c 2 a 2 2 bc 4 4 1 2 2 2 7 8 ， sin A 1 cos 2 A 1 49 64 15 8 . cos( A C ) cos A cos C sin A sin C 1 4 7 8 15 4 15 8 11 16 . 解三角形與兩角和與差的三角函數(shù)

11、交匯處問題要 注意以下幾點：一是已知三角形的三邊可以求任意一個內角的正 弦值與余弦值，可以求三角形的面積；二是要注意角的取值范圍， 如當角的余弦值為正數(shù)且不共線時，此角一定為銳角，如當角的 余弦值為負數(shù)且不共線時，此角一定為鈍角，如當角的余弦值為 零時，此角一定為直角 【 互動探究 】 2 (2011 年廣東廣州二模 )如圖 7 2 2，漁船甲位于島嶼 A 的南偏西 60 方向的 B 處，且與島嶼 A 相距 12 海里，漁船乙以 10 海里 /小時的速度從島嶼 A 出發(fā)沿正北方向航行， 若漁船甲同時 從 B 處出發(fā)沿北偏東 的方向追 趕漁船乙，剛好用 2 小時追上 圖 7 2 2 (1)求漁船

12、甲的速度； (2)求 sin的值 解： 依題意， BAC 120 ， AB 12 ， AC 10 2 20 ， BCA .( 1) 在 ABC 中，由余弦定理，得 BC 2 AB 2 AC 2 2 AB AC cos BAC 12 2 20 2 2 12 20 cos120 784. 解得 BC 2 8. 所以漁船甲的速度為 BC 2 14 海里 /小時 (2) 由正弦定理，得 AB sin BC sin120 ， 所以 sin AB sin120 BC 12 3 2 28 3 3 14 . 3 已知 A BC 中， 2 2 ( sin 2 A sin 2 C ) ( a b ) sin B

13、，其外接 圓半徑為 2 . (1) 求 C ； (2) 求 ABC 面積的最大值 解： (1 ) 設三角形外接圓半徑為 R .由 2 2 (sin 2 A sin 2 C ) ( a b ) sin B ，得 2 2 a 2 4 R 2 c 2 4 R 2 ( a b ) b 2 R . 又 R 2 ， a 2 b 2 c 2 ab . cos C a 2 b 2 c 2 2 ab 1 2 . 又 0 C 180 ， C 60 . (2) S 1 2 ab sin C 1 2 3 2 ab 3 4 2 R sin A 2 R sin B 2 3 sin A sin(120 A ) 2 3 si

14、n A (sin120 cos A cos120 sin A ) 3sin A cos A 3 sin 2 A 3 2 sin2 A 3 2 cos2 A 3 2 3 sin(2 A 3 0 ) 3 2 . 當 2 A 3 0 90 ， 即 A 60 時 ， S m a x 3 3 2 . 易錯、易混、易漏 13在三角形中，對三邊長度成等比數(shù)列或成等差數(shù)列的條 件不會用 例題： 在 ABC 中，角 A， B， C 所對的邊分別為 a， b， c， 依次成等比數(shù)列 (1)求角 B 的取值范圍； (2) 求 y 1 sin2 Bsin B co s B 的取值范圍 正解： (1) a ， b ，

15、c ，依次成等比數(shù)列， b 2 ac ， cos B a 2 c 2 b 2 2 ac a 2 c 2 ac 2 ac 1 2 a c c a 1 2 1 2 . 0 B 3 . (2) y 1 sin2 B sin B cos B sin B cos B 2 sin B cos B sin B cos B 2 sin B 4 . 4 B 4 7 12 ， 2 2 sin B 4 1. 故 1 y 2 . 所以 y 1 sin2 B sin B cos B 的取值范圍是 (1 ， 2 【 失誤與防范 】 主要問題是學生對三角形的三邊成等比數(shù)列 這一條件不會使用 .第一，看不出 b2 ac 和余弦定理之間的聯(lián)系； 第二是在余弦定理中不知道使用基本不等式求 cosB 的取值范圍 . 將一個假分式化為帶分式是一條基本規(guī)律，需要好好體會 . 1運用正弦定理、余弦定理與三角形面積公式可以求有關三 角形的邊、角、外接圓半徑、面積的值或范圍等基本問題 2由斜三角形六個元素 (三條邊和三個角 )中的三個元素 (其中 至少有一邊 )，求其余三個未知元素的過程，叫做解斜三角形其 中已知兩邊及一邊的對角解三角形可能出現(xiàn)無解，或一解或兩解 的情況 本節(jié)的難點是三角形形狀的判斷與三角形實際應用問題的解 決主要是學生看不到問題的本質，受到許多非本質問題的干擾 要加強將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力的訓練