同濟(jì)高數(shù)第十章第二節(jié)

2021/1/25 1 復(fù)習(xí)： 若數(shù)列遞增有上界，則數(shù)列收斂，即單調(diào)有界數(shù)列必有極限。 1. 由定義 , 若 ss n , 則級(jí)數(shù)收斂 ; 2. 當(dāng) 0l i m nn u , 則級(jí)數(shù)發(fā)散 ; 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念 : 正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 基本審斂法 2021/1/25 2 第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 三、絕對(duì)收斂與條件收斂 （任意項(xiàng)級(jí)數(shù) ） 2021/1/25 3 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 定義 : 1 0nn n uu 如 果 級(jí) 數(shù) 中 各 項(xiàng) 均 有 ， 這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù) . nsss 21 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件 定理 1 部分和數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列 . ns 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列有界 2021/1/25 4 定理 2(比較審斂法 ) 設(shè) 1n n u 和 1n n v 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 且 u n v n ( n 1 2 ) 若 1n n v 收斂 則 1n n u 收斂 若 1n n u 發(fā)散 則 1n n v 發(fā)散 證明 nn uuus 21且 1 (1 ) n n v 設(shè) ,nn vu , 即部分和數(shù)列有界 . 1 收斂 n nu nvvv 21 nn s則 ( 2) ( )nsn 設(shè) ,nn vu 且 不是有界數(shù)列 . 1 發(fā)散 n nv定理證畢 . 比較審斂法的不便 : 須有參考級(jí)數(shù) . 2021/1/25 5 設(shè) 1n n u 和 1n n v 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 且 u n kv n ( k 0 n N ) 若 1n n v 收斂 則 1n n u 收斂 若 1n n u 發(fā)散 則 1n n v 發(fā)散 推論 2021/1/25 6 例 1 討論 P- 級(jí)數(shù) pppp n 1 4 1 3 1 2 1 1 的收斂性 . )0( p 解 1,p 當(dāng) 時(shí) ,11 nn p .級(jí)數(shù)發(fā)散則 P 1,p 當(dāng) 時(shí) o y x )1(1 pxy p 1 2 3 4 由圖可知 nn pp xdxn 11 pppn ns 1 3 1 2 11 nn pp xdxxdx 1211 2021/1/25 7 n pxdx11 )11(111 1 pnp 111 p ,ns即 有 界 .級(jí)數(shù)收斂則 P 發(fā)散時(shí)當(dāng) 收斂時(shí)當(dāng)級(jí)數(shù) ,1 ,1 p pP 重要參考級(jí)數(shù) : 幾何級(jí)數(shù) , P-級(jí)數(shù) , 調(diào)和級(jí)數(shù) . 離散問題連續(xù)化： lnl i m ? n n n 2021/1/25 8 例 2 證明級(jí)數(shù) 1 )1( 1 n nn 是發(fā)散的 . 證明 ,11)1( 1 nnn ,11 1 n n 發(fā)散而級(jí)數(shù) .)1( 1 1 n nn 發(fā)散級(jí)數(shù) 11 11, 2 2 1nnnnn 練 習(xí) ： 2021/1/25 9 定理 3 （比較審斂法的極限形式） 設(shè) 1 n n u 與 1 n n v 都是 正項(xiàng) 級(jí) 數(shù) , 如果 則 (1) 當(dāng) 時(shí) , 二級(jí)數(shù)有相同的斂散性 ; (2) 當(dāng) 時(shí)，若 收斂 , 則 收斂 ; (3) 當(dāng) 時(shí) , 若 1 n n v 發(fā)散 , 則 1 n n u 發(fā)散 ; ,lim lvu n n n l0 0l l 1n nv 1n nu 2021/1/25 10 證明 lv u n n n lim)1( 由 ,02 l對(duì)于 ,N ,時(shí)當(dāng) Nn 22 ll v ull n n )(232 Nnvluvl nnn 即 由比較審斂法的推論 , 得證 . ( 2) ( 3)與 的 證 明 類 似 . 3.例 判 別 下 列 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 性 11 1( 1 ) ( 2 ) t an 2 nnn n n 2021/1/25 11 設(shè) 1n nu 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , （ 1 ）如果 0lim lnu n n ( 或 lim n n nu ), 則級(jí)數(shù) 1n n u 發(fā)散 ; （ 2 ）如果有 1p , 使得 n p n un l i m 存在 , 則級(jí)數(shù) 1n n u 收斂 . 定理 4 （極限審斂法） 2021/1/25 12 例 4 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性 : (1) 1 1 s i n n n ; (2) 1 3 1 n n n ; 解 )1( n n n n 3 1 3 1 lim n n n 1 1 s in lim ,1 原級(jí)數(shù)發(fā)散 . )2( nnn 1s inli m n n n 3 1 1 lim ,1 ,31 1 收斂 n n 故原級(jí)數(shù)收斂 . 2021/1/25 13 收斂 當(dāng) 1(或 )時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 當(dāng) 1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂 也可能發(fā)散 設(shè) 1n n u 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) 如果 n n n u u 1l i m 則當(dāng) 1 時(shí)級(jí)數(shù) 定理 5(比值審斂法或 達(dá)朗貝爾判別法 ) 證明 ,為有限數(shù)時(shí)當(dāng) ,0對(duì) ,N ,時(shí)當(dāng) Nn ,1 n n u u有 )(1 Nnuu n n 即 2021/1/25 14 ,1時(shí)當(dāng) ,1時(shí)當(dāng) ,1 取 ,1r使 ,11 NmmN uru ,12 NN ruu ,1223 NNN urruu , , 1 1 1 m N m ur 收斂而級(jí)數(shù) , 11 收斂 Nn n m mN uu 收斂 ,1 取 ,1 r使 ,時(shí)當(dāng) Nn ,1 nnn uruu .0lim nn u 發(fā)散 2021/1/25 15 比值審斂法的優(yōu)點(diǎn) : 不必找參考級(jí)數(shù) . 兩點(diǎn)注意 : 1. 當(dāng) 1 時(shí)比值審斂法失效 ; ,1 1 發(fā)散級(jí)數(shù)例 n n ,1 1 2 收斂級(jí)數(shù) n n )1( 2021/1/25 16 ,2 32 )1(2 nnn n n vu 例 ,2 )1(2 11 收斂級(jí)數(shù) n n n n nu ,)1(2(2 )1(2 1 1 nn n n n a u u 但 , 6 1li m 2 nn a ,23lim 12 nn a .l i ml i m 1 不存在n nn n n auu 2. 條件是充分的 , 而非必要 . 2021/1/25 17 例 5 判別下列級(jí)數(shù)的收斂性 : (1) 1 ! 1 n n ; (2) 1 10 ! n n n ; (3) 1 2)12( 1 n nn . 解 )1( 1 1 ( 1 ) ! li m li m 1 ! n nn n u n u n 1li m 0 1 1n n .!1 1 收斂故級(jí)數(shù) n n 2021/1/25 18 )2( 1 1( 1 ) ! 10li m li m 10 ! n n nnn n u n un 1lim 10n n .10 ! 1 發(fā)散故級(jí)數(shù) n n n )3( )22()12( 2)12(limlim 1 nn nn u u nn n n ,1 比值審斂法失效 , 改用比較審斂法 ,12)12( 1 2nnn , 1 2 收斂級(jí)數(shù) n .)12(2 1 1 收斂故級(jí)數(shù) n nn 2021/1/25 19 定理 6 （ 根值審斂法 或 柯西判別法 ) 設(shè) 1n nu 是正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 如果 n n n ulim )( 為數(shù)或 , 則 1 時(shí)級(jí)數(shù)收斂 ; ,1 , 1 n nn設(shè)級(jí)數(shù)例如 n nn n nu 1 n 1 )(0 n 級(jí)數(shù)收斂 . 1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 ; 1 時(shí)失效 . 2021/1/25 20 01lim 1lim lim nnu nn nnn nn 所以 根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂 因?yàn)?解 01lim 1lim lim nnu nn nnn nn 01lim 1lim lim nnu nn nnn nn 例 6 判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 1 1 n n n 1） 1） 2） 1 2 ( 1 ) 2 n n n 2 1)1(2 2 1limlim n n n n n n u 2 1)1(2 2 1limlim n n n n n n u 2 1)1(2 2 1limlim n n n n n n u 2） 因?yàn)?所以 根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂 2021/1/25 21 二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式為 1 1)1( n n n u 其中 0nu 定理 7(萊布尼茨定理 ) 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù) 1 1)1( n n n u 滿足條件 (1)unun1(n1 2 3 ) ( 2 ) 0lim nn u 則級(jí)數(shù)收斂 且其和 0 su1 其余項(xiàng) rn的絕對(duì)值 |rn|un1 定義 : 正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù) . 2021/1/25 22 證明 nnnn uuuuuus 212223212 )()( 又 )()()( 21243212 nnn uuuuuus 1u ,01 nn uu .lim 12 uss nn ,0l i m 12 nn u ,2 是單調(diào)增加的數(shù)列 ns ,2 是有界的數(shù)列 ns 2021/1/25 23 )(l i ml i m 12212 nnnnn uss,s 1,.s s u 級(jí) 數(shù) 收 斂 于 和 且 0 ),( 21 nnn uur余項(xiàng) ,21 nnn uur 滿足收斂的兩個(gè)條件 , .1 nn ur 定理證畢 . 2021/1/25 24 例 7 判別級(jí)數(shù) 2 1 )1( n n n n 的收斂性 . 解 2)1(2 )1() 1( xx x x x )2(0 x ,1 單調(diào)遞減故函數(shù) x x ,1 nn uu 1l i ml i m n nu nnn 又 .0 原級(jí)數(shù)收斂 . 2021/1/25 25 三、絕對(duì)收斂與條件收斂 定理 若 1n nu 收斂 , 則 1n nu 收斂 . 證明 ),2,1()(21 nuuv nnn令 ,0nv顯然 ,nn uv 且 , 1 收斂 n nv ),2( 11 n nn n n uvu又 1n nu 收斂 . 上定理的作用： 任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 2021/1/25 26 若 1 n n u 發(fā)散 , 而 1 n n u 收斂 , 則稱 1 n n u 為條件收斂 . 定義 : 若 0 n n u 收斂 , 則稱 1 n n u 為絕對(duì)收斂 ; 2021/1/25 27 例 8 判別級(jí)數(shù) 1 2 s i n n n n 的收斂性 . 解 , 1s in 22 nn n ,1 1 2 收斂而 n ,s i n 1 2 n n n 收斂 故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 . 2021/1/25 28 5 ( )定 理 比 值 審 斂 法 1lim ( )nn n u u 如 果 為 數(shù) 或 則 1 ( 1 ) 1 , ;n n u 當(dāng) 時(shí) 級(jí) 數(shù) 絕 對(duì) 收 斂 1 ( 2 ) 1 ( ) , ;n n u 當(dāng) 或 為 時(shí) 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 1 ( 3 ) 1 , ;n n u 當(dāng) 時(shí) 級(jí) 數(shù) 可 能 收 斂 也 可 能 發(fā) 散 ()定 理 6 根 值 審 斂 法 、 柯 西 判 別 法 ( ) , 為 數(shù) 或 則 lim n nn u 如 果 1 ( 1 ) 1 , ;n n u 當(dāng) 時(shí) 級(jí) 數(shù) 絕 對(duì) 收 斂 1 ( 2 ) 1 ( ) , ;n n u 當(dāng) 或 為 時(shí) 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 1 ( 3 ) 1 , ;n n u 當(dāng) 時(shí) 級(jí) 數(shù) 可 能 收 斂 也 可 能 發(fā) 散 2021/1/25 29 小結(jié) 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 審 斂 法 1. 2. 4.充要條件 5.比較法 6.比值法 7.根值法 4.絕對(duì)收斂 5.交錯(cuò)級(jí)數(shù) (萊布尼茨定理 ) 3.按基本性質(zhì) ; ;, 則級(jí)數(shù)收斂若 SS n ;,0, 則級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng) nun 2021/1/25 30 思考題 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1n n u 收斂 , 能否推得 1 2 n n u 收斂 ? 反之是否成立 ? 2021/1/25 31 思考題解答 由正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1n nu 收斂，可以推得 1 2 n nu 收斂 , n n n u u 2lim nn u lim 0 由比較審斂法知 收斂 . 反之不成立 . 例如： 收斂 , 發(fā)散 .