2014年高考數(shù)學(xué)文科(高考真題+模擬新題)分類匯編：概率

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1、 數(shù) 學(xué) 概率 K1 隨事件的概率 13． [2014 課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ新 ] 甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán) 3 種顏色的 運(yùn)動(dòng)服中選擇 1 種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為 ________． 13.1 [ 解析 ] 甲有 3 種選法，乙也有 3 種選法，所以他們共有 9 種不同的選法．若他 3 們選擇同一種顏色，則有 3 種選法，所以其對(duì)應(yīng)

2、的概率 3 1 P＝ ＝ . 9 3 13．[2014 全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ ] 將 2 本不同的數(shù)學(xué)書和 1 本語(yǔ)文書在書架上隨機(jī)排成一行， 則 2 本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為 ________． 2 [ 解析 ] 2 本數(shù)學(xué)書記為數(shù) 1，數(shù) 2，3 本書共有 (數(shù) 1 數(shù) 2 語(yǔ) )，(數(shù) 1 語(yǔ)數(shù) 2)，(數(shù) 2 13.3 數(shù) 1 語(yǔ))，( 數(shù) 2 語(yǔ)數(shù) 1) ，(語(yǔ)數(shù) 1 數(shù) 2)， (語(yǔ)數(shù) 2 數(shù) 1)6 種不同的排法，其中 2 本數(shù)學(xué)

3、書相鄰 的排法有 4 種，對(duì)應(yīng)的概率為 P＝ 46＝23. 14． [2014 浙江卷 ] 在 3 張獎(jiǎng)券中有一、二等獎(jiǎng)各 1 張，另 1 張無(wú)獎(jiǎng)．甲、乙兩人各抽 取 1 張，兩人都中獎(jiǎng)的概率是 ________． 1 14.3 [ 解析 ] 基本事件的總數(shù)為 3 2＝ 6，甲、乙兩人各抽取一張獎(jiǎng)券，兩人都中獎(jiǎng)只 有 2 種情況，所以兩人都中獎(jiǎng)的概率 2 1 P＝ ＝ . 6 3 19． [2014 陜西卷 ] 某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，

4、對(duì)投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車 輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下： 賠付金額 ( 元 ) 0 1000 2000 3000 4000 車輛數(shù) (輛 ) 500 130 100 150 120 (1)若每輛車的投保金額均為 2800 元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率； (2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占 10%，在賠付金額為 4000 元的樣本車輛中，車主 是新司機(jī)的占 20% ，估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為 4000 元的概率． 19．解：(1) 設(shè) A 表示事件“賠付金額為 3000

5、 元”，B 表示事件“賠付金額為 4000 元”， 以頻率估計(jì)概率得 150 120 P(A)＝ 1000＝ 0.15， P(B)＝ 1000＝ 0.12. 由于投保金額為 2800 元，所以賠付金額大于投保金額的概率為 P(A)＋ P(B)＝ 0.15＋ 0.12＝ 0.27. (2)設(shè) C 表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠 4000 元”， 由已知， 得樣本車輛中車主為新 司機(jī)的有 0.1 1000＝ 100(輛 )，而賠付金額為 4000 元的車輛中， 車主

6、為新司機(jī)的有 0.2 120 ＝24(輛 )，所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為 4000 元的頻率為 24 ＝ 0.24.由頻率估計(jì)概 100 率得 P(C)＝0.24. 16．、[2014 四川卷 ] 一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字 1， 2，3，這三張卡片 除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同． 隨機(jī)有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為 a， b， c. (1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足 a＋ b＝ c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的數(shù)字 a， b，

7、c 不完全相同”的概率． 16． 解： (1) 由題意， (a，b， c)所有的可能為： (1， 1， 1)， (1，1， 2)， (1， 1， 3)， (1， 2， 1)， (1， 2， 2)， (1， 2， 3)， (1，3， 1)， (1，3， 2)， (1， 3， 3)， (2， 1， 1)， (2， 1， 2)， (2， 1， 3)， (2， 2， 1)， (2， 2， 2)， (2， 2， 3)，(2， 3， 1)， (2， 3， 2)， (2，3， 3)， (3， 1， 1)， (3，1， 2)， (3， 1， 3)， (3，2， 1)， (3， 2，2)， (3，2

8、， 3)， (3， 3，1)， (3， 3， 2)， (3， 3， 3)，共 27 種． 設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足 a＋ b＝ c”為事件 A， 則事件 A 包括 (1， 1， 2)， (1， 2，3)， (2， 1， 3)，共 3 種， 3 1 所以 P(A)＝ 27＝ 9. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足 a＋ b＝ c”的概率為 19. (2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字 a， b， c 不完全相同”為事件則事件 B 包括 (1， 1， 1)， (2， 2，2)， (3， 3， 3)，共 3 種．  B， 3 8 所以 P(B)＝ 1－

9、P(B)＝ 1－ 27＝ 9. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字  a， b， c 不完全相同”的概率為  8 9. K2  古典概型 20．，[2014 福建卷 ] 根據(jù)世行 2013 年新標(biāo)準(zhǔn)， 人均 GDP 低于 1035 美元為低收入國(guó)家； 人均 GDP 為 1035～4085 美元為中等偏下收入國(guó)家； 人均 GDP 為 4085～ 12 616 美元為中等 偏上收入國(guó)家；人均 GDP 不低于 12 616 美元為高收入國(guó)家．某城市有 5 個(gè)行政區(qū)，各區(qū)人 口占該城市人口比例及人均 GDP 如下表：

10、 行政區(qū)  區(qū)人口占城市人口比例  區(qū)人均  GDP( 單位：美元  ) A  25%  8000 B  30%  4000 C  15%  6000 D  10%  3000 E  20%  10 000 (1)判斷該城市人均 GDP 是否達(dá)到中等偏上收入國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)； (2)現(xiàn)從該城市 5 個(gè)行政區(qū)中隨機(jī)抽取 2 個(gè)，求抽到的 2 個(gè)行政區(qū)人均  GDP 

11、 都達(dá)到中等 偏上收入國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的概率． 20． 解： (1) 設(shè)該城市人口總數(shù)為 a，則該城市人均 GDP 為 80000.25a＋ 4000 0.30a＋ 6000 0.15a＋3000 0.10a＋ 10 000 0.20a＝ a 6400(美元 )． 因?yàn)?6400∈ [4085，12 616) ， 所以該城市人均 GDP 達(dá)到了中等偏上收入國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)． (2)“從 5 個(gè)行政區(qū)中隨機(jī)抽取 2 個(gè)”的所有的基本事件是： {A ，B} ，{A ，C} ，{A ，D} ，{A ，E} ，{B ，C} ，{B ，D} ，{B ，E} ， {C

12、 ，D} ，{C ，E} ， {D ，E} ，共 10 個(gè)． 設(shè)事件 M 為“抽到的 2 個(gè)行政區(qū)人均 GDP 都達(dá)到中等偏上收入國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)”， 則事件 M 包含的基本事件是： {A ， C} ， {A ，E} ，{C ， E} ，共 3 個(gè)． 3 所以所求概率為 P(M)＝ . 12． [2014 東卷廣 ] 從字母 a， b， c， d，e 中任取兩個(gè)不同字母，則取到字母 a 的概率 為 ________． 2 [ 解析 ] 所有事件有 (a， b)， (a， c)，( a， d)， (a， e)， (b， c)，(b， d)， (

13、b， e)， (c， 12.5 d)， (c， e)，( d， e) ，共 10 個(gè)，其中含有字母 a 的基本事件有 (a， b)， ( a， c)， (a， d)， (a， e)，共 4 個(gè)，所以所求事件的概率是 P＝ 4 2 10 ＝ . 5 5．[2014 湖北卷 ] 隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子， 它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò) 5 的概率記 為 p1，點(diǎn)數(shù)之和大于 5 的概率記為 p2，點(diǎn)數(shù)

14、之和為偶數(shù)的概率記為 p3，則 ( ) A ． p ＜ p ＜ p B． p ＜ p ＜ p 3 1 2 3 2 1 C．p ＜ p ＜ p D． p ＜ p ＜ p 2 1 3 2 3 1 5． C [ 解析 ] 擲出兩枚骰子，它們向上的點(diǎn)數(shù)的所有可能情況如下表： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7

15、 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 則 p1＝ 10， p2＝ 26， p3＝18.故 p1

16、往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下： (a， b)，(a， b)，(a， b)，(a， b)，( a， b)， (a，b)， (a，b)， (a，b)， (a，b)， (a，b)， (a，b)， (a，b)， (a， b)， (a， b)， (a， b)． 其中 a， a 分別表示甲組研發(fā)成功和失??；(1)若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給該組記  b， b 分別表示乙組研發(fā)成功和失?。? 1 分，否則記 0 分．試計(jì)算甲、乙兩組研 發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平． (2)若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估計(jì)恰有一組研發(fā)成功的概

17、率． 17． 解： (1) 甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)?yōu)? 1， 1，1， 0， 0， 1， 1， 1， 0， 1， 0， 1， 1， 0， 1， 其平均數(shù)為 x 甲 ＝ 10＝ 2， 15 3 2 ＝ 1 1－ 2 2 0－ 2 2 2 方差為 s 10＋ 5 ＝ . 甲 15 3 3 9 乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)?yōu)?

18、 1， 0，1， 1， 0， 1， 1， 0， 1， 0， 0， 1， 0， 1， 1， 其平均數(shù)為 x ＝ 9 3 乙 15＝ 5， 1 3 2 2 6 2 ＝ 9＋ 3 6 ＝ 方差為 s乙 15 1－ 5 0－ 5 25. 2 2

19、 因?yàn)?x 甲 ＞ x 乙， s甲 ＜ s乙 ，所以甲組的研發(fā)水平優(yōu)于乙組． (2)記 E＝ { 恰有一組研發(fā)成功 } ． 在所抽得的 15 個(gè)結(jié)果中，恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是 (a， b)， (a，b)， (a， b)， (a， b)， (a， b)，( a， b)， (a， b)， 共 7 個(gè)，故事件 E 發(fā)生的頻率為 7 . 15 將 率 概率，即得所求概率 P(E)＝ 7 15. 4． [2014 卷江 ] 從

20、 1， 2， 3， 6 這 4 個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取 2 個(gè)數(shù)， 所取 2 個(gè)數(shù)的乘 積為 6 的概率是 ________． 1 [ 解析 ] 基本事件有 (1， 2)， (1， 3)(1 ， 6)， (2， 3)， (2， 6)， (3， 6)，共 6 種情況， 4.3 乘 6 的是 (1， 6)和 (2， 3)， 所求事件的概率 1 3. 3． [2014 江西卷 ] 兩 均勻的骰子， 點(diǎn)數(shù)之和 5 的概率等于 ( )

21、 1 1 1 1 A. 18 B.9 C.6 D.12 3． B [ 解析 ] 兩 均勻的骰子，一共有 36 種情況，點(diǎn)數(shù)之和 5 的有 (1， 4)， (2， 3)， (3，2)， (4， 1)，共 4 種，所以點(diǎn)數(shù)之和 5 的概率 4 ＝ 1. 36 9 21．、、[2014 江西卷 ] 將 正整數(shù) 1，2，?，n( n∈N * )從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù) 123? n， F(n) 個(gè)數(shù)的位數(shù) (如

22、 n＝ 12 ，此數(shù) 123456789101112，共有 15 個(gè)數(shù)字， F(12)＝ 15)， 從 個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字， p(n) 恰好取到 0 的概率． (1)求 p(100)； (2)當(dāng) n≤ 2014 ，求 F(n)的表達(dá)式； (3)令 g(n) 個(gè)數(shù)中數(shù)字 0 的個(gè)數(shù)， f(n) 個(gè)數(shù)中數(shù)字 9 的個(gè)數(shù)， h(n)＝ f(n)－ g(n)，S ＝ { n|h(n)＝ 1， n≤100， n∈ N * } ，求當(dāng) n∈S 時(shí) p(n)的最大 ． 21．解：

23、 (1)當(dāng) n＝ 100 ， 個(gè)數(shù)中 共有 192 個(gè)數(shù)字，其中數(shù)字 0 的個(gè)數(shù) 11，所以 恰好取到 0 的概率 p(100) ＝ 19211. n， 1≤ n≤ 9， 2n－ 9， 10≤ n≤ 99， (2)F(n)＝ 3n－ 108， 100≤ n≤ 999， 4n－ 1107， 1000≤ n≤ 2014. (3)當(dāng) n＝ b(1≤ b≤ 9， b∈N * )， g(n)＝ 0； 當(dāng) n＝10k＋ b(1≤ k≤ 9， 0≤ b≤9， k∈ N* ， b∈ N) ， g(n)＝ k； 當(dāng) n＝100 ， g(n)＝ 11，即 g(n)＝

24、 0， 1≤n≤ 9， k， n＝ 10k＋ b，1≤ k≤ 9， 0≤ b≤ 9，k∈ N * ，b∈ N， 11， n＝ 100. 同理有 f(n)＝ 0， 1≤ n≤8， k， n＝ 10k＋ b－ 1， 1≤ k≤ 8， 0≤b≤ 9， k∈ N * ， b∈ N ， n－ 80， 89≤ n≤ 98， 20， n＝ 99， 100. 由 h(n)＝ f(n) －g(n) ＝1，可知 n＝ 9， 19， 29， 39， 49， 59，69， 79，89， 90， 所以當(dāng) n≤ 100 ， S＝ {9 ， 19，29， 39，4

25、9， 59，69， 79，89， 90} ． 當(dāng) n＝9 ， p(9)＝ 0. 當(dāng) n＝90 ， p(90)＝ g（ 90） ＝ 9 ＝ 1 . F （ 90） 171 19 當(dāng) n＝10k＋ 9(1≤ k≤ 8， k∈ N * ) ， p(n)＝ g（ n） ＝ k ＝ k ，由 y＝ k 關(guān)于 k F（ n） 2n－ 9 20k＋9 20k＋ 9 增，故當(dāng) n＝10k＋ 9(1≤ k≤ 8， k∈ N* ) ， p(n)的最大 p(89) ＝ 8 .

26、 169 又 8 1 ，所以當(dāng) n∈ S 時(shí)， p(n)的最大值為 1 169<19 19. 18．、[2014 遼寧卷 ] 某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣， 在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行 了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示： 喜歡甜品 不喜歡甜品 合計(jì) 南方學(xué)生 60 20 80 北方學(xué)生 10 10 20 合計(jì) 70 30 100 (1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問(wèn)是否有 95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食 習(xí)慣方面

27、有差異”； (2)已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有 5 名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中 2 名喜歡甜品，現(xiàn)在從這 5 名學(xué)生中隨機(jī)抽取 3 人，求至多有 1 人喜歡甜品的概率． 2 n（ n11n22－n12n21） 2 附： χ＝ n n n ， n ＋ 2 1 ＋ 2＋ ＋ 1 2 ≥ k)0.100 0.050 0.010 P(χ

28、 k 2.706 3.841 6.635 18． 解： (1)將 2 2 列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得 χ 2＝ n（ n11n22－ n12n21） 2＝ 100（ 60 10－20 10）2 ＝100≈ 4.762. n 1＋ 2＋ ＋ 1 ＋ 2 70 30 80 20 21 n n n 由于 4.762＞ 3.841，所以有 95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí) 慣方面有差

29、異”． (2)從 5 名數(shù)學(xué)系學(xué)生中任取 3 人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間 Ω＝ {( a1 ，a2 ， b )，(a ，a ，b )， (a ，a ，b )，(a ，b ，b )，(a ，b ，b )，(a ， b ，b )，(a ，b ，b 2 )，(a ， 1 1 2 2 1 2 3 1 1 2 1 1 3 1 2 3 2 1 2 b1， b3)， (a2， b2， b3)， (b1， b2， b3)} ，

30、 其中 ai 表示喜歡甜品的學(xué)生， i＝ j 表示不喜歡甜品的學(xué)生， j＝ 1，2， 3. 1， 2， b Ω由 10 個(gè)基本事件組成，且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 用 A 表示“ 3 人中至多有 1 人喜歡甜品”這一事件，則 A＝ {( a1 1 2 1 1 3 ，b ，b )，(a ，b ，b )，

31、(a1， b2， b3)， (a2， b1， b2)， (a2， b1， b3)， (a2 ，b2， b3)， (b1，b2，b3)} ． 事件 A 由 7 個(gè)基本事件組成，因而 P(A)＝ 7 10. 16．， [2014 山東卷 ] 海關(guān)對(duì)同時(shí)從 A， B，C 三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢 測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量 ( 單位：件 )如表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些

32、 商品中共抽取 6 件樣品進(jìn)行檢測(cè)． 地區(qū) A B C 數(shù)量 50 150 100 (1)求這 6 件樣品中來(lái)自 A， B， C 各地區(qū)商品的數(shù)量； (2)若在這 6 件樣品中隨機(jī)抽取 2 件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這 2 件商品來(lái)自相 同地區(qū)的概率．

33、 16． 解： (1) 因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是 6 ＝ 1 ，所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是： 50 1 ＝1，150 1 50＋ 150＋ 100 50 50 50 ＝3， 100 1 ＝ 2. 50 所以 (2)設(shè)  A， B，C 6 件來(lái)自  三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是 A，B

34、， C 三個(gè)地區(qū)的樣品分別為：  1，3， 2. A；B1，B2，B3；C1，C2.則抽取的這  2 件商品構(gòu)成的所有基本事件為： { A， B1} ， { A， B2} ， { A， B3 } ， { A， C1} ， { A， C2} ， { B1， B2} ， { B1， B3} ， { B1， C1} ， { B1， C2} ， { B2， B3}{ B2， C1} ， { B2， C2} ， { B3， C1} ， { B3，C2} ， { C1， C2} ，共 15 個(gè)． 每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本

35、事件的出現(xiàn)是等可能的． 記事件 D 為“抽取的這 2 件商品來(lái)自相同地區(qū)”， 則事件 D 包含的基本事件有 { B1， B2} ， { B1， B3} ， { B2， B3 } ， { C1， C2} ，共 4 個(gè)． 所以 P(D )＝ 4 ，即這 2 件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率為 4 15 15. 6．[2014 陜西卷 ] 從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這 5 個(gè)點(diǎn)中， 任取 2 個(gè)點(diǎn)， 則這 2 個(gè)點(diǎn)的 距離小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為 ( )

36、 1 2 3 4 A. 5 B. 5 C.5 D. 5 6．B [解析 ] 由古典概型的特點(diǎn)可知從 5 個(gè)點(diǎn)中選取 2 個(gè)點(diǎn)的全部情況共有 10 種，其 中選取的 2 個(gè)點(diǎn)的 距離小于該正方形邊長(zhǎng)的情況共有 4 種，故所求概率為 P＝ 4 2 ＝ . 10 5 16．、[2014 四川卷 ] 一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字 1， 2，3

37、，這三張卡片 除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同． 隨機(jī)有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 張，將抽取的卡片上的數(shù)字 依次記為 a， b， c. (1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足 a＋ b＝ c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的數(shù)字 a， b， c 不完全相同”的概率． 16． 解： (1) 由題意， (a，b， c)所有的可能為： (1， 1， 1)， (1，1， 2)， (1， 1， 3)， (1， 2， 1)， (1， 2， 2)， (1， 2， 3)， (1

38、，3， 1)， (1，3， 2)， (1， 3， 3)， (2， 1， 1)， (2， 1， 2)， (2， 1， 3)， (2， 2， 1)， (2， 2， 2)， (2， 2， 3)，(2， 3， 1)， (2， 3， 2)， (2，3， 3)， (3， 1， 1)， (3，1， 2)， (3， 1， 3)， (3，2， 1)， (3， 2，2)， (3，2， 3)， (3， 3，1)， (3， 3， 2)， (3， 3， 3)，共 27 種． 設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足 a＋ b＝ c”為事件 A， 則事件 A 包括 (1， 1， 2)， (1， 2，3)， (2， 1， 3

39、)，共 3 種， 3 1 所以 P(A)＝ 27＝ 9. 1 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足 a＋ b＝ c”的概率為 9. (2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字 a， b， c 不完全相同”為事件則事件 B 包括 (1， 1， 1)， (2， 2，2)， (3， 3， 3)，共 3 種．  B， 3 8 所以 P(B)＝ 1－ P(B)＝ 1－ 27＝ 9. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字 a， b， c 不完全相同”的概率為 8 9. 15．、 [2014 天津卷 ] 某校夏令營(yíng)有 3 名男同學(xué) A， B， C 和 3 名女同學(xué) X， Y，

40、 Z，其年 級(jí)情況如下表： 一年級(jí) 二年級(jí) 三年級(jí) 男同學(xué) A B C 女同學(xué) X Y Z 現(xiàn)從這 6 名同學(xué)中隨機(jī)選出 2 人參加知識(shí)競(jìng)賽 (每人被選到的可能性相同 )． (1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果； (2)設(shè) M 為事件“選出的 2 人來(lái)自不同年級(jí)且恰有 1 名男同學(xué)和 1 名女同學(xué)”，求事件 M 發(fā)生的概率． 15． 解： (1) 從 6 名同學(xué)中隨機(jī)選出 2 人參加知識(shí)競(jìng)賽的所有可能結(jié)果為 { A， B} ， { A， C

41、} ， { A，X} ， { A，Y} ，{ A， Z} ，{ B，C} ， { B， X} ， { B， Y} ， { B， Z} ， { C， X} ， { C，Y} ， { C， Z} ， { X，Y} ， { X， Z} ， { Y， Z} ，共 15 種． (2)選出的 2 人來(lái)自不同年級(jí)且恰有 1 名男同學(xué)和 1 名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為 { A，Y} ， { A， Z} ， { B， X} ， { B， Z} ， { C，X} ，{ C， Y} ，共 6 種． 因此，事件 M 發(fā)生的概率 P(M)＝ 6 2 1

42、5 ＝ . 5 17．、 [2014 重慶卷 ] 20 名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī) (單位：分 )的頻率分布直方圖如圖 1-3 所示． 圖 1-3 (1)求頻率分布直方圖中 a 的值； (2)分別求出成績(jī)落在 [50， 60)與 [60 ， 70)中的學(xué)生人數(shù)； (3)從成績(jī)?cè)?[50， 70)的學(xué)生中任選 2 人，求此 2

43、人的成績(jī)都在 [60 ， 70)中的概率． 17． 解： (1) 據(jù)直方圖知組距為 10，由 (2a＋ 3a＋ 7a＋ 6a＋2a) 10＝ 1， 解得 a＝ 1 ＝0.005. 200 (2)成績(jī)落在 [50， 60)中的學(xué)生人數(shù)為 2 0.00510 20＝2. 成績(jī)落在 [60 ， 70)中的學(xué)生人數(shù)為 3 0.005 10 20＝ 3. (3)記成績(jī)落在 [50， 60)中的 2 人為 A1，A2，成績(jī)落在 [60，

44、70)中的 3 人為 B1， B2， B3 ， 則從成績(jī)?cè)? [50， 70)的學(xué)生中任選 2 人的基本事件共有 10 個(gè)，即 (A1 ，A2)， (A1， B1)， (A1， B2) ， (A1，B3)，(A2， B1)， (A2， B2)， (A2，B3) ，(B1，B2)， (B1， B3)， (B2， B3)． 其中 2 人的成績(jī)都在 [60， 70)中的基本事件有 3 個(gè)，即 (B1 2 132 3 故所求概率為 P＝ 3 ， B )， (B ， B )， (B ，B )． 10.

45、 K3 幾何概型 13． [2014 福建卷 ] 如圖 1-5 所示，在邊長(zhǎng)為 1 的正方形中隨機(jī)撒 1000 粒豆子，有 180 粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為 ________． 圖 1-5 13． 0.18 [解析 ] 設(shè)陰影部分的面積為 S.隨機(jī)撒 1000 粒豆子，每粒豆子落在正方形內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)與

46、這個(gè)區(qū)域的面積近似成正比，即 S≈ 落在陰影部分中的豆子數(shù) ＝ 180 ＝ 0.18， 1 落在正方形中的豆子數(shù) 1000 所以可以估計(jì)陰影部分的面積為0.18. 5． [2014 南卷湖 ] 在區(qū)間 [ －2， 3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù) X，則 X≤ 1 的概率為 () 4 3 A. 5 B. 5 2 1 C.5 D. 5 5． B [ 解析 ] 由幾何概型概率計(jì)算公式可得 1－（－ 2） 3 P＝ ＝ . 3－（－ 2）

47、 5 6．[2014 遼寧卷 ] 若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖 1-1 所示的長(zhǎng)方形 ABCD 中，其中 AB＝ 2， BC＝ 1，則質(zhì)點(diǎn)落在以 AB 為直徑的半圓內(nèi)的概率是 ( ) 圖 1-1 π π A. 2 B. 4 π π C. 6 D. 8 6． B [ 解析 ] 由題意 AB＝ 2， BC＝ 1，可知長(zhǎng)方形 A

48、BCD 的面積 S＝ 2 1＝2，以 AB π π .故質(zhì)點(diǎn)落在以 AB 為直徑的半圓內(nèi)的概率 P＝ 2 為直徑的半圓的面積 S1＝1π 12＝ ＝ 2 2 2 π 4 . 15．[2014 重慶卷 ] 某校早上 8：00 開始上課， 假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上 7：30～ 7：50 之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早 5 分 鐘到

49、校的概率為 ________． (用數(shù)字作答 ) 9 [ 解析 ] 設(shè)小張到校的時(shí)間為 x，小王到校的時(shí)間為 y， (x， y)可以看成平面中的 15.32 15 47 15 47 點(diǎn)．試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)? Ω＝ （ x， y） | 2 ≤x≤ 6 ， 2 ≤y≤ 6 ，這是一個(gè)正方 形區(qū)域，面積為 1 1 1 5 分鐘，所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)? A＝ (x， S ＝ ＝ .事件

50、A 表示小張比小王早到 Ω 3 9 3 y)x－ y≥ 1 ， 15≤x≤47， 15≤ y≤ 47，即圖中的陰影部分，面積為 SA ＝1 1 1＝ 1 .這是一 12 2 6 2 6 2 4 4 32 個(gè)幾何概型問(wèn)題，所以 P(A)＝ SA ＝ 9 SΩ 32.

51、 K4 互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率 K5 相互對(duì)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 20．、 [2014 全國(guó)卷 ] 設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某種設(shè)備的概率分別為 0.6， 0.5， 0.5， 0.4，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立． (1)求同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備的概率； (2)實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃購(gòu)買 k 臺(tái)設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于 k”的概率小于 0.1，求 k 的最小值． 20． 解：記 

52、 A1 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有  i 人需使用設(shè)備，  i＝ 0， 1， 2. B 表示事件：甲需使用設(shè)備． C 表示事件：丁需使用設(shè)備． D 表示事件：同一工作日至少3 人需使用設(shè)備． E 表示事件：同一工作日 4 人需使用設(shè)備． F 表示事件：同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于 k. (1)因?yàn)?P(B)＝0.6， P(C)＝ 0.4， P(Ai)＝ Ci2 0.52，i ＝ 0， 1， 2， 所以 P(D)＝ P(A1 B C＋ A2 B＋ A2 BC)＝ P(A1 B C)＋ P(A2 B)＋

53、P(A2 BC)＝ P(A1) P(B)P(C)＋ P( A2)P(B)＋ P(A2)P(B)P(C)＝0.31. (2)由 (1) 知，若 k＝ 2，則 P(F)＝0.31＞ 0.1， P(E)＝ P(BCA2)＝ P(B)P(C)P(A2)＝ 0.06. 若 k＝ 3，則 P(F)＝0.06＜ 0.1， 所以 k 的最小值為 3. K6 離散型隨機(jī)變量及其分布列 22． [2014 江蘇卷 ] 盒中共有 9 個(gè)球，其中有 4 個(gè)紅球、 3 個(gè)黃球和 2 個(gè)綠球，這些球 除顏色外完全相同．

54、 (1)從盒中一次隨機(jī)取出 2 個(gè)球，求取出的 2 個(gè)球顏色相同的概率 P； (2)從盒中一次隨機(jī)取出 4 個(gè)球，其中紅球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別記為 x ， x ，x ，隨 1 2 3 機(jī)變量 X 表示 x1， x2， x3 中的最大數(shù)，求 X 的概率分布和數(shù)學(xué)期望 E(X)． 22．解： (1) 取到的 2 個(gè)顏色相同的球可能是 2 個(gè)紅球、 2 個(gè)黃球或 2 個(gè)綠球，所以 P＝ 2 2 ＋C 2 6＋ 3＋ 1

55、5 C ＋ C 2 4 3 . 2 ＝ ＝ 18 C9 36 (2)隨機(jī)變量 X 所有可能的取值為 2， 3，4. { X＝ 4} 表示的隨機(jī)事件是“取到的 4 個(gè)球是 4 個(gè)紅球”，故 P(X＝ 4)＝ C44 1 ； 4＝ 126 C9 { X＝ 3} 表示的隨機(jī)事件是“取到的

56、4 個(gè)球是 3 個(gè)紅球和 1 個(gè)其他顏色的球，或 3 個(gè)黃 3 1 3 1 20＋ 6 球和 1 個(gè)其他顏色的球”， 故 P(X＝ C4C5＋ C3C6 3)＝ 4 ＝ 126 ＝ 13；于是 P(X＝2)＝ 1－ P(X＝ C 63 9 13 1 11 3)－ P(X＝ 4)＝ 1－ － ＝ . 所以隨機(jī)變量 X 的概率分布如下表： X 2 3 4 P 11 13 1 14 63

57、 126 因此隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望 E(X)＝ 2 11＋ 313＋ 4 1 ＝ 20. 14 63 126 9 K7 條件概率與事件的獨(dú)立性 K8 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征與正態(tài)分布 20．、 [2014 全國(guó)卷 ] 設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某種設(shè)備的概率分別為 0.6， 0.5， 0.5， 0.4，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立． (1)求同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備的概率； (2)實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃購(gòu)買 k 臺(tái)設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于 k”的

58、概率小于 0.1，求 k 的最小值． 20． 解：記  A1 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有  i 人需使用設(shè)備，  i＝ 0， 1， 2. B 表示事件：甲需使用設(shè)備． C 表示事件：丁需使用設(shè)備． D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備． E 表示事件：同一工作日 4 人需使用設(shè)備． F 表示事件：同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于 k. (1)因?yàn)?P(B)＝0.6， P(C)＝ 0.4， P(Ai)＝ Ci2 0.52，i ＝ 0， 1， 2， 所以 P(D)＝ P(A1 B C

59、＋ A2 B＋ A2 BC)＝ P(A1 B C)＋ P(A2 B)＋ P(A2 BC)＝ P(A1) P(B)P(C)＋ P( A2)P(B)＋ P(A2)P(B)P(C)＝0.31. (2)由 (1) 知，若 k＝ 2，則 P(F)＝0.31＞ 0.1， P(E)＝ P(BCA2)＝ P(B)P(C)P(A2)＝ 0.06. 若 k＝ 3，則 P(F)＝0.06＜ 0.1， 所以 k 的最小值為 3. K9 單元綜合 2． [2014 湖南雅禮中學(xué)月考 ] 已知圓 C：x2＋y2＝12，直線 l ：4x＋ 3y＝ 25，圓 C 上任

60、 意一點(diǎn) A 到直線 l 的距離小于 2 的概率為 ( ) 1 1 1 1 A. 2 B. 4 C.3 D. 6 2． D [ 解析 ] 因?yàn)閳A心 (0， 0)到直線 l 的距離為 5，圓 C 的半徑為 2 3，所以直線 l 與圓 C 相離．設(shè) l 0∥ l 且圓心到 l0 的距離為 3，則滿足題意的點(diǎn) A 位于 l 0，l 之間的弧上，結(jié) 合條件可求得該弧長(zhǎng)為圓 C 周長(zhǎng)的 1，由幾何概型的概率計(jì)算公式可知選項(xiàng) D 正確． 6 13． [2014 州期末福 ] 在邊長(zhǎng)為

61、 2 的正方形 ABCD 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn) M，則 |AM |＜ 1 的概率 為 ____________ ． 13. 1 π [ 解析 ] 由 |AM |<1 知，點(diǎn) M 在以 A 為圓心， 1 為半徑的四分之一圓內(nèi)，故所求 16 1π 4 1 概率為 22 ＝ 16π . 3． [2014 泰安模擬 ] 從 {1 ，2， 3， 4， 5} 中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù) a，從 {2 ， 3，4} 中隨機(jī)選取 一個(gè)數(shù) b，則 b＞ a 的概率是 ( ) 4 3 A. 5 B.

62、5 2 1 C.5 D. 5 3． C [ 解析 ] 從兩個(gè)集合中各選一個(gè)數(shù)有 15 種選法，滿足 b>a 的選法有 (1， 2)， (1， 3)， (1，4)， (2， 3)， (2， 4)， (3， 4)，共有 6 種，所以 b>a 的概率是 6 2 15 ＝ . 5 1．[2014 沙聯(lián)考長(zhǎng) ] 某停車場(chǎng)臨時(shí)停車按時(shí)段收費(fèi)， 收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下： 每輛汽車一次停車 不超過(guò) 1 小時(shí)收

63、費(fèi) 6 元，超過(guò) 1 小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi) 8 元 (不足 1 小時(shí)按 1 小時(shí)計(jì)算 )．現(xiàn) 有甲、乙兩人在該地停車，兩人停車都不超過(guò) 4 小時(shí)． 1 14 5 (1)若甲停車 1 小時(shí)以上且不超過(guò) 2 小時(shí)的概率為 3，停車費(fèi)多于 元的概率為 12，求 甲的停車費(fèi)為 6 元的概率； (2) 若甲、乙兩人每人停車的時(shí)長(zhǎng)在每個(gè)時(shí)段的可能性相同，求甲、乙兩人停車費(fèi)之和 為 28 元的概率． 1．解： (1) 設(shè)“一次停車不超過(guò) 1 小時(shí)”為事件 A，“一

64、次停車 1 到 2 小時(shí)”為事件 B， “一次停車 2 到 3 小時(shí)”為事件 C，“一次停車 3 到 4 小時(shí)”為事件 D. 1 5 由已知得 P(B)＝ 3， P(C＋D )＝ 12. 又事件 A， B， C ，D 互斥， 1 5 1 所以 P(A)＝ 1－ 3－12＝ 4， 1 所以甲的停車費(fèi)為 6 元的概率為 4. (2)易知甲、乙停車時(shí)間的基本事件有 (1，1) ，(1， 2)，(1 ， 3)， (1， 4)，(2 ，1)， (2， 2)，(2， 3)，

65、(2， 4)， (3， 1)， (3， 2)， (3， 3) ， (3， 4)， (4， 1)， (4， 2) ， (4， 3)， (4， 4)，共 16 個(gè)．而“停車費(fèi)之和為 28 元”的事件有 (1，3) ，(2，2)，(3，1)，共 3 個(gè)，所以所求概率為 3 16. 3．[2014 德期末常 ] 空氣質(zhì)量已成為城市居住環(huán)境的一項(xiàng)重要指標(biāo)， 空氣質(zhì)量的好壞由 空氣質(zhì)量指數(shù)確定，空氣質(zhì)量指數(shù)越高，代表空氣污染越嚴(yán)重： 空氣質(zhì) 35～ 75 75～ 115 115～ 150 150～ 250

66、 ≥ 250 0～ 35 量指數(shù) 空氣質(zhì) 良 輕度 中度 重度 嚴(yán)重 優(yōu) 污染 污染 污染 污染 量類別 對(duì)某市空氣質(zhì)量指數(shù)進(jìn)行一個(gè)月 (30 天 )的監(jiān)測(cè)，所得的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖 J17- 1 所示： 圖 J17- 1 (1)估計(jì)該市一個(gè)月內(nèi)空氣受到污染的概率 (若空氣質(zhì)量指數(shù)大于或等于 75，則空氣受到污染 )； (2) 在空氣質(zhì)量類別為“良”“輕度污染”“中度污染”的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中用分層抽樣的方 法抽取一個(gè)容量為 6 的樣本， 若在這 6 個(gè)數(shù)據(jù)中任取 2 個(gè)數(shù)據(jù)， 求這 2 個(gè)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的空氣質(zhì)量類別不都是輕度污染