《隨機(jī)過程》PPT課件

1 隨機(jī)過程 2 在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的討論的隨機(jī)現(xiàn)象，通常 有一個(gè)或有窮多個(gè)隨機(jī)變量去描述，所考慮到的試 驗(yàn)結(jié)果，一般地可用于一個(gè)或有窮多個(gè)數(shù)來表示。 許多隨機(jī)現(xiàn)象僅研究一個(gè)或有求多個(gè)隨機(jī)變量， 不能揭示有些隨機(jī)現(xiàn)象的全部統(tǒng)計(jì)規(guī)律。因?yàn)樵谘?究這些現(xiàn)象時(shí)，必須考慮變化過程，它所考慮的實(shí) 驗(yàn)結(jié)果要用一個(gè)函數(shù)或有窮多個(gè)數(shù)來表示，隨機(jī)過 程的誕生和發(fā)展，就是適應(yīng)這一客觀需要的。 鞅也是現(xiàn)代金融理論的一個(gè)核心工具。 引言 3 隨機(jī)過程的定義 隨機(jī)過程的分類 按統(tǒng)計(jì)特性是否變化分為平穩(wěn)隨機(jī)過程和非平穩(wěn)隨機(jī)過程 按照是否具有記憶性分為純粹隨機(jī)過程、 Markov過程、獨(dú)立增量過 程 按照一階變差是否有限分類：若隨機(jī)過程 tt0的一階變差有限， 稱為有界變差過程。 按照二階矩是否有限分類：若隨機(jī)過程的均值和方差都有限，稱為二 階矩過程，例如前面提到的寬平穩(wěn)過程。 按照概率分布特征分類：如 Weiner過程， Poission過程等。 最常見的隨機(jī)過程或隨機(jī)模型 主要內(nèi)容 4 概率空間 (, F， Ft t ,P)上的一簇在 Rn中取值的隨 機(jī)變量 t, t 就稱為隨機(jī)過程，其中 t : Rn , t 通常理解為時(shí)間， 為 0,+ )或其中的子集， Ft為 F上的 子 代數(shù)，且當(dāng) ts時(shí)， Ft Fs ，于是稱 Ft t 為 F 中 的 代數(shù)流， (, F， Ft t ,P)也常被稱為是帶 代 數(shù)流的概率空間。若 為 0,+ )中的連續(xù)區(qū)間，即時(shí)間參 數(shù)屬于 0,+ )中的連續(xù)區(qū)間，則稱 t, t 是連續(xù)時(shí)間 的隨機(jī)過程；若 t=0,1,2, ，則稱為離散時(shí)間的隨機(jī)過程。 顯然，隨機(jī)過程的隨機(jī)性既與時(shí)間有關(guān)，又與由 決定 的不確定性有關(guān)。另外，我們會經(jīng)常用到由隨機(jī)過程 t 產(chǎn)生的 代數(shù)流，其中，即是由 t時(shí)刻以前的 t產(chǎn)生的 代數(shù)，也是使得 t可測的最小的 代數(shù)。 隨機(jī)過程的定義 5 按統(tǒng)計(jì)特性是否變化分為平穩(wěn)隨機(jī)過程和 非平穩(wěn)隨機(jī)過程 統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間變化而變化的隨機(jī)過程，稱 為平穩(wěn)過程，否則，統(tǒng)計(jì)特性隨時(shí)間變化而變化的 隨機(jī)過程，稱為非平穩(wěn)過程。 平穩(wěn)過程的嚴(yán)格定義為：對于時(shí)間 t 的 n個(gè)任 意的時(shí)刻 t1,t2,t n 和任意實(shí)數(shù) C，若隨機(jī)過程 t t0的分布函數(shù)滿足 Fn(x1,x2,x n; t1,t2,t n)= Fn(x1,x2,x n; t1+C,t2+C,t n+C)， 則稱為平穩(wěn)過程。 隨機(jī)過程的分類 平穩(wěn)隨機(jī)過程 6 平穩(wěn)隨機(jī)過程在實(shí)際應(yīng)用中有諸多不便 ， 于是人 們又提出了寬平穩(wěn)隨機(jī)過程：若隨機(jī)過程 t t0 的均值和協(xié)方差存在 ， 且對任意 t 0， s 0， 都有 Et =a, Cov(t , t+s )=R(s)， 則稱為寬平穩(wěn)過程 或二階平穩(wěn)過程 。 寬平穩(wěn)的不變性表現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)平均的一 、 二階矩上 ， 而平穩(wěn)過程的不變性表現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)平均的概率分布上 ， 所以二者不同 ， 并且不能由平穩(wěn)隨機(jī)過程得到寬平 穩(wěn)隨機(jī)過程 。 二階矩存在的平穩(wěn)隨機(jī)過程一定是寬 平穩(wěn)隨機(jī)過程 。 7 3.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn) 一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸 模型 二、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 三、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn) 四、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程 8 一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典 回歸模型 9 常見的數(shù)據(jù)類型 到目前為止，經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有： 時(shí)間序列數(shù)據(jù) （ time-series data)； 截面數(shù)據(jù) (cross-sectional data) 混合截面數(shù)據(jù) （ pooled cross-section data） 面板數(shù)據(jù) （ panel data) 時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù) 。 10 經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 經(jīng)典回歸分析暗含著一個(gè)重要假設(shè)： 數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。 數(shù)據(jù)非平穩(wěn) ， 大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ) “一致 性 ” 要求 被破懷。 經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量 X是非隨機(jī)變 量 放寬該假設(shè)： X是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步要求： (1)X與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) 不相關(guān) Cov(X,)=0 nXX i /)( 2 QnXXP in )/)( 2l i m依概率收斂： (2) 11 第（ 2）條是為了滿足統(tǒng)計(jì)推斷中大樣本下的 “ 一致 性 ” 特性： )(lim n P nx nux x ux i ii i ii / / 22 QnxP nuxP P i ii n 0 /lim /lim lim 2 第（ 1）條是 OLS估計(jì)的需要 如果 X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢）， 則（ 2）不成立，回歸估計(jì)量不滿足“一致性”，基 于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩。 因此： 注意： 在雙變量模型中： 12 表現(xiàn)在 :兩個(gè)本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻 有很高的相關(guān)性 （有較高的 R2)： 例如： 如果有兩列時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變 化趨勢（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的 關(guān)系，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。 在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中 ： 情況往往是 實(shí)際的時(shí)間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的 ，而 且主要的經(jīng)濟(jì)變量如消費(fèi)、收入、價(jià)格往往表現(xiàn)為 一致的上升或下降。這樣， 仍然通過經(jīng)典的因果關(guān) 系模型進(jìn)行分析，一般不會得到有意義的結(jié)果。 數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn) “ 虛假回歸 ” 問題 13 時(shí)間序列分析 模型方法 就是在這樣的情況下， 以通過揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā) 展起來的全新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論 。 時(shí)間序列分析 已組成現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要內(nèi) 容，并廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析與預(yù)測當(dāng)中 。 14 二、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 15 時(shí)間序列分析中 首先遇到的問題 是關(guān)于時(shí)間序列 數(shù)據(jù)的 平穩(wěn)性 問題。 假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一隨機(jī)過程 （ stochastic process）生成的，即假定時(shí)間序列 Xt（ t=1, 2, ）的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分 布中隨機(jī)得到，如果滿足下列條件： 1）均值 E(Xt)=是 與時(shí)間 t 無關(guān)的常數(shù)； 2）方差 Var(Xt)=2是 與時(shí)間 t 無關(guān)的常數(shù)； 3）協(xié)方差 Cov(Xt,Xt+k)=k 是 只與時(shí)期間隔 k有關(guān)， 與時(shí)間 t 無關(guān)的常數(shù)； 則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是平穩(wěn)的（ stationary)，而 該隨機(jī)過程是一平穩(wěn)隨機(jī)過程（ stationary stochastic process）。 16 例 3.1.1 一個(gè)最簡單的隨機(jī)時(shí)間序列是一具有 零均值同方差的獨(dú)立分布序列： Xt=t ， tN(0,2) 例 3.1.2 另一個(gè)簡單的隨機(jī)時(shí)間列序被稱為 隨機(jī) 游走 （ random walk） ， 該序列由如下隨機(jī)過程生成： Xt=Xt-1+t 這里 ， t是一個(gè)白噪聲 。 該序列常被稱為是一個(gè) 白噪聲（ white noise） 。 由于 Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零 ,由 定義 ,一個(gè)白噪聲序列是平穩(wěn)的 。 17 為了檢驗(yàn)該序列是否具有相同的方差，可假設(shè) Xt的 初值為 X0，則易知 X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 Xt=X0+1+2+ +t 由于 X0為常數(shù)， t是一個(gè)白噪聲，因此 Var(Xt)=t2 即 Xt的方差與時(shí)間 t有關(guān)而非常數(shù) ， 它是一非平穩(wěn)序 列 。 容易知道該序列有相同的 均值 ： E(Xt)=E(Xt-1) 18 然而，對 X取 一階差分 （ first difference） : Xt=Xt-Xt-1=t 由于 t是一個(gè)白噪聲，則序列 Xt是平穩(wěn)的。 后面將會看到 :如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的， 它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列 。 事實(shí)上 ， 隨機(jī)游走過程是下面我們稱之為 1階自回 歸 AR(1)過程的特例 Xt=Xt-1+t 不難驗(yàn)證 :1)|1時(shí) ， 該隨機(jī)過程生成的時(shí)間序列是 發(fā)散的 ， 表現(xiàn)為持續(xù)上升 (1)或持續(xù)下降 (-1)， 因此是非平穩(wěn)的； 19 可以證明 :只有當(dāng) -11或 =1時(shí)，時(shí)間序 列是非平穩(wěn)的 ; 對應(yīng)于（ *）式，則是 0或 =0。 24 因此，針對式 Xt=+Xt-1+t 我們關(guān)心的檢驗(yàn)為： 零假設(shè) H0： =0。 備擇假設(shè) H1： 0 上述檢驗(yàn)可通過 OLS法下的 t檢驗(yàn)完成 。 然而 ， 在零假設(shè) （ 序列非平穩(wěn) ） 下 ， 即使在大樣 本下 t統(tǒng)計(jì)量也是有偏誤的 ， 通常的 t 檢驗(yàn)無法使用 。 Dicky和 Fuller于 1976年提出了這一情形下 t統(tǒng)計(jì)量 服從的分布 （ 這時(shí)的 t統(tǒng)計(jì)量稱為 統(tǒng)計(jì)量 ） ， 即 DF 分布 （ 見表 3.1.3） 。 由于 t統(tǒng)計(jì)量的向下偏倚性 ， 它呈現(xiàn)圍繞小于零值 的偏態(tài)分布 。 25 因此，可通過 OLS法估計(jì) Xt=+Xt-1+t 并計(jì)算 t統(tǒng)計(jì)量的值，與 DF分布表中給定顯著性水 平下的臨界值比較： 如果： t臨界值，則拒絕零假設(shè) H0： =0， 認(rèn)為時(shí)間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。 表 9 . 1 . 3 DF 分布臨界值表 樣 本 容 量 顯著性水平 25 50 100 500 t 分布臨界值 （ n= ） 0.01 - 3.75 - 3.58 - 3.51 - 3.44 - 3.43 - 2.33 0.05 - 3.00 - 2.93 - 2.89 - 2.87 - 2.86 - 1.65 0.10 - 2.63 - 2.60 - 2.58 - 2.57 - 2.57 - 1.28 26 注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是 結(jié)果是相同的。 例如： “ 如果計(jì)算得到的 t統(tǒng)計(jì)量的絕對值大于 臨界值的絕對值，則拒絕 =0”的假設(shè)，原序 列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。 27 進(jìn)一步的問題 ： 在上述使用 Xt=+Xt-1+t 對時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)中 ， 實(shí)際上 假定了時(shí)間序列是 由具有白噪聲隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過程 AR(1)生成的 。 但在實(shí)際檢驗(yàn)中 ， 時(shí)間序列可能由更高階的自回歸過 程生成的 ， 或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲 ， 這樣用 OLS法 進(jìn) 行 估 計(jì) 均 會 表 現(xiàn) 出 隨 機(jī) 誤 差 項(xiàng) 出 現(xiàn) 自 相 關(guān) （ autocorrelation） ， 導(dǎo)致 DF檢驗(yàn)無效 。 另外 ， 如果時(shí)間序列包含有明顯的隨時(shí)間變化的某種 趨勢 （ 如上升或下降 ） ， 則也容易導(dǎo)致上述檢驗(yàn)中的 自相 關(guān)隨機(jī)誤差項(xiàng)問題 。 為了保證 DF檢驗(yàn)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的白噪聲特性 ， Dicky 和 Fuller對 DF檢驗(yàn)進(jìn)行了擴(kuò)充 ， 形成了 ADF（ Augment Dickey-Fuller ） 檢驗(yàn) 。 2、 ADF檢驗(yàn) 28 ADF檢驗(yàn)是通過下面三個(gè)模型完成的： 模型 3 中的 t是時(shí)間變量 ， 代表了時(shí)間序列隨 時(shí)間變化的某種趨勢 （ 如果有的話 ） 。 檢驗(yàn)的假設(shè)都是：針對 H1: 500 -2.58 -2.23 -1.95 -1.61 25 -3.75 -3.33 -3.00 -2.62 50 -3.58 -3.22 -2.93 -2.60 100 -3.51 -3.17 -2.89 -2.58 250 -3.46 -3.14 -2.88 -2.57 500 -3.44 -3.13 -2.87 -2.57 500 -3.43 -3.12 -2.86 -2.57 25 3.41 2.97 2.61 2.20 50 3.28 2.89 2.56 2.18 100 3.22 2.86 2.54 2.17 250 3.19 2.84 2.53 2.16 500 3.18 2.83 2.52 2.16 2 500 3.18 2.83 2.52 2.16 25 -4.38 -3.95 -3.60 -3.24 50 -4.15 -3.80 -3.50 -3.18 100 -4.04 -3.73 -3.45 -3.15 250 -3.99 -3.69 -3.43 -3.13 500 -3.98 -3.68 -3.42 -3.13 500 -3.96 -3.66 -3.41 -3.12 25 4.05 3.59 3.20 2.77 50 3.87 3.47 3.14 2.75 100 3.78 3.42 3.11 2.73 250 3.74 3.39 3.09 2.73 500 3.72 3.38 3.08 2.72 500 3.71 3.38 3.08 2.72 25 3.74 3.25 2.85 2.39 50 3.60 3.18 2.81 2.38 100 3.53 3.14 2.79 2.38 250 3.49 3.12 2.79 2.38 500 3.48 3.11 2.78 2.38 3 500 3.46 3.11 2.78 2.38 31 同時(shí)估計(jì)出上述三個(gè)模型的適當(dāng)形式 ， 然后通過 ADF臨界值表檢驗(yàn) 零假設(shè) H0： =0。 1） 只要其中有一個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了零假設(shè) ， 就可以認(rèn)為時(shí)間序列是平穩(wěn)的； 2） 當(dāng)三個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時(shí) ， 則認(rèn)為時(shí)間序列是非平穩(wěn)的 。 這里所謂 模型適當(dāng)?shù)男问?就是在每個(gè)模型中選取適 當(dāng)?shù)臏蟛罘猪?xiàng) ， 以使模型的殘差項(xiàng)是一個(gè)白噪聲 （ 主要保證不存在自相關(guān) ） 。 一個(gè)簡單的檢驗(yàn)過程： 32 四、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī) 過程 33 隨機(jī)游走序列 Xt=Xt-1+t 經(jīng)差分后等價(jià)地變形為 Xt=t 由于 t是一個(gè)白噪聲 ， 因此 差分后的序列 Xt 是平穩(wěn)的 。 單整 34 一般地，如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過 d次差分后變成平穩(wěn)序 列，則稱原序列是 d 階單整（ integrated of d）序列，記 為 I(d)。 顯然， I(0)代表一平穩(wěn)時(shí)間序列 。 現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中 : 1)只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的 ， 如利率等 ; 2)大多數(shù)指標(biāo)的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的 ， 如一些價(jià)格指數(shù)常 常是 2階單整的 ， 以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額 、 收入等常表 現(xiàn)為 1階單整 。 大多數(shù)非平穩(wěn)的時(shí)間序列一般可通過一次或多次差分的形 式變?yōu)槠椒€(wěn)的 。 但也有一些時(shí)間序列 ， 無論經(jīng)過多少次差分 ， 都不能變?yōu)?平穩(wěn)的 。 這種序列被稱為 非單整的 （ non-integrated） 。 如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原 序列是 一階單整（ integrated of 1）序列 ，記為 I(1)。 35 例 3.1.8 中國支出法 GDP的單整性 。 經(jīng)過試算 ， 發(fā)現(xiàn) 中國支出法 GDP是 1階單整的 ， 適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?1 2 1 2 966.0495.025.26108.1174 ttt GDPGDPtGDP ( - 1 . 9 9 ) ( 4 . 2 3 ) （ - 5 . 1 8 ） ( 6 . 4 2 ) 2R = 0 . 7 5 0 1 L M ( 1 ) = 0 . 4 0 L M ( 2 ) = 1 . 2 9 36 例 3.1.9 中國人均居民消費(fèi)與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值 的單整性 。 經(jīng)過試算 ， 發(fā)現(xiàn) 中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值 GDPPC是 2階單 整的 ， 適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?1 23 60.0 tt GDP P CGDP P C （ - 2 . 1 7 ） 2R = 0 . 2 7 7 8 ， L M ( 1 ) = 0 . 3 1 L M ( 2 ) = 0 . 5 4 同樣地 ， CPC也是 2階單整的 ， 適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?123 67.0 tt C P CC P C （ - 2 . 0 8 ） 2R = 0 . 2 5 1 5 L M ( 1 ) = 1 . 9 9 L M ( 2 ) = 2 . 3 6 37 趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程 前文已指出 ， 一些非平穩(wěn)的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列往往表 現(xiàn)出共同的變化趨勢 ， 而這些序列間本身不一定有 直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系 ， 這時(shí)對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸 ， 盡管 有較高的 R2， 但其結(jié)果是沒有任何實(shí)際意義的 。 這 種現(xiàn)象我們稱之為 虛假回歸 或 偽回歸 （ spurious regression） 。 如：用中國的勞動(dòng)力時(shí)間序列數(shù)據(jù)與美國 GDP 時(shí)間序列作回歸 ， 會得到較高的 R2 ， 但不能認(rèn)為兩 者有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系 ， 而只不過它們有共同的趨勢 罷了 ， 這種回歸結(jié)果我們認(rèn)為是虛假的 。 38 為了避免這種虛假回歸的產(chǎn)生 ， 通常的做法是 引 入作為趨勢變量的時(shí)間 ， 這樣包含有時(shí)間趨勢變 量的回歸 ， 可以消除這種趨勢性的影響 。 然而這種做法 ， 只有當(dāng)趨勢性變量是 確定性的 （ deterministic） 而非 隨機(jī)性的 （ stochastic） ， 才會是有效的 。 換言之 ， 如果一個(gè)包含有某種確定性趨勢的非 平穩(wěn)時(shí)間序列 ， 可以通過引入表示這一確定性趨 勢的趨勢變量 ， 而將確定性趨勢分離出來 。 39 1)如果 =1， =0， 則 （ *） 式成為 一帶位移的 隨機(jī)游走過程 ： Xt=+Xt-1+t （ *） 根據(jù) 的正負(fù) ， Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢 。 這種趨勢稱為 隨機(jī)性趨勢 （ stochastic trend） 。 2)如果 =0， 0， 則 （ *） 式成為一帶時(shí)間趨 勢的隨機(jī)變化過程： Xt=+t+t （ *） 根據(jù) 的正負(fù) ， Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢 。 這 種 趨 勢 稱 為 確 定 性 趨 勢 （ deterministic trend） 。 考慮如下的含有一階自回歸的隨機(jī)過程： Xt=+t+Xt-1+t （ *） 其中 :t是一白噪聲 ， t為一時(shí)間趨勢 。 40 3) 如果 =1， 0，則 Xt包含有 確定性與隨機(jī) 性兩種趨勢。 判斷一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列 ， 它的趨勢是隨機(jī)性 的還是確定性的 ， 可通過 ADF檢驗(yàn)中所用的第 3個(gè) 模型進(jìn)行 。 該模型中已引入了表示確定性趨勢的時(shí)間變量 t， 即分離出了確定性趨勢的影響 。 因此 ， (1)如果檢驗(yàn)結(jié)果表明所給時(shí)間序列有單位 根 ， 且時(shí)間變量前的參數(shù)顯著為零 ， 則該序列顯 示出隨機(jī)性趨勢 ; (2)如果沒有單位根 ， 且時(shí)間變量前的參數(shù) 顯著地異于零 ， 則該序列顯示出確定性趨勢 。 41 隨機(jī)性趨勢可通過差分的方法消除 如：對式 Xt=+Xt-1+t 可通過差分變換為 Xt= +t 該時(shí)間序列稱為 差分平穩(wěn)過程（ difference stationary process） ； 42 確定性趨勢無法通過差分的方法消除，而只能 通過除去趨勢項(xiàng)消除， 如：對式 Xt=+t+t 可通過除去 t變換為 Xt - t =+t 該時(shí)間序列是平穩(wěn)的，因此稱為 趨勢平穩(wěn)過程 （ trend stationary process） 。 最后需要說明的是， 趨勢平穩(wěn)過程代表了一 個(gè)時(shí)間序列長期穩(wěn)定的變化過程，因而用于進(jìn)行 長期預(yù)測則是更為可靠的。