《《隨機過程》PPT課件》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《《隨機過程》PPT課件（42頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、1 隨機過程 2 在概率論與數理統(tǒng)計中的討論的隨機現(xiàn)象，通常 有一個或有窮多個隨機變量去描述，所考慮到的試 驗結果，一般地可用于一個或有窮多個數來表示。 許多隨機現(xiàn)象僅研究一個或有求多個隨機變量， 不能揭示有些隨機現(xiàn)象的全部統(tǒng)計規(guī)律。因為在研 究這些現(xiàn)象時，必須考慮變化過程，它所考慮的實 驗結果要用一個函數或有窮多個數來表示，隨機過 程的誕生和發(fā)展，就是適應這一客觀需要的。 鞅也是現(xiàn)代金融理論的一個核心工具。 引言 3 隨機過程的定義 隨機過程的分類 按統(tǒng)計特性是否變化分為平穩(wěn)隨機過程和非平穩(wěn)隨機過程 按照是否具有記憶性分為純粹隨機過程、 Markov過程、獨立增量過 程 按照一階變差是否有限
2、分類：若隨機過程 tt0的一階變差有限， 稱為有界變差過程。 按照二階矩是否有限分類：若隨機過程的均值和方差都有限，稱為二 階矩過程，例如前面提到的寬平穩(wěn)過程。 按照概率分布特征分類：如 Weiner過程， Poission過程等。 最常見的隨機過程或隨機模型 主要內容 4 概率空間 (, F， Ft t ,P)上的一簇在 Rn中取值的隨 機變量 t, t 就稱為隨機過程，其中 t : Rn , t 通常理解為時間， 為 0,+ )或其中的子集， Ft為 F上的 子 代數，且當 ts時， Ft Fs ，于是稱 Ft t 為 F 中 的 代數流， (, F， Ft t ,P)也常被稱為是帶 代
3、數流的概率空間。若 為 0,+ )中的連續(xù)區(qū)間，即時間參 數屬于 0,+ )中的連續(xù)區(qū)間，則稱 t, t 是連續(xù)時間 的隨機過程；若 t=0,1,2, ，則稱為離散時間的隨機過程。 顯然，隨機過程的隨機性既與時間有關，又與由 決定 的不確定性有關。另外，我們會經常用到由隨機過程 t 產生的 代數流，其中，即是由 t時刻以前的 t產生的 代數，也是使得 t可測的最小的 代數。 隨機過程的定義 5 按統(tǒng)計特性是否變化分為平穩(wěn)隨機過程和 非平穩(wěn)隨機過程 統(tǒng)計特性不隨時間變化而變化的隨機過程，稱 為平穩(wěn)過程，否則，統(tǒng)計特性隨時間變化而變化的 隨機過程，稱為非平穩(wěn)過程。 平穩(wěn)過程的嚴格定義為：對于時間
4、t 的 n個任 意的時刻 t1,t2,t n 和任意實數 C，若隨機過程 t t0的分布函數滿足 Fn(x1,x2,x n; t1,t2,t n)= Fn(x1,x2,x n; t1+C,t2+C,t n+C)， 則稱為平穩(wěn)過程。 隨機過程的分類 平穩(wěn)隨機過程 6 平穩(wěn)隨機過程在實際應用中有諸多不便 ， 于是人 們又提出了寬平穩(wěn)隨機過程：若隨機過程 t t0 的均值和協(xié)方差存在 ， 且對任意 t 0， s 0， 都有 Et =a, Cov(t , t+s )=R(s)， 則稱為寬平穩(wěn)過程 或二階平穩(wěn)過程 。 寬平穩(wěn)的不變性表現(xiàn)在統(tǒng)計平均的一 、 二階矩上 ， 而平穩(wěn)過程的不變性表現(xiàn)在統(tǒng)計平均的
5、概率分布上 ， 所以二者不同 ， 并且不能由平穩(wěn)隨機過程得到寬平 穩(wěn)隨機過程 。 二階矩存在的平穩(wěn)隨機過程一定是寬 平穩(wěn)隨機過程 。 7 3.1 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經典回歸 模型 二、時間序列數據的平穩(wěn)性 三、平穩(wěn)性的單位根檢驗 四、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程 8 一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經典 回歸模型 9 常見的數據類型 到目前為止，經典計量經濟模型常用到的數據有： 時間序列數據 （ time-series data)； 截面數據 (cross-sectional data) 混合截面數據 （ pooled cross-section data）
6、 面板數據 （ panel data) 時間序列數據是最常見，也是最常用到的數據 。 10 經典回歸模型與數據的平穩(wěn)性 經典回歸分析暗含著一個重要假設： 數據是平穩(wěn)的。 數據非平穩(wěn) ， 大樣本下的統(tǒng)計推斷基礎 “一致 性 ” 要求 被破懷。 經典回歸分析的假設之一：解釋變量 X是非隨機變 量 放寬該假設： X是隨機變量，則需進一步要求： (1)X與隨機擾動項 不相關 Cov(X,)=0 nXX i /)( 2 QnXXP in )/)( 2l i m依概率收斂： (2) 11 第（ 2）條是為了滿足統(tǒng)計推斷中大樣本下的 “ 一致 性 ” 特性： )(lim n P nx nux x ux i
7、ii i ii / / 22 QnxP nuxP P i ii n 0 /lim /lim lim 2 第（ 1）條是 OLS估計的需要 如果 X是非平穩(wěn)數據（如表現(xiàn)出向上的趨勢）， 則（ 2）不成立，回歸估計量不滿足“一致性”，基 于大樣本的統(tǒng)計推斷也就遇到麻煩。 因此： 注意： 在雙變量模型中： 12 表現(xiàn)在 :兩個本來沒有任何因果關系的變量，卻 有很高的相關性 （有較高的 R2)： 例如： 如果有兩列時間序列數據表現(xiàn)出一致的變 化趨勢（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的 關系，但進行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數。 在現(xiàn)實經濟生活中 ： 情況往往是 實際的時間序列數據是非平穩(wěn)的 ，而 且
8、主要的經濟變量如消費、收入、價格往往表現(xiàn)為 一致的上升或下降。這樣， 仍然通過經典的因果關 系模型進行分析，一般不會得到有意義的結果。 數據非平穩(wěn)，往往導致出現(xiàn) “ 虛假回歸 ” 問題 13 時間序列分析 模型方法 就是在這樣的情況下， 以通過揭示時間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā) 展起來的全新的計量經濟學方法論 。 時間序列分析 已組成現(xiàn)代計量經濟學的重要內 容，并廣泛應用于經濟分析與預測當中 。 14 二、時間序列數據的平穩(wěn)性 15 時間序列分析中 首先遇到的問題 是關于時間序列 數據的 平穩(wěn)性 問題。 假定某個時間序列是由某一隨機過程 （ stochastic process）生成的，即假
9、定時間序列 Xt（ t=1, 2, ）的每一個數值都是從一個概率分 布中隨機得到，如果滿足下列條件： 1）均值 E(Xt)=是 與時間 t 無關的常數； 2）方差 Var(Xt)=2是 與時間 t 無關的常數； 3）協(xié)方差 Cov(Xt,Xt+k)=k 是 只與時期間隔 k有關， 與時間 t 無關的常數； 則稱該隨機時間序列是平穩(wěn)的（ stationary)，而 該隨機過程是一平穩(wěn)隨機過程（ stationary stochastic process）。 16 例 3.1.1 一個最簡單的隨機時間序列是一具有 零均值同方差的獨立分布序列： Xt=t ， tN(0,2) 例 3.1.2 另一個簡
10、單的隨機時間列序被稱為 隨機 游走 （ random walk） ， 該序列由如下隨機過程生成： Xt=Xt-1+t 這里 ， t是一個白噪聲 。 該序列常被稱為是一個 白噪聲（ white noise） 。 由于 Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零 ,由 定義 ,一個白噪聲序列是平穩(wěn)的 。 17 為了檢驗該序列是否具有相同的方差，可假設 Xt的 初值為 X0，則易知 X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 Xt=X0+1+2+ +t 由于 X0為常數， t是一個白噪聲，因此 Var(Xt)=t2 即 Xt的方差與時間 t有關而非常數 ， 它是一非平穩(wěn)序 列 。 容易知道該序列有相同
11、的 均值 ： E(Xt)=E(Xt-1) 18 然而，對 X取 一階差分 （ first difference） : Xt=Xt-Xt-1=t 由于 t是一個白噪聲，則序列 Xt是平穩(wěn)的。 后面將會看到 :如果一個時間序列是非平穩(wěn)的， 它常常可通過取差分的方法而形成平穩(wěn)序列 。 事實上 ， 隨機游走過程是下面我們稱之為 1階自回 歸 AR(1)過程的特例 Xt=Xt-1+t 不難驗證 :1)|1時 ， 該隨機過程生成的時間序列是 發(fā)散的 ， 表現(xiàn)為持續(xù)上升 (1)或持續(xù)下降 (-1)， 因此是非平穩(wěn)的； 19 可以證明 :只有當 -11或 =1時，時間序 列是非平穩(wěn)的 ; 對應于（ *）式，則
12、是 0或 =0。 24 因此，針對式 Xt=+Xt-1+t 我們關心的檢驗為： 零假設 H0： =0。 備擇假設 H1： 0 上述檢驗可通過 OLS法下的 t檢驗完成 。 然而 ， 在零假設 （ 序列非平穩(wěn) ） 下 ， 即使在大樣 本下 t統(tǒng)計量也是有偏誤的 ， 通常的 t 檢驗無法使用 。 Dicky和 Fuller于 1976年提出了這一情形下 t統(tǒng)計量 服從的分布 （ 這時的 t統(tǒng)計量稱為 統(tǒng)計量 ） ， 即 DF 分布 （ 見表 3.1.3） 。 由于 t統(tǒng)計量的向下偏倚性 ， 它呈現(xiàn)圍繞小于零值 的偏態(tài)分布 。 25 因此，可通過 OLS法估計 Xt=+Xt-1+t 并計算 t統(tǒng)計量
13、的值，與 DF分布表中給定顯著性水 平下的臨界值比較： 如果： t臨界值，則拒絕零假設 H0： =0， 認為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。 表 9 . 1 . 3 DF 分布臨界值表 樣 本 容 量 顯著性水平 25 50 100 500 t 分布臨界值 （ n= ） 0.01 - 3.75 - 3.58 - 3.51 - 3.44 - 3.43 - 2.33 0.05 - 3.00 - 2.93 - 2.89 - 2.87 - 2.86 - 1.65 0.10 - 2.63 - 2.60 - 2.58 - 2.57 - 2.57 - 1.28 26 注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是
14、 結果是相同的。 例如： “ 如果計算得到的 t統(tǒng)計量的絕對值大于 臨界值的絕對值，則拒絕 =0”的假設，原序 列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。 27 進一步的問題 ： 在上述使用 Xt=+Xt-1+t 對時間序列進行平穩(wěn)性檢驗中 ， 實際上 假定了時間序列是 由具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程 AR(1)生成的 。 但在實際檢驗中 ， 時間序列可能由更高階的自回歸過 程生成的 ， 或者隨機誤差項并非是白噪聲 ， 這樣用 OLS法 進 行 估 計 均 會 表 現(xiàn) 出 隨 機 誤 差 項 出 現(xiàn) 自 相 關 （ autocorrelation） ， 導致 DF檢驗無效 。 另外 ， 如果時間序列
15、包含有明顯的隨時間變化的某種 趨勢 （ 如上升或下降 ） ， 則也容易導致上述檢驗中的 自相 關隨機誤差項問題 。 為了保證 DF檢驗中隨機誤差項的白噪聲特性 ， Dicky 和 Fuller對 DF檢驗進行了擴充 ， 形成了 ADF（ Augment Dickey-Fuller ） 檢驗 。 2、 ADF檢驗 28 ADF檢驗是通過下面三個模型完成的： 模型 3 中的 t是時間變量 ， 代表了時間序列隨 時間變化的某種趨勢 （ 如果有的話 ） 。 檢驗的假設都是：針對 H1: 500 -2.58 -2.23 -1.95 -1.61 25 -3.75 -3.33 -3.00 -2.62 50
16、-3.58 -3.22 -2.93 -2.60 100 -3.51 -3.17 -2.89 -2.58 250 -3.46 -3.14 -2.88 -2.57 500 -3.44 -3.13 -2.87 -2.57 500 -3.43 -3.12 -2.86 -2.57 25 3.41 2.97 2.61 2.20 50 3.28 2.89 2.56 2.18 100 3.22 2.86 2.54 2.17 250 3.19 2.84 2.53 2.16 500 3.18 2.83 2.52 2.16 2 500 3.18 2.83 2.52 2.16 25 -4.38 -3.95 -3.60
17、 -3.24 50 -4.15 -3.80 -3.50 -3.18 100 -4.04 -3.73 -3.45 -3.15 250 -3.99 -3.69 -3.43 -3.13 500 -3.98 -3.68 -3.42 -3.13 500 -3.96 -3.66 -3.41 -3.12 25 4.05 3.59 3.20 2.77 50 3.87 3.47 3.14 2.75 100 3.78 3.42 3.11 2.73 250 3.74 3.39 3.09 2.73 500 3.72 3.38 3.08 2.72 500 3.71 3.38 3.08 2.72 25 3.74 3.25
18、 2.85 2.39 50 3.60 3.18 2.81 2.38 100 3.53 3.14 2.79 2.38 250 3.49 3.12 2.79 2.38 500 3.48 3.11 2.78 2.38 3 500 3.46 3.11 2.78 2.38 31 同時估計出上述三個模型的適當形式 ， 然后通過 ADF臨界值表檢驗 零假設 H0： =0。 1） 只要其中有一個模型的檢驗結果拒絕了零假設 ， 就可以認為時間序列是平穩(wěn)的； 2） 當三個模型的檢驗結果都不能拒絕零假設時 ， 則認為時間序列是非平穩(wěn)的 。 這里所謂 模型適當的形式 就是在每個模型中選取適 當的滯后差分項 ， 以使模
19、型的殘差項是一個白噪聲 （ 主要保證不存在自相關 ） 。 一個簡單的檢驗過程： 32 四、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機 過程 33 隨機游走序列 Xt=Xt-1+t 經差分后等價地變形為 Xt=t 由于 t是一個白噪聲 ， 因此 差分后的序列 Xt 是平穩(wěn)的 。 單整 34 一般地，如果一個時間序列經過 d次差分后變成平穩(wěn)序 列，則稱原序列是 d 階單整（ integrated of d）序列，記 為 I(d)。 顯然， I(0)代表一平穩(wěn)時間序列 。 現(xiàn)實經濟生活中 : 1)只有少數經濟指標的時間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的 ， 如利率等 ; 2)大多數指標的時間序列是非平穩(wěn)的 ， 如一些價格指數常 常
20、是 2階單整的 ， 以不變價格表示的消費額 、 收入等常表 現(xiàn)為 1階單整 。 大多數非平穩(wěn)的時間序列一般可通過一次或多次差分的形 式變?yōu)槠椒€(wěn)的 。 但也有一些時間序列 ， 無論經過多少次差分 ， 都不能變?yōu)?平穩(wěn)的 。 這種序列被稱為 非單整的 （ non-integrated） 。 如果一個時間序列經過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原 序列是 一階單整（ integrated of 1）序列 ，記為 I(1)。 35 例 3.1.8 中國支出法 GDP的單整性 。 經過試算 ， 發(fā)現(xiàn) 中國支出法 GDP是 1階單整的 ， 適當的檢驗模型為 1 2 1 2 966.0495.025.26108.1
21、174 ttt GDPGDPtGDP ( - 1 . 9 9 ) ( 4 . 2 3 ) （ - 5 . 1 8 ） ( 6 . 4 2 ) 2R = 0 . 7 5 0 1 L M ( 1 ) = 0 . 4 0 L M ( 2 ) = 1 . 2 9 36 例 3.1.9 中國人均居民消費與人均國內生產總值 的單整性 。 經過試算 ， 發(fā)現(xiàn) 中國人均國內生產總值 GDPPC是 2階單 整的 ， 適當的檢驗模型為 1 23 60.0 tt GDP P CGDP P C （ - 2 . 1 7 ） 2R = 0 . 2 7 7 8 ， L M ( 1 ) = 0 . 3 1 L M ( 2 )
22、 = 0 . 5 4 同樣地 ， CPC也是 2階單整的 ， 適當的檢驗模型為 123 67.0 tt C P CC P C （ - 2 . 0 8 ） 2R = 0 . 2 5 1 5 L M ( 1 ) = 1 . 9 9 L M ( 2 ) = 2 . 3 6 37 趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程 前文已指出 ， 一些非平穩(wěn)的經濟時間序列往往表 現(xiàn)出共同的變化趨勢 ， 而這些序列間本身不一定有 直接的關聯(lián)關系 ， 這時對這些數據進行回歸 ， 盡管 有較高的 R2， 但其結果是沒有任何實際意義的 。 這 種現(xiàn)象我們稱之為 虛假回歸 或 偽回歸 （ spurious regression） 。
23、如：用中國的勞動力時間序列數據與美國 GDP 時間序列作回歸 ， 會得到較高的 R2 ， 但不能認為兩 者有直接的關聯(lián)關系 ， 而只不過它們有共同的趨勢 罷了 ， 這種回歸結果我們認為是虛假的 。 38 為了避免這種虛假回歸的產生 ， 通常的做法是 引 入作為趨勢變量的時間 ， 這樣包含有時間趨勢變 量的回歸 ， 可以消除這種趨勢性的影響 。 然而這種做法 ， 只有當趨勢性變量是 確定性的 （ deterministic） 而非 隨機性的 （ stochastic） ， 才會是有效的 。 換言之 ， 如果一個包含有某種確定性趨勢的非 平穩(wěn)時間序列 ， 可以通過引入表示這一確定性趨 勢的趨勢變量
24、 ， 而將確定性趨勢分離出來 。 39 1)如果 =1， =0， 則 （ *） 式成為 一帶位移的 隨機游走過程 ： Xt=+Xt-1+t （ *） 根據 的正負 ， Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢 。 這種趨勢稱為 隨機性趨勢 （ stochastic trend） 。 2)如果 =0， 0， 則 （ *） 式成為一帶時間趨 勢的隨機變化過程： Xt=+t+t （ *） 根據 的正負 ， Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢 。 這 種 趨 勢 稱 為 確 定 性 趨 勢 （ deterministic trend） 。 考慮如下的含有一階自回歸的隨機過程： Xt=+t+Xt-1+t （ *） 其
25、中 :t是一白噪聲 ， t為一時間趨勢 。 40 3) 如果 =1， 0，則 Xt包含有 確定性與隨機 性兩種趨勢。 判斷一個非平穩(wěn)的時間序列 ， 它的趨勢是隨機性 的還是確定性的 ， 可通過 ADF檢驗中所用的第 3個 模型進行 。 該模型中已引入了表示確定性趨勢的時間變量 t， 即分離出了確定性趨勢的影響 。 因此 ， (1)如果檢驗結果表明所給時間序列有單位 根 ， 且時間變量前的參數顯著為零 ， 則該序列顯 示出隨機性趨勢 ; (2)如果沒有單位根 ， 且時間變量前的參數 顯著地異于零 ， 則該序列顯示出確定性趨勢 。 41 隨機性趨勢可通過差分的方法消除 如：對式 Xt=+Xt-1+t 可通過差分變換為 Xt= +t 該時間序列稱為 差分平穩(wěn)過程（ difference stationary process） ； 42 確定性趨勢無法通過差分的方法消除，而只能 通過除去趨勢項消除， 如：對式 Xt=+t+t 可通過除去 t變換為 Xt - t =+t 該時間序列是平穩(wěn)的，因此稱為 趨勢平穩(wěn)過程 （ trend stationary process） 。 最后需要說明的是， 趨勢平穩(wěn)過程代表了一 個時間序列長期穩(wěn)定的變化過程，因而用于進行 長期預測則是更為可靠的。
《隨機過程》PPT課件
