基本不等式

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1、基本不等式 基本不等式 1. 對(duì)于任意實(shí)數(shù)a b ， ，222a b ab +≥，當(dāng)且僅當(dāng)a b =時(shí)，等號(hào)成立． 證明：2222()a b ab a b +-=-，當(dāng)a b ≠時(shí)，2()0a b ->；當(dāng)a b =時(shí)，2()=0a b -．222a b ab ∴+≥，當(dāng)且僅當(dāng)a b =時(shí)，等號(hào)成立． 2. 如果a b ， ，是正數(shù)，那么2 a b +a b =時(shí)，有等號(hào)成立．此結(jié)論又稱均值不等式或基本不等式． 證明：2220a b +-=+=≥ ，即a b +≥ 2 a b + 3. 均值不等式的理解 （1） 對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a b ， ，2 a

2、 b +叫做a b ， a b ，的幾何平均值．此定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù)． （2） 對(duì)于 =“”的理解應(yīng)為a b = 是2a b +a b ≠ ，則2 a b +． （3） 注意222a b ab +≥ 和2 a b +>a b R ∈， ，后者是+a b R ∈， 4. 極值定理 （1）若x y s +=（和為定值），則當(dāng)x y =時(shí)，xy 取得最大值是2 4 s ； 【證明】x y ， 都是正數(shù)，2x y +x y s +=，2 2()24 x y s xy +≤=，當(dāng)且僅當(dāng)x y =時(shí)，xy 取得最大值是2 4

3、 s ； （2）若=xy p （積為定值），則當(dāng)x y =時(shí)，x y + 取得最小值是； 【證明】x y ， 都是正數(shù)， 2 x y +≥，當(dāng)且僅當(dāng)x y =時(shí)，等號(hào)成立．又=xy p ，x y + ≥． 運(yùn)用均值不等式的前提有口訣：一正二定三相等． 知識(shí)概括 5. 基本不等式的重要變形： 已知：a b +∈R 、（其中+R 表示正實(shí)數(shù)），有以下不等式： 2 112a b a b ++ 2a b +稱為算術(shù)平均數(shù)， 2a b +稱為調(diào)和平均數(shù)． 證明：()2 22 1024a b a b +??-=- ???≥ ∴2 2 2a b +??

4、 ???≥ ∵a b +∈R 、 2 a b +，當(dāng)且僅當(dāng)“a b =”時(shí)等號(hào)成立． 22ab a b a b == + += 0= 2 11a b +，當(dāng)且僅當(dāng)“a b =”時(shí)等號(hào)成立． 1. 均值不等式 【例1】 若0x >，則4 23x x ++的最小值是_________． 【例2】 已知3x ≥，求4 y x x =+的最小值． 例題精講 【例3】 求函數(shù)3 12y x x =--的取值范圍． 【例4】 設(shè)a 、b ∈R ，則3a b +=，則22a b +的最小值是_________． 【例5】 若00a b

5、 >>， ，且2a b +=，求22a b +的最小值． 【例6】 若a 、b +∈R ，且1a b +=，則ab 的最大值是 ． 【例7】 若， a b +∈R ，且1ab a b =++，分別求a b +和ab 的最小值． 【例8】 設(shè)0024a b a b ab >>++=， ，，則（ ） A ．a(chǎn) b +有最大值8 B ．a(chǎn) b +有最小值8 C ．a(chǎn)b 有最大值8 D ．a(chǎn)b 有最小值8 【例9】 已知00228x y x y xy >>++=， ，，則2x y +的最小值是（ ） A ． 3 B ． 4 C ． 92 D ．11 2 【例10】 當(dāng)___x =時(shí)

6、，函數(shù)22(2)y x x =-有最 值，其值是 ． 【例11】 函數(shù)()f x = 的最大值為（ ） A ． 25 B ． 12 C D ．1 【例12】 已知不等式()19a x y x y ?? ++ ??? ≥對(duì)任意正實(shí)數(shù)x y ，恒成立，則正實(shí)數(shù)a 的最小值為（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 【例13】 已知函數(shù)()|lg |f x x =，若0a b A ．()+∞ B ．) ?+∞? C ．(3)+∞， D ．[)3+∞， 【例14】 不等式210x ax ++≥對(duì)一切102x ??∈ ??? ，成立，則a

7、的最小值為（ ） A ．0 B ．2- C ．5 2 - D ．3- 2. 配湊均值 【例15】 已知0t >，則函數(shù)241 t t y t -+=的最小值為____________ ． 【例16】 求函數(shù)2 y 的最小值． 【例17】 （1）求函數(shù)224 1 y x x =+ +的最小值，并求出取得最小值時(shí)的x 值． （2）求y 【例18】 （1）已知54x ，求函數(shù)1 1454y x x =-+-的最小值． （2）求函數(shù)3 12y x x =--的取值范圍． （3）求函數(shù)22(2)y x x =-的最大值． 3. “1

8、”在均值中的作用 【例19】 已知0x >，0y >，1x y +=，則1111x y ?? ??++ ? ?????的最小值為 【例20】 設(shè)00， a b >>，2a b +=，則14 y a b =+的最小值為 【例21】 設(shè)00， a b >>3a 與3b 的等比中項(xiàng)，則11 a b +的最小值為（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．1 4 【例22】 已知給定正數(shù)a ，b 和未知數(shù)x ，y ，且0x >，0y >，滿足10a b +=， 1a b x y +=，x y +的最小值為18，求a ，b 的值． 【例23】 若A B C

9、，， 為ABC △的三個(gè)內(nèi)角，則41 A B C + +的最小值為 ． 【例24】 設(shè)0a b >>，那么21 () a b a b + -的最小值為（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【習(xí)題1】若0x >，則4 y x x =+的最小值是___________． 【習(xí)題2】設(shè)函數(shù)1 ()21(0)f x x x x =+ -B ．有最小值 C ．是增函數(shù) D ．是減函數(shù) 【習(xí)題3】若a 、b +∈R ，且1a b +=，則ab 的最大值是 ，此時(shí)a = ，b = ． 【習(xí)題4 】求函數(shù)2y =的最小值． 課后作業(yè)