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1、空間向量的正交分解及其坐標表示 1 2 1 21 2 11 2 2e ee ee e 如果 ， 是同一平面內(nèi)的兩個 向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實數(shù) ， ，使 。（ 、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組 。不共線 ) 基底a a 平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐標表示 xyoj i(1,0), (0,1),0 (0,0).i j 【 溫 故 知 新 】 問 題 ： p 我們知道，平面內(nèi)的任意一個向量 都可以用兩個不共線的向量 來表示（平面向量基本定理）。對于空間任意一個向量，有沒有類似的結論呢？,a b x yzOi jk QPp 由此可知，如果 是空間兩兩垂直的向
2、量，那么，對空間任一向量 ，存在一個有序?qū)崝?shù)組 x,y,z使得 我們稱 為向量 在 上的分向量。, ,i j k p , ,xi y j zk , ,i j k p 探究：在空間中，如果用任意三個不共面向量 代替兩兩垂直的向量 ，你能得出類似的結 論嗎？ , ,i j k 任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。一、空間向量基本定理： 如果三個向量 不共面，那么對空間任一向量 ，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使, ,a b c p . p xa yb zc 都叫做基向量 , ,a b c (1)任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。特 別 提 示 :對于基底 除了應知道 不共面
3、， 還應明確： (2)由于可視 為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是 。0 0(3)一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關聯(lián)的不同概念。 , , ,a b c , ,a b c 1、已知向量a，b，c是空間的一個基底求證：向量a+b，a-b，c能構成空間的一個基底練習 1 2 3 1 2 31 1 2 2 3 3, ,+ + =0e e e Re e e ：若 是空間內(nèi)一組基底， ， ，若論 ，結 ， 1 2 3= = =0. 恒有 練2 設 且 是空間的一個基底,給出下列向量組 ,其中可以作為空間的基底的向量組
4、有( ) A. 1個 B. 2個 C. 3個 D.4個分析:能否作為空間的基底,即是判斷給出的向量組中的三個向量是否共面,由于 是不共面的向量,所以可以構造一個平行六面體直觀判斷 A 1A D1 C1B1D CB設 ,易判斷出答案C 二 、 空 間 直 角 坐 標 系 單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底,常用 e1 , e2 , e3 表示 空間直角坐標系:在空間選定一點O和一個單位正交基底 e1,e2,e3 ,以點O為原點，分別以e1,e2,e3的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸.這樣就建立了一個空間直角坐標系O
5、-xyz 點O叫做原點，向量e1,e2,e3都叫做坐標向量.通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面。 x yzOe1 e2e3 二 、 空 間 向 量 的 直 角 坐 標 系 x yz Oe 1 e2e3 給定一個空間坐標系和向量 ,且設e1,e2,e3為坐標向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序數(shù)組( x, y, z)叫做p在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，記作.P=(x,y,z) 例 1 平行六面體中,若MC=2AM,A1N=2ND,設AB=a,AD=b,AA1=c,試用a,b,c表示MN. 分 析 :要用a,b,c 表示MN,
6、只要結合圖形,充分運用空間向量加法和數(shù)乘的運算律即可.AB C DA1B1 D1C1M N AB C DA1B1 D1C1M N 解 :連AN, 則 MN=MA+ANMA= AC = (a+b)13 13AN=AD+DN= (2b+c )13= ( a + b + c )13 MN= MA+AN例 1 平行六面體中,若MC=2AM,A1N=2ND,設AB=a,AD=b,AA1=c,試用a,b,c表示MN. B OA CP NM Q 例 2.已知空間四邊形OABC,其對角線為OB,AC, M， N， 分別是對邊OA,BC的中點，點P,Q 是線段MN三等分點,用基向量OA,OB,OC表 示向量OP,OQ. 變 式空間四邊形OABC中,M在OA上,OM=3MA,N在BC上,且BN=2NC,設 ,用向量 表示 CB MN OA1 2 ,3 33 1 2 4 3 3AN a b cMN a b c 練習 1 ,3G ABCOG OA OB OC ：若 為 的 ，O為空間中任意一點，則 = 心+結 重+論 0AG BG CG 且有 A DFCBE 11 (2) ABCD E FAB ADEF DC EF AC 如圖：已知空間四邊形 的每條邊和對角線長都等于，點 、分別是 、 的中點。計算：（）例 3: 小 結 與 作 業(yè) :習題3.1A組第11題
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