《《數(shù)列的極限》PPT課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《數(shù)列的極限》PPT課件.ppt（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第 二 章 一 、 數(shù) 列 與 函 數(shù) 的 極 限二 、 無(wú) 窮 小 與 無(wú) 窮 大三 、 極 限 運(yùn) 算 法 則 、 存 在 準(zhǔn) 則 、 兩 個(gè) 重 要 極 限四 、 無(wú) 窮 小 的 比 較五 、 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 定 義 及 性 質(zhì)第 二 章 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 極 限 與 連 續(xù) 第 二 章 一 、 數(shù) 列 的 有 關(guān) 概 念二 、 數(shù) 列 極 限 的 定 義三 、 收 斂 數(shù) 列 的 性 質(zhì)第 一 節(jié) 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 數(shù) 列 的 極 限 第 三 節(jié) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 一 、 數(shù) 列 的 有 關(guān) 概
2、 念數(shù) 列 ： 以 N+為 定 義 域 的 f (n)按 f (1), f (2), f (n), 排 列 的 一 列 數(shù) 。記 xn=f(n),簡(jiǎn) 寫 成 xn. xn為 數(shù) 列 的 通 項(xiàng) 或 一 般 項(xiàng) .如 1 11 21 : , ,., ,.n n有 界 數(shù) 列 : 若 存 在 M0,對(duì) 任 意 的 n都 滿 足 |xn|M, 則 稱 數(shù) 列 x n為 有 界 數(shù) 列 。同 理 ， 可 定 義 下 有 界 、 上 有 界 . 第 三 節(jié) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 單 增 數(shù) 列 ： 對(duì) 數(shù) 列 xn, 滿 足1 2 1+. .n nx x x x 單 減 數(shù) 列 ： 對(duì)
3、 數(shù) 列 xn, 滿 足1 2 1+. .n nx x x x吵 吵單 增 數(shù) 列 與 單 減 數(shù) 列 統(tǒng) 稱 為 單 調(diào) 數(shù) 列 。子 數(shù) 列 ： 將 數(shù) 列 xn在 保 持 原 有 順 序 情 況 下 ， 任 取 其 中 無(wú) 窮 多 項(xiàng) 所 構(gòu) 成 的 新 數(shù) 列 ， 稱 為 x n 的 子 數(shù) 列 ， 簡(jiǎn) 稱 子 列 ， 一 般 記 為 .knx 數(shù) 學(xué) 語(yǔ) 言 描 述 : r二 、 數(shù) 列 極 限 的 定 義引 例 . 設(shè) 有 半 徑 為 r 的 圓 ,nA 逼 近 圓 面 積 S . n如 圖 所 示 , 可 知nA n nnr cossin2 ),5,4,3( n當(dāng) n 無(wú) 限 增
4、 大 時(shí) , nA 無(wú) 限 逼 近 S (劉 徽 割 圓 術(shù) ) , ,0 ,N正 整 數(shù) 當(dāng) n N 時(shí) ,SAn 用 其 內(nèi) 接 正 n 邊 形 的 面 積總 有劉 徽 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 定 義 :自 變 量 取 正 整 數(shù) 的 函 數(shù) 稱 為 數(shù) 列 ,記 作 )(nfxn 或 .nx nx 稱 為 通 項(xiàng) (一 般 項(xiàng) ) .若 數(shù) 列 nx 及 常 數(shù) a 有 下 列 關(guān) 系 :,0 ,N正 數(shù) 當(dāng) n N 時(shí) , 總 有記 作此 時(shí) 也 稱 數(shù) 列 收 斂 , 否 則 稱 數(shù) 列 發(fā) 散 .幾 何 解 釋 : a aa )( axa n )( Nn 即 ),(
5、 axn )( Nn axnn lim 或 )( naxn1Nx 2Nx axn則 稱 該 數(shù) 列 nx 的 極 限 為 a , 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 如 , ,1,43,32,21 nn 1 nnxn )(1 n ,)1(,43,34,21,2 1nn n nnx nn 1)1( )(1 n ,2,8,4,2 n nnx 2 )( n ,)1(,1,1,1 1 n 1)1( nnx 趨 勢(shì) 不 定 收 斂發(fā) 散 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 1. 已 知 ,)1(nnx nn 證 明 數(shù) 列 nx 的 極 限 為 1. 證 : 1nx 1)
6、1( nn n n1,0 欲 使 ,1 nx 即 ,1 n 只 要 1n因 此 , 取 ,1N 則 當(dāng) Nn 時(shí) , 就 有 1)1(nn n故 1)1(limlim nnx nnnn 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 2. 已 知 ,)1( )1( 2 nx nn 證 明 .0lim nn x證 : 0nx 0)1( )1( 2 n n 2)1( 1 n 11 n,)1,0( 欲 使 ,0 nx 只 要 ,11 n 即 n取 ,11 N 則 當(dāng) Nn 時(shí) , 就 有 ,0 nx故 0)1( )1(limlim 2 nx nnnn ,0 111 nnnx 故 也 可 取 1N
7、也 可 由 2)1( 10 nnx .11N 與 有 關(guān) , 但 不 唯 一 .不 一 定 取 最 小 的 N .說 明 : 取 11 N 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 3. 設(shè) ,1q 證 明 等 比 數(shù) 列 ,1 12 nqqq證 : 0nx 01 nq,)1,0( 欲 使 ,0 nx 只 要 ,1 nq 即,lnln)1( qn 亦 即因 此 , 取 qN lnln1 , 則 當(dāng) n N 時(shí) , 就 有 01nq故 0lim 1 nn q .lnln1 qn 的 極 限 為 0 . 1 nq 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 三 、 收 斂 數(shù) 列 的
8、 性 質(zhì)1. 收 斂 數(shù) 列 的 極 限 唯 一 . 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 4. 證 明 數(shù) 列 ),2,1()1( 1 nx nn 是 發(fā) 散 的 . 2. 收 斂 數(shù) 列 一 定 有 界 . 反 之 ， 有 界 數(shù) 列 卻 不 一 定 收 斂 .3. 收 斂 數(shù) 列 的 保 號(hào) 性 .若 ,lim axnn 且 0a ,NN則 Nn 當(dāng)時(shí) , 有 0nx ,)0(.)0(4. 收 斂 數(shù) 列 的 任 一 子 數(shù) 列 收 斂 于 同 一 極 限 . 由 此 性 質(zhì) 可 知 , 若 數(shù) 列 有 兩 個(gè) 子 數(shù) 列 收 斂 于 不 同 的 極限 ,例 如 ， ),2
9、,1()1( 1 nx nn ;1lim 12 kk x 1lim 2 kk x 發(fā) 散 !則 原 數(shù) 列 一 定 發(fā) 散 . 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 說 明 : 內(nèi) 容 小 結(jié)1. 數(shù) 列 極 限 的 “ N ” 定 義 及 應(yīng) 用2. 收 斂 數(shù) 列 的 性 質(zhì) :唯 一 性 ; 有 界 性 ; 保 號(hào) 性 ;任 一 子 數(shù) 列 收 斂 于 同 一 極 限 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 思 考 與 練 習(xí)1. 如 何 判 斷 極 限 不 存 在 ?方 法 1. 找 一 個(gè) 趨 于 的 子 數(shù) 列 ;方 法 2. 找 兩 個(gè) 收 斂 于 不 同 極
10、限 的 子 數(shù) 列 .2. 已 知 ),2,1(21,1 11 nxxx nn , 求 nn xlim時(shí) , 下 述 作 法 是 否 正 確 ? 說 明 理 由 .設(shè) ,lim ax nn 由 遞 推 式 兩 邊 取 極 限 得aa 21 1a不 對(duì) ! 此 處 nn xlim 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 劉 徽 (約 225 295年 )我 國(guó) 古 代 魏 末 晉 初 的 杰 出 數(shù) 學(xué) 家 . 他 撰 寫 的 重 差 對(duì) 九 章 算 術(shù) 中 的 方 法 和 公 式 作 了 全 面 的 評(píng) 注 , 指 出 并 糾 正 了 其 中 的 錯(cuò) 誤 , 在 數(shù) 學(xué) 方 法 和 數(shù)
11、 學(xué) 理 論 上 作 出 了 杰 出 的 貢 獻(xiàn) . 他 的 “ 割 圓 術(shù) ” 求 圓 周 率 “ 割 之 彌 細(xì) , 所 失 彌 小 , 割 之 又 割 , 以 至 于 不 可 割 ,則 與 圓 合 體 而 無(wú) 所 失 矣 ”它 包 含 了 “ 用 已 知 逼 近 未 知 , 用 近 似 逼 近 精 確 ” 的 重 要極 限 思 想 . 的 方 法 : 柯 西 (1789 1857)法 國(guó) 數(shù) 學(xué) 家 , 他 對(duì) 數(shù) 學(xué) 的 貢 獻(xiàn) 主 要 集 中在 微 積 分 學(xué) , 柯 西 全 集 共 有 27 卷 . 其 中 最 重 要 的 的 是 為 巴 黎 綜 合 學(xué) 校 編 寫 的 分 析 教 程 , 無(wú) 窮 小 分 析 概 論 , 微 積分 在 幾 何 上 的 應(yīng) 用 等 , 有 思 想 有 創(chuàng) 建 , 響 廣 泛 而 深 遠(yuǎn) . 對(duì) 數(shù) 學(xué) 的 影他 是 經(jīng) 典 分 析 的 奠 人 之 一 , 他 為 微 積 分所 奠 定 的 基 礎(chǔ) 推 動(dòng) 了 分 析 的 發(fā) 展 . 復(fù) 變 函 數(shù) 和 微 分 方 程 方 面 . 一 生 發(fā) 表 論 文 800余 篇 , 著 書 7 本 ,
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