數(shù)學(xué)分析》第二章數(shù)列極限

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1、第 二 章 數(shù) 列 極 限 “割 之 彌 細(xì) ， 所失 彌 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 則 與 圓 周 合體 而 無 所 失 矣 ”1、 割 圓 術(shù) ： 播 放劉 徽一 、 概 念 的 引 入 R正 六 邊 形 的 面 積 1A正 十 二 邊 形 的 面 積 2A正 形 的 面 積126 n nA , 321 nAAAA S 2、 截 丈 問 題 ：“一 尺 之 棰 ， 日 截 其 半 ， 萬 世 不 竭 ”;211 X第 一 天 截 下 的 杖 長 為 ;2121 22 X為第 二 天 截 下 的 杖 長 總 和 ;212121 2 nnXn 天 截 下 的 杖 長

2、總 和 為第 nnX 211 1 二 、 數(shù) 列 的 定 義定 義 :按 自 然 數(shù) ,3,2,1 編 號(hào) 依 次 排 列 的 一 列 數(shù) , 21 nxxx (1)稱 為 無 窮 數(shù) 列 ,簡 稱 數(shù) 列 .其 中 的 每 個(gè) 數(shù) 稱 為 數(shù) 列 的 項(xiàng) , nx 稱 為 通 項(xiàng) (一 般 項(xiàng) ).數(shù) 列 (1)記 為 nx .例 如 ;,2,8,4,2 n ;,21,81,41,21 n 2 n 21 n 注 意 ： 1.數(shù) 列 對(duì) 應(yīng) 著 數(shù) 軸 上 一 個(gè) 點(diǎn) 列 .可 看 作 一動(dòng) 點(diǎn) 在 數(shù) 軸 上 依 次 取 ., 21 nxxx1x 2x3x 4x nx2.數(shù) 列 是 整 標(biāo)

3、函 數(shù) ).(nfxn ;,)1(,1,1,1 1 n )1( 1 n;,)1(,34,21,2 1 nn n )1( 1nn n ,333,33,3 .)1(1 1 時(shí) 的 變 化 趨 勢當(dāng)觀 察 數(shù) 列 nnn 播 放 三 、 數(shù) 列 的 極 限 問 題 : 當(dāng) 無 限 增 大 時(shí) , 是 否 無 限 接 近 于 某 一確 定 的 數(shù) 值 ?如 果 是 ,如 何 確 定 ?nxn .1)1(1, 1 無 限 接 近 于無 限 增 大 時(shí)當(dāng) nxn nn 問 題 : “無 限 接 近 ” 意 味 著 什 么 ?如 何 用 數(shù) 學(xué) 語 言刻 劃 它 .1nx nnn 11)1( 1 通 過 上

4、 面 演 示 實(shí) 驗(yàn) 的 觀 察 : ,1001給 定 ,10011 n由 ,100時(shí)只 要 n ,10011 nx有,10001給 定 ,1000時(shí)只 要 n ,1000011 nx有,100001給 定 ,10000時(shí)只 要 n ,100011 nx有,0給 定 ,)1( 時(shí)只 要 Nn .1 成 立有 nx 定 義 如 果 對(duì) 于 任 意 給 定 的 正 數(shù) (不 論 它 多 么小 ),總 存 在 正 數(shù) N,使 得 對(duì) 于 Nn 時(shí) 的 一 切 nx , 不 等 式 axn 都 成 立 ,那 末 就 稱 常 數(shù) a是 數(shù) 列nx 的 極 限 ,或 者 稱 數(shù) 列 nx 收 斂 于 a,

5、記 為 ,lim axnn 或 ).( naxn如 果 數(shù) 列 沒 有 極 限 ,就 說 數(shù) 列 是 發(fā) 散 的 .注 意 ： ;.1 的 無 限 接 近與刻 劃 了不 等 式 axax nn .2 有 關(guān)與 任 意 給 定 的 正 數(shù) N x1x2x 2Nx1Nx 3x幾 何 解 釋 : 2a aa .)( ,),(, 落 在 其 外個(gè)至 多 只 有只 有 有 限 個(gè) 內(nèi)都 落 在所 有 的 點(diǎn)時(shí)當(dāng) N aaxNn n :定 義N其 中 ;:每 一 個(gè) 或 任 給 的 .:至 少 有 一 個(gè) 或 存 在 .,0,0 lim axNnN ax nnn 恒 有時(shí)使 數(shù) 列 極 限 的 定 義 未

6、 給 出 求 極 限 的 方 法 .例 1 .1)1(lim 1 nn nn證 明證 1nx 1)1( 1 nn n n1,0任 給 ,1 nx要 ,1 n只 要 ,1n或所 以 , ,1N取 ,時(shí)則 當(dāng) Nn 1)1( 1nn n就 有 .1)1(lim 1 nn nn即注 意 ： 例 2 .lim),( CxCCx nnn 證 明為 常 數(shù)設(shè)證 Cxn CC ,成 立,0任 給所 以 , 0 ,n對(duì) 于 一 切 自 然 數(shù).lim Cxnn 說 明 :常 數(shù) 列 的 極 限 等 于 同 一 常 數(shù) .小 結(jié) : 用 定 義 證 數(shù) 列 極 限 存 在 時(shí) ,關(guān) 鍵 是 任 意 給定 尋 找

7、 N,但 不 必 要 求 最 小 的 N.,0 例 3 .1,0lim qqnn 其 中證 明證 ,0任 給 ,0 nn qx ,lnln qn,lnln qN 取 ,時(shí)則 當(dāng) Nn,0 nq就 有 .0lim nn q,0q若 ;00limlim nnn q則,10 q若 ,lnlnqn 例 4 .lim ,0lim,0 ax axx nn nnn 求 證 且設(shè)證 ,0任 給 .lim axnn 故 ,lim axnn ,1 axNnN n時(shí) 恒 有使 得 當(dāng) ax axax nnn 從 而 有 aaxn a1 四 、 數(shù) 列 極 限 的 性 質(zhì)1、 有 界 性 定 義 : 對(duì) 數(shù) 列 nx

8、 , 若 存 在 正 數(shù) M, 使 得 一 切 自然 數(shù) n, 恒 有 Mxn 成 立 , 則 稱 數(shù) 列 nx 有 界 , 否 則 , 稱 為 無 界 .例 如 , ;1 nnxn數(shù) 列 .2nnx 數(shù) 列 數(shù) 軸 上 對(duì) 應(yīng) 于 有 界 數(shù) 列 的 點(diǎn) nx 都 落 在 閉 區(qū) 間, MM 上 . 有 界 無 界 定 理 1 收 斂 的 數(shù) 列 必 定 有 界 .證 ,lim axnn 設(shè) 由 定 義 , ,1取 ,1, axNnN n時(shí) 恒 有使 得 當(dāng)則 .11 axa n即 有 ,1,1,max 1 aaxxM N記 , Mxn n 皆 有則 對(duì) 一 切 自 然 數(shù) .有 界故 nx

9、注 意 ： 有 界 性 是 數(shù) 列 收 斂 的 必 要 條 件 .推 論 無 界 數(shù) 列 必 定 發(fā) 散 . 2、 唯 一 性定 理 2 每 個(gè) 收 斂 的 數(shù) 列 只 有 一 個(gè) 極 限 .證 ,lim,lim bxax nnnn 又設(shè) 由 定 義 ,使 得.,0 21 NN ;1 axNn n時(shí) 恒 有當(dāng) ;2 bxNn n時(shí) 恒 有當(dāng) ,max 21 NNN 取時(shí) 有則 當(dāng) Nn )()( axbxba nn axbx nn .2.時(shí) 才 能 成 立上 式 僅 當(dāng) ba 故 收 斂 數(shù) 列 極 限 唯 一 . 例 5 .)1( 1是 發(fā) 散 的證 明 數(shù) 列 nnx證 ,lim axnn

10、 設(shè) 由 定 義 , ,21對(duì) 于 ,21, 成 立有時(shí)使 得 當(dāng)則 axNnN n ),21,21(, aaxNn n時(shí)即 當(dāng) 區(qū) 間 長 度 為 1.,1,1 兩 個(gè) 數(shù)無 休 止 地 反 復(fù) 取而 nx不 可 能 同 時(shí) 位 于 長 度 為 1的 區(qū) 間 內(nèi) ., 但 卻 發(fā) 散是 有 界 的事 實(shí) 上 nx 3、 子 數(shù) 列 的 收 斂 性 的 子 數(shù) 列 （ 或 子 列 ） 的 一 個(gè) 數(shù) 列 稱 為 原 數(shù) 列 到中 的 先 后 次 序 ， 這 樣 得這 些 項(xiàng) 在 原 數(shù) 列 保 持中 任 意 抽 取 無 限 多 項(xiàng) 并定 義 ： 在 數(shù) 列 nnn xxx , 21 ni xx

11、xx , 21 knnn xxx .knxxx kxx kknn nn k kk 項(xiàng) ， 顯 然 ，中 卻 是 第在 原 數(shù) 列而 項(xiàng) ，是 第中 ， 一 般 項(xiàng)在 子 數(shù) 列注 意 ：例 如 ， 定 理 3 收 斂 數(shù) 列 的 任 一 子 數(shù) 列 也 收 斂 且 極 限相 同 證 的 任 一 子 數(shù) 列 是 數(shù) 列設(shè) 數(shù) 列 nn xx k,lim axnn .,0,0 axNnN n恒 有時(shí)使,NK 取 ,時(shí)則 當(dāng) Kk .Nnnn Kkk . ax kn .lim ax knk 證畢 五 、 小 結(jié)數(shù) 列 :研 究 其 變 化 規(guī) 律 ;數(shù) 列 極 限 :極 限 思 想 、 精 確 定

12、義 、 幾 何 意 義 ;收 斂 數(shù) 列 的 性 質(zhì) :有 界 性 、 唯 一 性 、 子 數(shù) 列 的 收 斂 性 . 思 考 題 指 出 下 列 證 明 1lim nn n 中 的 錯(cuò) 誤 證 明 要 使 ,1 n n 只 要 使 )1ln(ln1 nn從 而 由 2ln )1ln(ln )1ln(1 nn得 ,0 取 1)1ln( 2ln N當(dāng) 時(shí) ， 必 有 成 立Nn 10 n n1lim nn n 思 考 題 解 答 1n n )1ln(ln1 nn （ 等 價(jià) ）證 明 中 所 采 用 的 2ln )1ln(ln )1ln(1 nn實(shí) 際 上 就 是 不 等 式 )1ln(ln2l

13、n nnn即 證 明 中 沒 有 采 用 “ 適 當(dāng) 放 大 ” 的 值nnln 從 而 時(shí) ，2ln )1ln( Nn僅 有 成 立 ，)1ln(2ln n但 不 是 的 充 分 條 件 )1ln(ln nn反 而 縮 小 為 n2ln 一 、 利 用 數(shù) 列 極 限 的 定 義 證 明 : 1、 2312 13lim nnn ； 2、 19.999.0lim n二 、 設(shè) 數(shù) 列 nx 有 界 ， 又 0lim nn y ， 證 明 ： 0lim nnn yx . 練 習(xí) 題 1、 割 圓 術(shù) ：“割 之 彌 細(xì) ， 所失 彌 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 則 與 圓

14、 周 合體 而 無 所 失 矣 ”劉 徽一 、 概 念 的 引 入 1、 割 圓 術(shù) ：“割 之 彌 細(xì) ， 所失 彌 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 則 與 圓 周 合體 而 無 所 失 矣 ”劉 徽一 、 概 念 的 引 入 “割 之 彌 細(xì) ， 所失 彌 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 則 與 圓 周 合體 而 無 所 失 矣 ”1、 割 圓 術(shù) ：劉 徽一 、 概 念 的 引 入 “割 之 彌 細(xì) ， 所失 彌 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 則 與 圓 周 合體 而 無 所 失 矣 ”1、 割 圓 術(shù) ：劉 徽一 、 概 念

15、 的 引 入 “割 之 彌 細(xì) ， 所失 彌 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 則 與 圓 周 合體 而 無 所 失 矣 ”1、 割 圓 術(shù) ：劉 徽一 、 概 念 的 引 入 “割 之 彌 細(xì) ， 所失 彌 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 則 與 圓 周 合體 而 無 所 失 矣 ”1、 割 圓 術(shù) ：劉 徽一 、 概 念 的 引 入 “割 之 彌 細(xì) ， 所失 彌 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 則 與 圓 周 合體 而 無 所 失 矣 ”1、 割 圓 術(shù) ：劉 徽一 、 概 念 的 引 入 “割 之 彌 細(xì) ， 所失 彌 少 ，

16、割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 則 與 圓 周 合體 而 無 所 失 矣 ”1、 割 圓 術(shù) ：劉 徽一 、 概 念 的 引 入 “割 之 彌 細(xì) ， 所失 彌 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 則 與 圓 周 合體 而 無 所 失 矣 ”1、 割 圓 術(shù) ：劉 徽一 、 概 念 的 引 入 .)1(1 1 時(shí) 的 變 化 趨 勢當(dāng)觀 察 數(shù) 列 nnn三 、 數(shù) 列 的 極 限 .)1(1 1 時(shí) 的 變 化 趨 勢當(dāng)觀 察 數(shù) 列 nnn三 、 數(shù) 列 的 極 限 .)1(1 1 時(shí) 的 變 化 趨 勢當(dāng)觀 察 數(shù) 列 nnn三 、 數(shù) 列 的 極 限 .)1

17、(1 1 時(shí) 的 變 化 趨 勢當(dāng)觀 察 數(shù) 列 nnn三 、 數(shù) 列 的 極 限 .)1(1 1 時(shí) 的 變 化 趨 勢當(dāng)觀 察 數(shù) 列 nnn三 、 數(shù) 列 的 極 限 .)1(1 1 時(shí) 的 變 化 趨 勢當(dāng)觀 察 數(shù) 列 nnn三 、 數(shù) 列 的 極 限 .)1(1 1 時(shí) 的 變 化 趨 勢當(dāng)觀 察 數(shù) 列 nnn三 、 數(shù) 列 的 極 限 .)1(1 1 時(shí) 的 變 化 趨 勢當(dāng)觀 察 數(shù) 列 nnn三 、 數(shù) 列 的 極 限 .)1(1 1 時(shí) 的 變 化 趨 勢當(dāng)觀 察 數(shù) 列 nnn三 、 數(shù) 列 的 極 限 .)1(1 1 時(shí) 的 變 化 趨 勢當(dāng)觀 察 數(shù) 列 nnn三 、 數(shù) 列 的 極 限 .)1(1 1 時(shí) 的 變 化 趨 勢當(dāng)觀 察 數(shù) 列 nnn三 、 數(shù) 列 的 極 限 .)1(1 1 時(shí) 的 變 化 趨 勢當(dāng)觀 察 數(shù) 列 nnn三 、 數(shù) 列 的 極 限 .)1(1 1 時(shí) 的 變 化 趨 勢當(dāng)觀 察 數(shù) 列 nnn三 、 數(shù) 列 的 極 限