空間幾何體的結(jié)構(gòu),直觀圖和三視圖教案

適用學(xué)科 高中數(shù)學(xué) 適用年級(jí) 高二 適用區(qū)域 人教版區(qū)域 課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘） 2 課時(shí) 知識(shí)點(diǎn) 三視圖、畫三視圖的原則、直觀圖、斜二測(cè)畫法的步驟 教學(xué)目標(biāo) 掌握畫三視圖的基本技能和方法； 提高學(xué)生空間想象力，體會(huì)三視圖的作用． 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn)  畫出簡(jiǎn)單組合體的三視圖． 識(shí)別三視圖所表示的空間幾何體． 【教學(xué)建議】 本節(jié)重點(diǎn)是認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征． 畫出空間幾何體的三視圖、 直觀圖、 培養(yǎng)空間 想象能力、 幾何直觀能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力。由空間圖形數(shù)出其結(jié)構(gòu)特征，由 結(jié)構(gòu)特征想象出空間幾何體， 進(jìn)行空間圖形與其三視圖的相互轉(zhuǎn)化， 是達(dá)到本節(jié)課程目標(biāo)的 重要方法。 本節(jié)中的有關(guān)概念， 主要采用分析具體實(shí)例的共同特點(diǎn)， 再抽象其本質(zhì)屬性空間而得到。 教學(xué)中應(yīng)充分使用直觀模型， 必要時(shí)要求學(xué)生自己制作模型， 引導(dǎo)學(xué)生直觀感知模型， 然后 再抽象出有關(guān)空間幾何體的本質(zhì)屬性，從而形成概念． 學(xué)生在初中學(xué)過平面幾何， 掌握了大量的平面幾何知識(shí)， 進(jìn)行過一定量的邏輯推理訓(xùn)練， 為學(xué)習(xí)立體幾何打下了基礎(chǔ)。 但學(xué)習(xí)立體幾何不僅需要較強(qiáng)的邏輯思維能力， 還需要豐富的 空間想象能力。學(xué)生常感到立體幾何難學(xué)，究其原因主要有幾點(diǎn)： （1）消極心理的影響 “代數(shù)繁，幾何難 ”，在學(xué)生中廣為流傳，使不少學(xué)生還未學(xué)習(xí)立體幾何就已經(jīng)產(chǎn)生了畏 懼心理， 他們對(duì)學(xué)好立體幾何信心不足， 對(duì)怎樣學(xué)習(xí)心中無底， 這種消極心理必然會(huì)給學(xué)生造成消極影響 . （ 2）思維定勢(shì)的影響 受初中所學(xué)平面幾何時(shí)形成的思維定式的束縛，常將平面幾何中的概念、定理照搬 照用 . （ 3）缺乏空間想象力 缺乏空間想象力，常將空間問題看成平面問題，作圖、識(shí)圖難。作圖中不知何時(shí)該用實(shí) 線，何時(shí)該用虛線， 作出的圖形缺乏立體感。 識(shí)圖中相交、 異面分不清， 大角、小角分不清， 是否平行、垂直分不清。 【知識(shí)導(dǎo)圖】 第 1 頁(yè) 教學(xué)過程 一、導(dǎo)入 【教學(xué)建議】 導(dǎo)入是一節(jié)課必備的一個(gè)環(huán)節(jié)， 是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 幫助學(xué)生盡快進(jìn)入學(xué)習(xí)狀 態(tài)。 導(dǎo)入的方法很多，僅舉兩種方法： ① 情境導(dǎo)入，比如講一個(gè)和本講內(nèi)容有關(guān)的生活現(xiàn)象； ② 溫故知新，在知識(shí)體系中，從學(xué)生已有知識(shí)入手，揭示本節(jié)知識(shí)與舊知識(shí)的關(guān)系，幫學(xué) 生建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。 同學(xué)們 , 我們知道光由一點(diǎn)向外散射形成的投影稱為中心投影，而在一束平行光線照射 下形成的投影稱為平行投影。 初中的時(shí)候我們學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單立體圖形的三視圖， 包括：正視圖， 左視圖和俯視圖。這節(jié)課我們將共同學(xué)習(xí)更多的立體圖形和他們?cè)诓煌队爸械娜晥D。 設(shè)計(jì)意圖： 通過展示同學(xué)們熟知的物理現(xiàn)象以及初中學(xué)過的三視圖， 實(shí)現(xiàn)引導(dǎo)學(xué)生由空間圖形到三視圖的轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)“空間”到“平面”的轉(zhuǎn)換，從而突破難點(diǎn)，突出重點(diǎn)。 二、知識(shí)講解 【考教點(diǎn)學(xué)建議】棱建柱議、先棱展錐示大、量棱幾臺(tái)何的體結(jié)的實(shí)構(gòu)物特、征模型、圖片等，讓學(xué)生感受空間幾何體的整體 1 結(jié)構(gòu)，然后再引導(dǎo)學(xué)生抽象出空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征。 1. 棱柱的結(jié)構(gòu)特征： （ 1）定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。 （ 2）棱柱的有關(guān)概念：棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面（簡(jiǎn)稱底），其余各面 叫做棱柱的側(cè)面， 相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱， 側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)。 （ 3）棱柱的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 （4）棱柱的表示：用底面各頂點(diǎn)的字母表示，如上圖的六棱柱可表示為 : 棱柱 ABCDEF— ABCDEF 2. 棱錐的結(jié)構(gòu)特征： (1) 定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。 （2）棱錐的有關(guān)概念：棱錐中，這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面或底，有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三 角形面叫做棱錐的側(cè)面， 各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)， 相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。 第 2 頁(yè) （ 3）棱錐的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱錐、四棱錐、五棱錐等。 （ 4 ）棱錐的表示：用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示，如右圖的四棱錐可表示為：棱錐 S ABCD 3. 棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 （1） 棱臺(tái)的概念： 棱錐被平行于棱錐底面的平面所截后， 截面和底面之間的部分叫做棱臺(tái)． （ 2）棱臺(tái)的有關(guān)概念： （出示模型，邊對(duì)照模型邊介紹）棱臺(tái)的上底面、下底面、側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)； （ 3）棱臺(tái)的分類 : 三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)、六棱臺(tái)； （ 4）棱臺(tái)的表示方法：棱臺(tái) ABCD－ ABCD （ 5）棱臺(tái)的特點(diǎn)：兩個(gè)底面是相似多邊形，側(cè)面都是梯形；側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)． 【教學(xué)建議】 這教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生多觀察，并結(jié)合自己的經(jīng)驗(yàn)，討論各實(shí)物、模型、圖片 的結(jié)構(gòu)特征，提出適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，在比較的過程中形成對(duì)柱、錐、臺(tái)、球結(jié)構(gòu)特征的直觀認(rèn)識(shí)。 考點(diǎn) 2 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 1. 圓柱的結(jié)構(gòu)特征： (1) 定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn) , 其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面 所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫圓柱 （2） 圓柱的有關(guān)概念：在圓柱中，旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓柱的軸，垂直于軸 的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面， 平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置， 不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線。 (3) 圓柱的表示方法：圓柱用表示它的軸的字母表示為圓柱 OO . 2. 圓錐的結(jié)構(gòu)特征： (1) 定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸 , 其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成 的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫圓錐 . (2) 圓錐的有關(guān)概念：在圓錐中，旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓錐的軸，垂直于軸的邊 旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓錐的底面， 斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面， 無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線。 (3) 圓錐的表示方法：圓錐用表示它的軸的字母表示為圓錐 SO. 3. 圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征： (1) 定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分叫做圓臺(tái) . (2) 圓臺(tái)的有關(guān)概念：結(jié)合圖形認(rèn)識(shí)圓臺(tái)的上、下底面、側(cè)面、母線、軸。 (3) 圓臺(tái)的表示方法：圓臺(tái)用表示它的軸的字母表示為圓臺(tái) OO . 4. 球的結(jié)構(gòu)特征： （ 1） 定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體，叫球體，簡(jiǎn)稱球 . （ 2） 在球中，半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。 （3） 球的表示： 球常用表示球心的字母表示為球 O。 5. 簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征： （1） 定義：由簡(jiǎn)單幾何體（如柱、錐、臺(tái)、球等）組合而成的幾何體叫簡(jiǎn)單組合體 . （ 2） 簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成形式： 一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成；一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成。 第 3 頁(yè) 考點(diǎn) 3 柱、錐、臺(tái)、球的三視圖 （1）三視圖的定義：正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖；側(cè)視圖： 光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖； 俯視圖： 光線從幾何體的上面向下面正投 影得到的投影圖．幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖． （2）三視圖的幾何作用：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度 和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度； 側(cè)視圖反 映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度 . 考點(diǎn) 4 直觀圖的斜二測(cè)畫法 直觀圖： 直觀圖最常用的畫法是斜二測(cè)畫法， 由其規(guī)則能畫出水平放置的直觀圖， 其實(shí)質(zhì)就 是在坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的位置的畫法 . 基本步驟如下： （ 1） 建系：在已知圖形中取互相垂直的 x 軸和 y 軸，得到直角坐標(biāo)系 xoy ，直觀圖中畫成斜坐標(biāo)系 xo y ，兩軸夾角為 45 ( 或 135 ). （2）平行不變：已知圖形中平行于 x 軸和 y 軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于 x 或 y 軸的線段 . （3）長(zhǎng)度規(guī)則：已知圖形中平行于 x 軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變；平行于 y 軸的 線段，長(zhǎng)度為原來的一半 . 三 、例題精析 類型一 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 例題 1 判斷如圖，一個(gè)封閉的長(zhǎng)方體，它的六個(gè)表面各標(biāo)出 A、 B、 C、D、 E、 F 這六個(gè)字母，現(xiàn)放 成下面三種不同的位置， 所看見的表面上的字母已表明， 則字母 A、B、C 對(duì)面的字母依次分 別為（ ） A． D、E、 F B． F、D、 E C． E、 F、D D． E、 D、 F 【解析】 D 第一個(gè)正方體已知 A， B，C，第二個(gè)正方體已知 A， C， D，第三個(gè)正方體已知 B， C，E，且 不同的面上寫的字母各不相同， 則可知 A 對(duì)面標(biāo)的是 E，B 對(duì)面標(biāo)的是 D，C對(duì)面標(biāo)的是 F．故 選 D． 【總結(jié)與反思】 三視圖的教學(xué)， 主要應(yīng)當(dāng)通過學(xué)生自己的親身實(shí)踐， 動(dòng)手作圖來完成。 因?yàn)椋? 在做立體圖的題目時(shí)，對(duì)立體圖形基本結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)和記憶是十分重要的。 類型二 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 第 4 頁(yè) 例題 2 下列幾何體中是臺(tái)體的是 ( ) ． 【解析】 D A 中的幾何體側(cè)棱延長(zhǎng)線沒有交于一點(diǎn)； B 中的幾何體沒有兩個(gè)平行的面；很明顯 C 中幾何 體是棱錐． 【總結(jié)與反思】 在做立體圖的題目時(shí)，對(duì)立體圖形基本結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)和記憶是十分重要的。 對(duì)于臺(tái)體而言，不論是棱臺(tái)還是圓臺(tái)他們的共同點(diǎn)都是：臺(tái)體的上下底面是平行的關(guān)系。 類型三 柱、錐、臺(tái)、球的三視圖 例題 3 如圖 , 是常見的六角螺帽，試畫出它的三視圖 【解析】 【總結(jié)與反思】 畫三視圖之前，先把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚， 確定一個(gè)正前方，從三個(gè)不同的角度進(jìn)行觀察 . 在繪制三視 圖時(shí)，分界線和可見輪廓線 都用實(shí)線畫出， 被遮擋的部分用 虛線表示出來 . 從三個(gè)方向（正面，左面，上面）觀察，得到三個(gè)平面圖形，繪制出對(duì)應(yīng)的 三視圖。 類型四 直觀圖的斜二測(cè)畫法 例題 4 畫棱長(zhǎng)為 4cm 的正方體的直觀圖 【解析】按照斜二測(cè)畫法的步驟畫正方體的直觀圖，先畫下底面，再畫棱，再畫上底面 . 畫法：如圖，按如下步驟完成 . 第一步，作水平放置的正方形的直觀圖 ABCD，使 BAD 45 , AB 4cm, AD 2cm . 第二步，過 A 作 z 軸，使 BAz 90 . 分別過點(diǎn) B, C , D 作 z 軸的平行線，在 z 軸及這 組平行線上分別截取 AA BB CC DD 4cm . 第三步，連接 A B , BC , C D , D A ，所得圖形就是正方體的直觀圖 . 【總結(jié)與反思】 熟練的掌握直觀圖的斜二測(cè)畫法，對(duì)其步驟的順序能夠達(dá)到正確的運(yùn)用。 例題 5 長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1D1 的棱長(zhǎng) AA1 4, AB 3, AD 5，則從 A 點(diǎn)沿長(zhǎng)方體表面到達(dá) C1 點(diǎn)的最短距離為 ( ) ． 第 5 頁(yè) A． 4 5 B ． 3 10 C. 74 D ． 8 【解析】 C 將長(zhǎng)方體沿 AA1 剪開成平面圖形， 沿 AB 展開， AC1 (5 4)2 32 3 10 ； 沿 AD 展開，則有 AC1 (4 3)2 52 74 . 綜上所述，從點(diǎn) A 沿表面到 C1 的最短距離為 74 . 例題 6 1,1,1,1, 和 a 且長(zhǎng)為 a 的棱與長(zhǎng)為 a 的取值 設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為 的棱異面，則 范圍是（ ） （A） 0, 2 （ B） 0, 3 （ C） 1, 2 （ D） 1, 3 【解析】 A 設(shè) AB邊長(zhǎng)為 a， PC邊長(zhǎng)為 ，E,F 分別為 PC,AB的中點(diǎn)，可知 AE=BE, 因?yàn)?BE 1 ( 2 )2 2 ， BF BE 2 2 所以 AB 2BF 2 四 、課堂運(yùn)用 基礎(chǔ) 1. 紙質(zhì)的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北．現(xiàn)在沿該正方體的 一些棱將正方體剪開，外面朝上展平得到如圖所示的平面圖形，則標(biāo)“△”的面的方位是 ( ) A ．南 B．北 C．西 D．下 2. 一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一角，如圖所示，關(guān)于它的三視圖，下列畫法正確的是 ( ) 3. 某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是 ( ) 4. 正方形 O′A′B′C′的邊長(zhǎng)為 1 cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖， 則原圖形的周長(zhǎng)是 ( ) A ． 6 cm B． 8 cm C．(2＋ 3 2)cm D． (2＋ 2 3)cm 第 6 頁(yè) 答案與解析 1. 【答案】 B 【解析】將所給圖形還原為正方體，并將已知面“上 ”、 “東 ”分別指向上面、東面，則標(biāo)記“△”的為北面． 2. 【答案】 A 【解析】由于去掉一角后，出現(xiàn)了一個(gè)小三角形的面．正視圖中，長(zhǎng)方體上底面和右邊 側(cè)面上的三角形的兩邊的正投影分別和矩形的兩邊重合，故 B 錯(cuò)；側(cè)視圖中的線應(yīng)是虛 線，故 C 錯(cuò)；俯視圖中的線應(yīng)是實(shí)線，故 D 錯(cuò)． 3. 【答案】 D 【解析】由于該幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同，且上部分是一個(gè)矩形，矩形中間無實(shí)線 和虛線，因此俯視圖不可能是 D ． 4. 【答案】 B 【解析】 如圖， OA＝ 1 cm， 在 Rt△OAB 中， OB ＝2 2 cm，所以 AB ＝ OA2＋ OB2＝ 3 cm． 所以四邊形 OABC 的周長(zhǎng)為 8 cm． 鞏固 1. 關(guān)于如圖所示幾何體的正確說法為 ( ) ①這是一個(gè)六面體． ②這是一個(gè)四棱臺(tái)． ③這是一個(gè)四棱柱． ④此幾何體可由三棱柱截去一個(gè)三棱柱得到． ⑤此幾何體可由四棱柱截去一個(gè)三棱柱得到． A ．①②③ B．①③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 2. 一個(gè)三棱錐，如果它的底面是直角三角形，那么它的三個(gè)側(cè)面 ( ) A ．至多有一個(gè)是直角三角形 B．至多有兩個(gè)是直角三角形 C．可能都是直角三角形 D．必然都是非直角三角形 3. 如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面， 下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而 得到的組合體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)組合體，則截面圖形可能是 ( ) A ．①② B．①③ 第 7 頁(yè) C．①④ D．①⑤ 4. 已知兩個(gè)圓錐，底面重合在一起( 底面平行于水平面 )，其中一個(gè)圓錐頂點(diǎn)到底面的距離 為 2 cm，另一個(gè)圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為 3 cm，則其直觀圖中這兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離為 ( ) A ． 2 cm B． 3 cm C．2． 5 cm D． 5 cm 5. 如圖所示，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為 45、腰和上底長(zhǎng)均為 1 的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是( ) A ． 1＋ 2 B． 1＋ 2 2 2 2 C．1＋ 2 D． 2＋ 2 答案與解析 1. 【答案】 D 【解析】 ① 正確．因?yàn)橛辛鶄€(gè)面，屬于六面體的范圍． ② 錯(cuò)誤．因?yàn)閭?cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，所以不正確． ③ 正確．如果把幾何體放倒就會(huì)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)四棱柱． ④⑤ 都正確．如圖所示． 2. 【答案】 C 【解析】 注意到答案特征是研究側(cè)面最多有幾個(gè)直角三角形， 這是一道開放性試題， 需要研 究在什么情況下側(cè)面的直角三角形最多．在如圖所示的長(zhǎng)方體中，三棱錐 A A1C1D1 的三 個(gè)側(cè)面都是直角三角形． 3. 【答案】 D 【解析】 一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐， 剩下的幾何體被一個(gè)豎直的平面所截后， 圓柱的輪廓是矩 形除去一條邊，圓錐的輪廓是三角形除去一條邊或拋物線的一部分． 4. 【答案】 D 【解析】圓錐頂點(diǎn)到底面的距離即圓錐的高，故兩頂點(diǎn)間距離為 2＋3＝ 5(cm) ，在直觀圖中 與 z 軸平行的線段長(zhǎng)度不變，仍為 5 cm，故選 D． 5. 【答案】 D 【解析】因?yàn)?A′D′∥ B′C′，所以 AD ∥ BC． 因?yàn)椤?A′B′C′＝45， 所以∠ ABC＝90． 所以 AB⊥ BC．所以四邊形 ABCD 是直角梯形，如圖所示． 其中， AD＝ A′D′＝ 1， BC＝ B′C′＝1＋ 2， AB＝ 2， 即 S 梯形 ABCD ＝ 2＋ 2． 第 8 頁(yè) 拔高 1. 定義：底面是正三角形，側(cè)棱與底面垂直的三棱柱叫做正三棱柱．將正三棱柱截去一個(gè) 角( 如圖 1 所示， M，N 分別是 AB ，BC 的中點(diǎn) )得到幾何體 (如圖 2)，則該幾何體按圖 2 所示 方向的側(cè)視圖為 ( ) 2. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為 1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，求該多面體 最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)． 3. 如圖所示的是水平放置的三角形ABC 的直觀圖△ A′B′C′，其中 D 是 A′C′的中點(diǎn)，在原三 角形 ABC 中，∠ ACB≠ 60，則原圖形中與線段 B′D 的長(zhǎng)相等的線段有 ( ) A ． 0 條 B． 1 條 C．2 條 D． 3 條 4. 已知某幾何體的正視圖和側(cè)視圖是如圖中所示的等腰梯形，俯視圖如圖中所示外部是正 方形， 內(nèi)部是與外部正方形同心的正方形．根據(jù)圖中尺寸，說明原幾何體的特征， 并說明該 幾何體的主要元素的尺寸． 答案與解析 1. 【答案】 D 【解析】由題圖 2 側(cè)視的方向可知， M 點(diǎn)的投影是棱 AC 的中點(diǎn)， N 點(diǎn)的投影為 C， E 點(diǎn)的 投影為 F，故應(yīng)選 D． 2. 【答案】 5 2 【解析】由三視圖可知此幾何體的直觀圖如圖所示，其中 AB⊥AC ，DC ⊥ AC， DC ⊥ BC， 則 BC＝ 32＋ 42＝ 5， DA ＝ 32 ＋52＝ 34， DB ＝ 52＋ 52＝ 5 2， 因?yàn)?5＜ 34＜ 5 2， 所以最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為 5 2． 3. 【答案】 C 【解析】 先按照斜二測(cè)畫法把直觀圖還原為真正的平面圖形， 然后根據(jù)平面圖形的幾何性 質(zhì)找出與線段 B′D 長(zhǎng)度相等的線段．把三角形A′B′C′還原后為直角三角形，則 D 為斜邊 AC 的中點(diǎn)，所以 AD ＝ DC ＝ BD．故選 C． 4. 【答案】幾何體是正四棱臺(tái)，各要素長(zhǎng)度見解析 【解析】所求幾何體是一個(gè)正四棱臺(tái)，其上底邊長(zhǎng)為 2 cm，下底邊長(zhǎng)為 4 cm ，由三視圖可 知正四棱臺(tái)的斜高為 3 cm，所以正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為 4－ 2 2 ＋ 32＝ 10(cm)． 2 該正四棱臺(tái)主要元素的尺寸示意圖如圖所示． 本節(jié)講五了 、4課個(gè)重堂要小內(nèi)結(jié)容： 第 9 頁(yè) 1. “視圖 ”是將物體按正投影法向投影面投射時(shí)所得到的投影圖 . 光線自物體的前面向后投 影所得的投影圖成為 “正視圖 ”，自左向右投影所得的投影圖稱為 “側(cè)視圖 ”，自上向下投影所 得的圖形稱為 “俯視圖 ”. 用這三種視圖即可刻劃空間物體的幾何結(jié)構(gòu)，稱為 “三視圖 ”. 2. 畫三視圖之前，先把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，確定一個(gè)正前方，從幾何體的正前方、左側(cè)（和右側(cè)） 、正上方三個(gè)不同的方向看幾何體，畫出所得到的三個(gè)平面圖形，并發(fā)揮空間想 象能力 . 在繪制三視圖時(shí)， 分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出， 被遮擋的部分用虛線表示出來． 3. 三視圖中反應(yīng)的長(zhǎng)、寬、高的特點(diǎn)： “長(zhǎng)對(duì)正 ”，“高平齊 ”， “寬相等 ”． 4. 空間幾何體的三視圖與直觀圖有密切聯(lián)系 . 三視圖從細(xì)節(jié)上刻畫了空間幾何體的結(jié)構(gòu)， 根據(jù)三視圖可以得到一個(gè)精確的空間幾何體， 得到廣泛應(yīng)用（零件圖紙、建筑圖紙） . 直觀 圖是對(duì)空間幾何體的整體刻畫，根據(jù)直觀圖的結(jié)構(gòu)想象實(shí)物的形象． 六 、課后作業(yè) 基礎(chǔ) 1. 下列說法正確的是 () ①棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形； ②有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐； ③四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面； ④棱錐的各側(cè)棱長(zhǎng)相等． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2. 下列說法錯(cuò)誤的是 () A．一個(gè)三棱錐可以由一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐拼合而成 B．一個(gè)圓臺(tái)可以由兩個(gè)圓臺(tái)拼合而成 C．一個(gè)圓錐可以由兩個(gè)圓錐拼合而成 D．一個(gè)四棱臺(tái)可以由兩個(gè)四棱臺(tái)拼合而成 3. 若某幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖完全相同，則該幾何體的正視圖不可 能是 ( ) 4. 已知△ ABC，選定的投影面與△ ABC 所在平面平行，則經(jīng)過中心投影后得到 的△ A′B′C′與△ ABC( ) A．全等 B．相似 第 10 頁(yè) C．不相似 D．以上都不對(duì) 答案與解析 1. 【答案】 B 【解析】由棱錐的定義可知，棱錐的各側(cè)面都是三角形，故①正確；有一個(gè)面是多邊形，其 余各面都是三角形， 如果這些三角形沒有一個(gè)公共頂點(diǎn)， 那么這個(gè)幾何體就不是棱錐， 故② 錯(cuò)；四面體就是由四個(gè)三角形所圍成的幾何體， 因此四面體的任何一個(gè)面作底面的幾何體都是三棱錐，故③正確；棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)可以相等，也可以不相等，故④錯(cuò)． 2. 【答案】 C 【解析】 用一個(gè)平行于底面的平面去截臺(tái)體， 就會(huì)得到兩個(gè)臺(tái)體， 因此一個(gè)圓臺(tái)可以由兩個(gè) 圓臺(tái)拼合而成，一個(gè)四棱臺(tái)也可以由兩個(gè)四棱臺(tái)拼合而成，故 B， D 選項(xiàng)說法是正確的．若 在三棱錐的底面兩邊上任找兩點(diǎn)， 過這兩點(diǎn)和三棱錐的頂點(diǎn)的截面， 就會(huì)把三棱錐分成一個(gè) 三棱錐和一個(gè)四棱錐，因此一個(gè)三棱錐可以由一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐拼合而成，故選項(xiàng) A 的說法正確． 3. 【答案】 D 【解析】滿足選項(xiàng) A 的有三棱錐，滿足選項(xiàng) B 的有球，滿足選項(xiàng) C 的有正方體，故選 D. 4. 【答案】 B 【解析】本題主要考查對(duì)中心投影的理解，根據(jù)題意畫出圖形如圖所示． OAABOB BCOCAC 由圖易得 OA′＝A′B′＝ OB′ ＝B′C′＝ OC′＝A′C′ ，則 △ ABC∽△ A′B′C′. 1. 在四棱錐的四個(gè)側(cè)面中，直角三角形最多可有 ( ) 鞏固 A． 1 個(gè) B．2 個(gè) C． 3 個(gè) D．4 個(gè) 2. 如圖所示，在所有棱長(zhǎng)均為 1 的三棱柱上，有一只螞蟻從點(diǎn) A 出發(fā)，圍著三 棱柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)點(diǎn) A1，則爬行的最短路程為 ________． 3. 甲、乙、丙、丁四人分別面對(duì)面坐在一個(gè)四邊形桌子旁邊，桌上一張紙上寫 著數(shù)字 “9，”甲說他看到的是 “6，”乙說他看到的是 “6，”丙說他看到的是 “6，”丁 說他看到的是 “9，”則下列說法正確的是 ( ) A．甲在丁的對(duì)面，乙在甲的左邊，丙在丁的右邊 B．丙在乙的對(duì)面，丙的左邊是甲，右邊是乙 C．甲在乙的對(duì)面，甲的右邊是丙，左邊是丁 第 11 頁(yè) D．甲在丁的對(duì)面，乙在甲的右邊，丙在丁的右邊 4. 如圖所示，四面體 A-BCD 的四個(gè)頂點(diǎn)是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn) (長(zhǎng)方體是虛擬圖 形，起輔助作用 )，則四面體 A-BCD 的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖依次是 ________． 答案與解析 1. 【答案】 D 【解析】 如圖所示，在長(zhǎng)方體 ABCD-A1 1 1 1 中取四棱錐 A1 -ABCD ，則此四 B C D 棱錐的四個(gè)側(cè)面全為直角三角形．故正確答案為 D. 2. 【答案】 10 【解析】將三棱柱沿 AA1 展開如圖所示，則線段 AD1 即為最短路線， AD1 ＝ AD2＋DD 21＝ 10. 3. 【答案】 D 【解析】通過空間想象來判斷，甲看到的為 “6”，丁看到的為 “9”，顯然甲、丁相對(duì)，而乙 看到的為 “6”，則乙在甲的右邊，丙在丁的右邊 ． 4. 【答案】①②③ 【解析】四面體 A-BCD 的正視圖是邊長(zhǎng)分別為 3,4 的矩形，對(duì)角線左上至右下為虛線，左 下至右上為實(shí)線；側(cè)視圖是邊長(zhǎng)分別為 4,5 的矩形，對(duì)角線左上至右下為實(shí)線，左下至右上 為虛線；俯視圖是邊長(zhǎng)分別為 3,5 的矩形，對(duì)角線左上至右下為實(shí)線， 左下至右上為虛線． 故 三視圖為①②③ . 拔高 1. 某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均為圖甲所示， 則在圖乙的四個(gè)圖中可以作為該 幾何體的俯視圖的是 ( ) A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 2． 某五面體的三視圖如圖所示，其正視圖、俯視圖均是等腰直角三角形，側(cè)視 圖是直角梯形，部分長(zhǎng)度已標(biāo)出，試畫出該幾何體，并求出此幾何體各棱的長(zhǎng)． 3． 用小方塊搭一個(gè)幾何體，使得它的正視圖和俯視圖如圖所示，這樣的幾何體 只有一種嗎？它至少需要多少個(gè)小立方塊？最多需要多少個(gè)小立方塊？ 答案與解析 1. 【答案】 A 【解析】 若圖②是俯視圖， 則正視圖和側(cè)視圖中矩形的豎邊延長(zhǎng)線有一條和圓相切， 故圖② 不合要求； 若圖④是俯視圖，則正視圖和側(cè)視圖不相同， 故圖④不合要求， ①③都是能符合 要求的幾何體，故選 A. 第 12 頁(yè) 2. 【答案】見解析 【解析】借助正方體 ( 棱長(zhǎng)為 1) 及題目所給的三視圖，該幾何體可看作是從正方體中截出來 的( 如圖①所示 ) ，然后將所得圖形從正方體中分離出來，即可得到該幾何體 ( 如圖②所示 ) ， 易知該幾何體為四棱錐 A-BMC1C. 結(jié)合給定的三視圖的長(zhǎng)度關(guān)系， 可知在四棱錐 A-BMC1 C 中，AB＝1，BC＝ 1，AC＝ 2， 1 5 5 BM＝2，AM＝ 2 ， CC1＝1，AC1＝ 3，MC1＝ 2 . 3. 【答案】見解析 【解析】 由俯視圖可知此幾何體應(yīng)是有三行和三列， 且第三列的第二行、 三行都沒有小立方 塊，其余的各列各行都有小立方塊， 再根據(jù)正視圖，第一列中至少有一行是三層， 第二列中 至少有一行是兩層，第三列第三行只有一層，這樣就可推出小立方塊的個(gè)數(shù)．最少要 10 個(gè) 小立方塊，最多要 16 個(gè)小立方塊 第 13 頁(yè)