一元二次方程全章導學案

《一元二次方程全章導學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《一元二次方程全章導學案（65頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 22.1 一元二次方程（ 1） 學習目標： 1． 通過設置問題，建立數(shù)學模型，模仿一元一次方程的概念給一元二次方程下定義； 2． 一元二次方程的一般形式及其有關概念； 3． 使學生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達式以及各種特殊形式； 4． 通過生活學習數(shù)學，并用數(shù)學解決生活中的問題來激發(fā)學生的學習熱情。 學習重點： 一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有關概念解決問題 學習難點： 建立一元二次方程的數(shù)學模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念。 一． 學前準備： 1． ____

2、________________________________________ 叫方程； _____________________________________________ 叫一元一次方程。 2．我們知道了利用一元一次方程可以解決生活中的一些實際問題，利用一元一次方程解決實際問題的步驟是： 二． 探究活動 （一） 獨立思考 解決問題 1． 剪一塊面積為 150cm2 的長方形鐵片，師它的長比寬多 5cm，這塊鐵皮該怎么剪呢？如 果鐵皮的寬為 x（ cm），那么鐵皮的長為 _________cm. 根據題意，可得方程是： _____

3、_________________ 2． 一個數(shù)比另一個數(shù)小 3 ，且這兩數(shù)之積為 6，求這兩個數(shù)。設其中較小的一個數(shù)位 x， 請列出滿足題意的方程 __________________. 3．正方形的面積是 2 cm2 ，求它的邊長？ _______________________________________________. 3． 矩形花圃一面靠墻，另外三面所圍得柵欄的總長度是 19m，如果花圃的面積是 24 m2 ， 求花圃的長和寬。 ____________________________________________________

4、______. （二） 師生探究 合作交流 議一議： 1.上面的方程有哪些共同的特點呢？你知道什么是一元二次方程了嗎？ 2．結合上面的方程的特點你能夠用一個式子表示一元二次方程的一般形式嗎？ 3．ax2 bx c 0 ( a 0)其中 ______叫做二次項， a 叫做 ______,bx 叫做 _______,b 叫做 _______.c 是常數(shù)項。 4． 下面是一元二次方程嗎？（填 “是 ”或 “否 ”） 2 x 2 3x 2 0 ( ) x 22 3

5、 0 ( ) x 2 x 2 31 0 ( ) 5 x 2 0 ( ) 5． 方程： 3x(x－1)=2(x+2)+8 (1) 是一元二次方程嗎？如果是一元二次方程請將它轉化成一般形式。 (2) 如果是，請分別說出它的二次項，一次項，常數(shù)項和它各項的系數(shù)。 (3) 試求 b b 2 4 ac 的值。 2 a 練一練： 1． 下面的方程式一元二次方程嗎？如果是，請說出方程中的 a,b,c 分別是多少？ x 2 x

6、1 0 x2 3x 4 0 2． 把下列的方程先轉化為一元二次方程的一般形式，再分別寫出它各項的系數(shù)。 x 2 x 1 0 x 2 3 4 0 x 三． 自我測試 ．將 x 2 3 3 化為 ax 2 bx c 0 ， a，b， c 的值分別為（ ） 1 x A. 0,

7、 －3, － 3 B. 1. －3, 3 C. 1, 3, －3 D . 1, －3, －3 2．若方程 x 2m 3 5 是一元二次方程，則 m 的值是（ ） 1 B. 1 C. 1 1 A． 3 2 D. 2 3 3 ． 已 知 方 程 ： ① 5x 2 1 ； ② 2x 2 y 4 ； ③ x 2 3x 2

8、 0 ； ④ 2 4 0 ；⑤ 1 x 2 3 0 ；其中一元二次方程的個數(shù)是（ ） 3 x 2 3 x A． 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.把方程 mx2 nx mx nx2 q p ( m n 0) 化成一元二次方程的一般形 式，再求出它的二次項系數(shù)與一次項系數(shù)的和。 四

9、． 應用與拓展 1．下列方程中，無論 a 取何值，總是關于 x 的一元二次方程的是（ ） A． ax 2 bx c 0 B. ax 2 1 x 2 x ． 2 1 2 ( a 2 1)x 0 D. x 2 1 a C ( a )x x 3 2．若 x 2m n 3x m n 2 0 是關于 x 的一元二次方程，求 m， n 的

10、值。 3． 當 m 取任意實數(shù)時，判斷關于 x 的方程 ( m 1)x 2 ( m 1)x m 0 的類型。 22.1 一元二次方程（ 2） 學習目標： 1． 理解方程的解，并能利用一元二次方程的解解決簡單的數(shù)學問題； 2． 將已學過的方程知識進一步拓展與融合，擴大視野，提高能力； 3． 感受數(shù)學的嚴謹性以及數(shù)學結論的確定性。 學習重點： 一元二次方程的解的概念 學習難點： 利用一元二次方程的解解決數(shù)學問題 一． 學前準備

11、1． ___________________________________________________ 叫一元二次方程； 2． _________________________________________ 是一元二次方程的一般形式； 3． ________________________________________ 叫方程的解。 二． 探究活動 （一） 獨立思考 解決問題 1． 已知 x=1 是一元二次方程 x 2 2mx 1 0 的一個解，則 m 的值是多少？請寫出你 的思考過程。

12、 2． 已知關于 x 的一元二次方程 ( m ) 2 3x m2 2 0 的一個根是 0，求 m 2 x 的值。 （二） 師生探究 合作交流 議一議： 1． 上面題目的解法給你什么啟發(fā)？我們?yōu)槭裁纯梢赃@樣去解呢？ 2． 你能否自己給自己編一道類似這樣題型的題目呢？并解答出來。 3． 已知 x=1 是方程 x 2 mx 1 0 2 2 的根，化簡； m 6m 9 1

13、 2m m 4． 已知實數(shù) a 滿足 a2 2a 8 0，求 1 a 3 a2 2a 1 的值 a 1 a2 1 ( a 1)( a 3) 5． 已知 m， n 是有理數(shù)，方程 x 2 mx n 0 有一個根是 5 2 ，求 m+n 的值。 三． 自我測試 1．若方程 ( m 2)x| m| 3mx 1 0 是關于 x 的一元二次方程，則（ ）

14、 A. m=2 B. m=2 C. m=－2 D. m≠2 2．如果關于 x 的方程 x 2 px 1 0 的一個實數(shù)根的倒數(shù)恰是它本身，那么 p 的值是 （ ） A．1 B. 1 C. 2 D. 2 3.已知 m 是方程 x 2 x 2 0 的一個根，則代數(shù)式 m2 m的值為 _______; 4．若方程 x 2 ( k 1) 6 0 的一個根是 2，則 k=__________;

15、 x 5．當 k 滿足條件 _______時，方程 ( k 2 4 2 ( k 3) 5 0不是關于 x 的一元二次方程。 )x x 6．若關于 x 的一元二次方程 2ax2 3( a 2)x 5a 2 的常數(shù)項為二次項系數(shù)的 2 倍， 則一次項系數(shù)為 ________; 7.已知 , 是一元二次 x2 2x 3 0的解，則 ( 2 2 2)( 2 2 1)

16、=_______; 四． 應用與拓展 1． 設 一 元 二 次 方 程 ax 2 bx c 0( a 0) 的 兩 個 根 分 別 為 x1 , x2 ， P x15 x25 ,Q x14 x24 , R x13 x23 ，求 aP+bQ+cR 的值。 2． 已 知 a,b 是 關 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x 2 mx 7 0 的 兩

17、個 根 ， 求 (a2 ma 2)( b2 mb 5)的值。 22.2 一元二次方程的解法（ 1） 學習目標： 1． 理解一元二次方程降次的轉化思想； 2． 會利用直接開平方法對形如 ( x m)2 n ( n 0) 的一元二次方程進行求解； 3． 發(fā)現(xiàn)不同方程的轉化式，運用已有知識解決新問題。 學習重點： 運用開平方法解形如 ( x m)2 n ( n 0) 的方程； 學習難點： 通過根據平方根的意

18、義解形如 x 2 n 的方程， 知識遷移到根據平方根的意義 解形如 ( x m)2 n ( n 0) 的方程。 一． 學前準備： 1． 9 的平方根是 ____,用符號表示為 __________; 2． 25 的平方根是 ____,用符號表示為 _________; 3． a 的平方根是 ________;( a b)2 ____________ 二．探究活動： （一）獨立思考 解決問題 1．解方程： (1) x 2 9; (2) x 2 25; 2．解方程： (1)3 x 2

19、 48 0;(2)(2 x 3)2 49 （二）師生探究 合作交流 議一議： 1．上述解一元二次方程的方法是什么？它的理論依據是是什么？ 2．方程 x 2 36 有實數(shù)解嗎？為什么？ 3．由第 2 題你能得到用直接開平方法解一元二次方程需要注意什么呢？ 4． 我們又如何檢驗我們所解得方程是否正確呢？ 5． 練一練： 解方程： (1) x 2 0.810; (2)3( x 1)2 48;(3)2( x 2)2

20、 4 0 6． 小明同學在解方程 ( x1)2 15 時是這樣解的， 請同學們看看他的解法對嗎？如果是 你解，該如何解呢？ 解： x 2 1 15 x 2 16 x 4 三． 自我測試： 1．方程 x 2 1 的實數(shù)根的個數(shù)是（ ） A． 1 B. 2 C. 0 D .以上答案都不對 2 ．方程 3 2 1 0 的根是（ ） x A． x 1 B. x 3

21、3 3 C. x 3 3．方程 ( x a)2 b ( b 0) 的根是（ ） A. a b B. ( a b ) C. ab 4．方程 x 2 16 0 的根是 __________.  D. x 3 D. a , b 5．若方程 x 2 m 0 有整數(shù)根，則 m 的值可以是 ______( 只填一個 ) 6．當 n_____時，方程 7．已知一元二次方程 

22、 ( x p)2 n 0 有根，其根為 _______. ( x 2)2 (2 x 5) 2 ，試用直接開平方法解這個方程。 8.一塊石頭從 20m 高的塔上落下，石頭離地面的高度 h(m)和下落時間 x(s)大致有如下關系： h 5x 2 20 ，則石頭經過多長時間落到地面？ 四．應用與拓展： 已知公式 a3 b3 ( a b)( a2 ab b2 ) 。根據上述公式解答下題： 已知 a 是方程

23、 2a 2 a3 1 18 0的根，求 a2 a 1 的值。 22.2 一元二次方程的解法（ 2） 學習目標： 1． 會利用配方法熟練，靈活的解一元二次方程； 2． 通過對計算過程的反思，獲得解決新問題的體驗，體會在解決問題的過程中所呈現(xiàn)的數(shù) 學方法和數(shù)學思想； 3． 通過配方法的探究活動，培養(yǎng)學生勇于探索的良好學習習慣； 4． 感受數(shù)學的嚴謹性以及數(shù)學結論的確定性。 學習重點： 用配方法熟練地解數(shù)字系數(shù)為 1 的一元二次方程； 學習難點：

24、靈活地用配方法解數(shù)字系數(shù)不為 1 的一元二次方程； 一． 學前準備： 1．完全平方和公式： ______________________; 完全平方差公式： ______________ 2．這兩個公式都有什么共同特點： ______________________________________ 3．解方程： (1)9 x 2 25 0; (2)4(2 x 1)2 36 0; 二． 探究活動： （一） 獨立思考 解決問題 試一試：完成下列配方過程 (1)

25、 x 2 8x ____ ( x ___) 2 (2) x 2 x ___ ( x ___) 2 (3) x 2 ____ 4 ( x ___) 2 (4) x 2 ___ 9 ( x ___) 2 4 解方程： x 2 6x 7 0 （二） 師生探究 合作交流 1． 上述解方程的方法你知道是什么了吧？它里面蘊含著非常重要的數(shù)學思想， 么了嗎？  你知道是什

26、 2． 那你知道用這種方法解方程時最關鍵的一步是什么了嗎？你能說說你發(fā)現(xiàn)了什么沒有？ 3． 你能總結出來用這種方法解一元二次方程的步驟嗎？ 4． 練一練： （ 1） 填空 (1) x 2 8 x ( )2 ( x ) 2 (2) y 2 5y ( ) 2 ( y ) 2 (3) x 2 5 x ( ) 2 ( x ) 2 (4) x 2 px ( )2 ( x )

27、 2 2 （ 2） 用配方法解下列方程： ( 1) x 2 x 1 0; (2) x 2 3x 2 0; (3)2 x 2 5x 1 0; (4)3 x 2 6x 1 0; 三． 自我測試 1 ．已知一元二次方程 x2 4 m 0 則配方后的方程為 （ ） x ，若用配方法解該方程時， A.( x 2 2 B. (

28、 x 2 m 4 2 2 2) m 4 2) C. (x 2) 4 m D. ( x 2) m 4 2 ．用配方法解方程 x 2 x 5 ，應把方程的兩邊同時（ ） 3 3 B.加 9 C.減 3 9 A.加 4 2 D.減 2 4 3． 9x 2 ____ ______ (_____ 1)2 4．若 y 2 ay 36 是一個完全平方式，則

29、 a=_______; 5．用配方法解方程： （ 1） 3x2 6x 1 0 ； （2） 2x2 5x 4 0 ； （ 3） x2 8x 84 ； 6． 用配方法證明： （ 1） a2 a 1 的值恒為正； （ 2） 9x2 8x 2 的值恒小于 0． 四． 應用與拓展： 閱讀理解題． 閱讀材料：為解方程 ( x2 1)2 5(x2 1) 4 0 ，我們可以將 x2 1視為一個整體，然后設

30、 x2 1 y ，則 ( x2 1)2 y2 ，原方程化為 y2 5 y 4 0① 解得 y1 1 ， y2 4 當 y 1時， x2 1 1， x2 2 ， ∴ x 2 ； 當 y 4 時， x2 1 4 ，∴ x2 5 ，∴ x 5 ； ∴ 原方程的解為 x 2 ， x 2 2 ， x 5 ， x 5 1 3 4 解答問題： （ 1）填空：在由原方程得到方程①的過程中，利

31、用 法達到了降次的目的， 體現(xiàn) 了 的數(shù)學思想． （ 2）解方程 x4 x2 6 0 ． 22.2 一元二次方程的解法（ 3） 學習目標： 1.理解一元二次方程求根公式的推導過程； 2.會利用求根公式解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程； 3.經歷探索求根公式的過程，發(fā)展學生合情合理的推理能力； 4.通過運用公式法解一元二次方程，提高學生的運算能力，并讓學生在學習活動 中獲得成功的體驗，建立學好數(shù)學的自信心。

32、 學習重點： 求根公式的推導和公式法的應用 學習難點： 一元二次方程求根公式的推導 一． 學前準備 1． 配方法解一元二次方程的關鍵是  _______________________________; 2． 一元二次方程  6x 2  7x  1  0 中  a=_____,b=_____, c=_______; 3． 一元二次方程  4x 2  3x  52  中  a=______,b=______,c=______

33、__. 4． 用配方法解一元二次方程  4x 2  3x  52 二． 探究活動 （一） 獨立思考 解決問題 用配方法解一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) ；請同學們獨立完成此題。 （二） 師生探究 合作交流 由上可知， 一元二次方程  ax 2  bx  c  0( a  0) 的根由方程的系數(shù)  a,b,c 而定，因此： （

34、 1）  解 一 元 二 次 方 程 時 ， 可 以 先 將 方 程 化 為 一 般 形  ax 2  bx  c  0  ， 當 b2  4ac  0 時，將  a,b,c  代入式子  x=_____________ ，就得到方程的根；當 2 b 4ac 0 時就得到方程無實數(shù)根； （ 2） 這個式子叫做一元二次方程的求根公式； （ 3） 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法； （ 4） 由求根公式可知，一元二次方程最多

35、有___個實數(shù)根。 例 1：用公式法解下列方程： （1） 2x 2 7x 4 0 ； （ 2） x 2 3 2 3x 練習：把下列方程化成 ax 2 bx c 0 的形式，并寫出其中 a,b,c 的值； (1) x 2 5x2; (2)3 x 2 1 2x ; (3)2 x( x 1) x 4; (4) ( x 1)2 3x 2 三． 自我測驗 1．用公式法解

36、方程 3x 2 4 12x ，下列代入公式正確的是（ ） A. x 12 122 3 4 B. x 12 122 3 4 12 2 C． x 12 122 3 4 D . x ( 12) ( 12)2 4 3 4 2 2 3 2．方程 x 2 2

37、 5 的根是（ ） x A． x 2 6 B. x 1 6 C. x 2 6 D . x 2 6 2 4 3．方程 x 2 4x 2 的正根是（ ） 4．方程 ax 2 bx c 0( a 0, b2 4ac 0) 的兩根 x1 =_________, x2 =_______;

38、5．一元二次方程 2x 2 (2 m 1)x m 0 中， b 2 4ac =_______ ，若 b 2 4ac =9， 則 m=______ ； 6．用公式法解方程： 4x 2 5x 1 0 四．應用與拓展 已 知 實 數(shù) a,b,c 滿 足 ： a2 3a 2 ( b 1)2 | c 3 | 0 ， 求 方 程 ax 2 bx c 0 的根。 22.2 一元二次方程的解法（ 4） 學習目標： 1.會

39、利用因式分解法解某些簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程； 2.經歷探索因式分解法解一元二次方程的過程，發(fā)展學生合情合理的推理能力； 3.學會和他人合作，并能與他人交流思維的過程和結果。 學習重點： 應用因式分解法解一元二次方程； 學習難點： 將方程化為一般形式后，對方程左側二次三項式的因式分解； 一．學前準備： 1.因式分解的定義 _________________________________________; 2.因式分解與整式乘法互為 ___________； 3.因式分解有如下幾種方法，分別是 _____

40、___,_________,_________; 4.對以下整式進行因式分解： (1) x 2 6x 16; (2) x 2 3x 10; 5.解下列方程： ( 1)2x 2 x 0; 用配方法 (2) x 2 6x0; 用公式法 二．探究活動 （一）獨立思考 解決問題 思考： (1) x(2x+1)=0; (2) 3x(x+2)=0; 問題：（ 1）你能觀察出這兩題的特點嗎？ （ 2

41、）你知道方程的解嗎？說說你的理由 （二）師生探究 合作交流 因式分解法的理論依據是：兩個因式的積等于零，那么這兩個的值就至少有一個為  ____.即： 若 ab=0,則_____或 ______。 由上述過程我們知道：當方程的一邊能夠分解成兩個一次因式的乘積形式而另一邊等于  0 時，即可解之。這種方法叫做因式分解法。 你能總結出因式分解法解一元二次方程的一般步驟嗎？ （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 練習： 1．解方程 (1)4 x

42、 2 11x ; (2) ( x 2)2 2x 4 2． 三角形兩邊長分別為 2 和 4，第三邊是方程 x 2 6x 8 0 的解，則這個三角形的 周長是（ ） A. 8 B. 8 或 10 C. 10 D . 8 和 18 3 ． 用 因 式 分 解 法 解 方 程 5(x+3) － 2x(x+3)=0 ， 可 把 其 化 為 兩 個 一 元 一 次 方 程 ___________,____________ 求解。

43、 三．自我測試 1．方程 3x 2 x 0 的根為（ ） A. x x 1 x x 1 C. x 0, x 1 x 0, x 1 B. 2 D . 2 1 2 3 1 2 3 1 3 1 3 2．關于

44、方程 － － n)=0 的說法中，正確的是（ ） (x m)( x A. x － m=0 － n=0 － n=0 或 x － m=0 － － B. x C. x D . x n=0 且 x m=0 3．若 3am2 4 m 6 與 2am是同類項，則 m 的值為（ ） A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D . －2 或 －3

45、 4．關于 x 的方程 ax(x－b)－(b－x)=0 (a≠ 0)的根為（ ） A． a 或 b B. 1 1 或 b D. a 或 －b 或 b C. a a 5．方程 2x 2 3x 0 的根是 ______________; 6．方程 x 2 4x 5 0 的根是 ___________

46、; 7．用因式分解法解下列方程： ( 1) ( x 1) 2 2( x 2 1) 0; (2) ( x 1)( x 3) 12; (3)2 x(4 x 13) 7; (4) (2 x 1) 2 3(2 x 1) 2 0 四．應用與拓展 閱讀材料： 解方程 (x 2 1)2 5( x2 1) 4 0，我們可以將 x 2 1看作一個整體，然

47、后 設 x 2 1=y ①，那么原方程可轉化為 y 2 5y 4 0 ，解得 y1 1, y24 當 y=1 時， x 2 1 1 ，∴ x 2 2 ，∴ x 2 ； 當 y=4 時， x 2 1 4 ，∴ x 2 5 ，∴ x 5 ， 故原方程的解為 x1 2 , x2 2, x3 5 , x4 5 解答問題： （ 1）上述解題過程中，在由原方程得到方程①的過程中，利用 _______法達到了解方程的 目的，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想； （ 2）請利

48、用以上知識解方程： x 4 x 2 6 0 22.2 一元二次方程的解法（ 5） 學習目標： 1.會選擇利用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋? 2.體驗解決問題的方法的多樣性，靈活選擇解方程的方法； 3.積極探索不同的解法，并和同伴交流，勇于發(fā)表自己的觀點，從交流中發(fā)現(xiàn)最優(yōu)方法，在學習活動中獲得成功的體驗。 學習重點： 能根據一元二次方程的結構特點，靈活運用

49、直接開平方法，配方法，公式法及因 式分解法解一元二次方程 學習難點： 理解一元二次方程解法的基本思想 一． 學前準備 1、解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為 ______，即 ______ 2、一元二次方程主要有四種解法，它們的理論根據和適用范圍如下表： 方法名稱 理論根據 適用方程的形式 直接開平方法 平方根的定義 配方法 完全平方公式 公式法 配方法 兩個因式的積等于 0，那么 因式分解法 這兩個因式至少有一個等 于 0 3、一般考慮選擇方法的順序是： _

50、_______ 法、 ________法、 ______法或 ______法 二． 探究活動 （一） 獨立思考 解決問題 (1)( x 3)2 (2 x 5)2 ; (2) x 2 4x 5 0; 解下列方程： (3) x2 2 2x 1 0; (4) ( x 2)( x 3) 66 （二） 師生探究 解決問題 通過對以上方程的解法， 你能總結出對于不同特點的一元二次方程選擇什么樣的方法去解了 嗎

51、？ 練習： 選擇合適的方法解下列方程 : ( 1) x 2 x 0; (2) ( x 2)( x 3) 6; (3) x 2 4 x 12 0; 三． 自我測試 1．下列方程一定能用直接開平方法解的是（ ） A. 4( x2)2 8 B. ( 3x2)2 10 C. 2( x 5)2 1 0 D . x 2 m 2．解方程 2(5 x 1)2 3(5 x 1) 的最適當?shù)姆椒☉牵?

52、） A. 直接開平方法 B. 配方法 C. 公式法 D.因式分解法 3．設 a 是方程 x 2 5x 0較大的一根， b 是方程 x 2 3x 2 0 較小的一根，那么 a+b 的值為（ ） A. －4 B. －3 C. 1 D. 2 4．已知 A x 2 x 3, B 2x 2 5x ，當 A=B 時， x 的值為（ ） A. x=3 或 x=1 B. x=－3 或 x=－1 C. x=3 或 x=－1 D. x=－3 或 x=1 5．方程 3 (2 x

53、 1)2 0 的解是 ________; 6．已知 x+y=7 且 xy=12，則當 x

54、 8．解方程 ; x2 3 | x | 4 0 四． 應用與拓展 2 2 x 2 2 y 2 1． 已知 x7xy 12y 0 xy 的值。 ，求 2 xy

55、2． 試說明：不論 x,y 為何值， 4x 2 y 2 4x 6y 11 的值總是負數(shù)。當 x,y 為何值 時，這個代數(shù)式有最大值，最大值是多少？ 22.3 一元二次方程的根的判別式 學習目標： 1.了解掌握根的判別式； 2.不解方程能判定一元二次方程根的情況； 3.通過探究某些無解的一元二次方程得出一元二次方程的判別式 4.學生通過觀察，分析，討論相互交流，培

56、養(yǎng)與他人交流的能力，通過觀察，分析，感受數(shù)學的變化美，激發(fā)學生的探求欲望。 學習重點： 用根的判別式解決實際問題； 學習難點： 根的判別式的發(fā)現(xiàn)； 一． 預習思考 1． 請同學們用公式法求解下列方程： (1)3 x 2 2 x 5 0;(2) (2 x ) 2 0;(3) x 2 x 2 0; 2 bx c 0(a 0)的根的判別式，常用符號 _____來表示。 2． 把 ______ 叫做一元二次方程

57、ax 3． 一般地，方程 ax 2 bx c 0( a 0) 當 _____時，有兩個不相等的實數(shù)根；當 _______ 時，有兩個相等的實數(shù)根；當 _______時，沒有實數(shù)根，反過來，也成立。 4． 下列方程中，有兩個不相等實數(shù)根的是（ ） A. x2 2x 1 0 B. x 2 2x 3 0 C. x2 2 3x 3 D . x2 4x 4 0 二．探究活動 （一）獨立思考 解決問題 1．求根公式 bb2 4ac 2 是否對于每一個一元

58、二次方程都適用？ a 2．進一步觀察一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) （ 1）當 b2 4ac >0 時， x1 x2 （ 2）當 b2 4ac =0 時， x1 x2 （ 3）當 b2 4ac <0 時，方程 _________. （二）師生探究 合作交流 1．定義：把 b 2 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的根的判別式，通 常用符號 “ ”表示，即  = b2  4ac

59、 ，一般地，方程  ax 2  bx  c  0(a  0) 當  >0  時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；  反過來，同樣成立，即 當 =0 時，方程有兩個相等的實數(shù)根； 當 <0 時，方程沒有實數(shù)根。 2．小英說： “不解方程 3x 2 2x 4 0 ”，我也知道它的根的情況，現(xiàn)在你知道她是怎 么做的了吧？那我們也來嘗試一下。 例 1：不解方程，判別下列方程根的情況：

60、 (1) x 2 x 1 0; (2) x 2 x 1 0;(3) x 2 x 3 0 2 2 2 例 2： m 為何值時，關于 x 的一元二次方程 mx2 2(2 m 1)x 4m 1 0 ； （ 1） 有兩個相等實數(shù)根； （ 2） 有兩個不相等的實數(shù)根； （ 3） 無實數(shù)根。 三．  自我測試 1．方程 

61、 x2－ax+9=0  有兩個相等的實數(shù)根，則  a=________ 2．關于  x 的方程  (m+1) x2 －2x－(m－1)+0  的根的判別式等于４，  m=_________ 3．已知  a、 b、 c 是△  ABC  的三條邊，且一元二次方程  (a－b)x2+2(a－b)－(b－c)=0  有兩個 相等的實數(shù)根，試判斷△  ABC 的形狀  .

62、 4．當 m 為何值時，（ 1）關于 x 的方程 mx2+(2 m－ 3)x+(m+2)=0 有兩個實數(shù)根。 （ 2）關于 x 的一元二次方程 mx2+(2m－3)x+(m+2)=0 有實數(shù)根。 2 （ 3）關于 x 的方程 mx +(2 m－ 3)x+(m+2)=0 有實數(shù)根。 四． 應用與拓展 已知關于 x 的方程 x2 p x q 0

63、 和 x 2 p x q 2 0 ，且 pp q(2 q ) ， 1 1 2 1 2 1 2 證明：這兩個方程中至少有一個實數(shù)根。 22.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關系（ 1） 學習目標： 1.通過觀察， 歸納， 猜想根與系數(shù)的關系， 并證明成立， 使學生理解其理論依據； 2.使學生會運用根與系數(shù)關系解決有關問題； 3.培養(yǎng)學生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神。

64、 學習重點： 根與系數(shù)的關系及推導 學習難點： 正確理解根與系數(shù)的關系 一． 學前準備 解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，觀察表格中兩個解的和與積，它們和原 來的方程的系數(shù)有什么聯(lián)系？ ⑴ 2 ⑵ 2 ⑶ 2 －５ x + ６ = 0 x + ２ x = 0 x + ３ x －４ = 0 x 方程 x1 x2 x1 + x2 x1x2 二． 探究活動 （一）嘗試探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律： 1．若 x1、x2 為方程 ax2 +bx

65、+c=0（ a≠0）的兩個根，結合上表，說明 x1+x2 與 x1x2 與 a、b、 c 有何關系？請你寫出關系式 2、請用文字語言概括一元二次方程的兩個解的和、積與原來的方程有什么聯(lián)系？ 小結： 1．如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a≠0）的兩個根是 x1，x2，那么 x1+x2=____，x1x2=____． 2．如果方程 x2+px+q=0（ p、q 為已知常數(shù)， p2－ 4ｑ≥0）的兩個根是 x1，x2，那么 x1+x2=_____， x1x2=________ ； 以兩個數(shù) 

66、 x1，x2 為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為  1）是 ________________________ ． 注意：根與系數(shù)的關系使用的前提條件 ___________________________ （二）例題分析 例１ .不解方程，求出方程兩根的和與兩根的積（直接口答） ： ① 2 －1= 0 ② 2 ③ 2 － 4x+1= 0 2 x + 3x x + 6x +2= 0 3x (4) x + 3x +3= 0 例 2.已知關于 x 的方程 x2 + ｋ x －6= 0 的一個根是 2，求另一個根及 ｋ的值 三． 自我測試 1．若關于 x 的一元二次方程的兩個根為 x1 1, x2 2 ，則這個方程是（ ） A. x 2 3x 2 0 B. x 2 3x 2