高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 12-6 離散型隨機變量的均值與方差課件 新人教A版.ppt

最新考綱 1.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念；2.能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些簡單實際問題,第6講 離散型隨機變量的均值與方差,1離散型隨機變量的均值與方差 若離散型隨機變量X的分布列為 (1)均值 稱E(X)_為隨機變量X的均值或_，它反映了離散型隨機變量取值的_,知 識 梳 理,x1p1x2p2xipixnpn,數(shù)學(xué)期望,平均水平,2均值與方差的性質(zhì) (1)E(aXb)_ (2)D(aXb)_ (a，b為常數(shù)) 3兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若X服從兩點分布，則E(X)p，D(X)_ (2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)_,平均偏離程度,標(biāo)準(zhǔn)差,aE(X)b,a2D(X),p(1p),np(1p),1判斷正誤(請在括號中打“”或“×”) 精彩PPT展示 (1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無關(guān) ( ) (2)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機變量，它不確定 ( ) (3)隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小 ( ) (4)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況，因此它們是一回事 ( ),診 斷 自 測,×,×,2已知某一隨機變量X的分布列如下，且E(X)6.3，則a的值為 ( ) A.5 B6 C7 D8 解析 由分布列性質(zhì)知：0.50.1b1，b0.4. E(X)4×0.5a×0.19×0.46.3.a7. 答案 C,3(2014·陜西卷)設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x10的均值和方差分別為1和4，若yixia(a為非零常數(shù)，i1，2，10)，則y1，y2，y10的均值和方差分別為 ( ) A1a，4 B1a，4a C1，4 D1，4a 解析 將每個數(shù)據(jù)都加上a后均值也增加a，方差不變，故選A. 答案 A,A5 B8 C10 D16 答案 B,5(人教A選修23P69B1改編)拋擲兩枚骰子，當(dāng)至少一枚5點或一枚6點出現(xiàn)時，就說這次試驗成功，則在10次試驗中成功次數(shù)的均值為_,考點一 離散型隨機變量的均值與方差 【例1】 (2013·浙江卷)設(shè)袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍(lán)球得3分 (1)當(dāng)a3，b2，c1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量X為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求X的分布列；,所以X的分布列為,(2)由題意知Y的分布列為,規(guī)律方法 (1)求離散型隨機變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差公式進(jìn)行計算(2)注意性質(zhì)的應(yīng)用：若隨機變量X的均值為E(X)，則對應(yīng)隨機變量aXb的均值是aE(X)b，方差為a2D(X),【訓(xùn)練1】 袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n1，2，3，4)現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號 (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，試求a，b的值 解 (1)X的分布列為,考點二 與二項分布有關(guān)的均值、方差,(1)若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X3的概率； (2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數(shù)學(xué)期望較大？,(2)法一 設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2),法二 設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為Y1，都選擇方案乙所獲得的累計得分為Y2，則Y1，Y2的分布列為：,規(guī)律方法 求隨機變量X的均值與方差時，可首先分析X是否服從二項分布，如果XB(n，p)，則用公式E(X)np；D(X)np(1p)求解，可大大減少計算量,【訓(xùn)練2】 (2014·遼寧卷)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示,將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立 (1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率； (2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列、數(shù)學(xué)期望E(X)及方差D(X) 解 (1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”，因此,P(A1)(0.0060.0040.002)×500.6， P(A2)0.003×500.15， P(B)0.6×0.6×0.15×20.108.,分布列為 因為XB(3，0.6)，所以數(shù)學(xué)期望E(X)3×0.61.8， 方差D(X)3×0.6×(10.6)0.72.,考點三 均值與方差在決策中的應(yīng)用 【例3】 (2014·湖北卷)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立 (1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；,(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系： 若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？,(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元) 安裝1臺發(fā)電機的情形 由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1， 對應(yīng)的年利潤Y5 000，E(Y)5 000×15 000. 安裝2臺發(fā)電機的情形 依題意，當(dāng)40X80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；當(dāng)X80時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y5 000×210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下 所以，E(Y)4 200×0.210 000×0.88 840.,安裝3臺發(fā)電機的情形 依題意，當(dāng)40120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y5 000×315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.因此得Y的分布列如下 所以，E(Y)3 400×0.29 200×0.715 000×0.18 620. 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機 2臺,規(guī)律方法 隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定,【訓(xùn)練3】 某投資公司在2015年年初準(zhǔn)備將1 000萬元投資到“低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇：,針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由 解 若按“項目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元則X1的分布列為,若按“項目二”投資，設(shè)獲利X2萬元， 則X2的分布列為：,所以E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)， 這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩(wěn)妥 綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資,微型專題 概率的創(chuàng)新題型 近年來，概率統(tǒng)計已成為高考的重點、熱點注意考查學(xué)生分析數(shù)據(jù)，提取信息，解決實際問題的應(yīng)用能力它可以與其他知識相互融合，形成一些背景、樣式新穎的題型,【例4】 (2013·四川卷)某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1，2，3，24這24個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生,(1)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率Pi(i1，2，3)； (2)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復(fù)運行n次后，統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i1，2，3)的頻數(shù)以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分?jǐn)?shù)據(jù) 甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分),乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分) 當(dāng)n2 100時，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1，2，3)的頻率(用分?jǐn)?shù)表示)，并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編程序符合算法要求的可能性較大；,(3)將按程序框圖正確編寫的程序運行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望 點撥 (1)運行程序框圖，分別數(shù)出輸出y的值為1，2，3的數(shù)的個數(shù)，即事件包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型公式求解 (2)利用已知條件中頻數(shù)統(tǒng)計表得出各小組頻數(shù)，利用頻率公式得頻率，再與(1)的結(jié)論比較，得出結(jié)論,(2)當(dāng)n2 100時，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1，2，3)的頻率如下：,比較頻率趨勢與概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大,故X的分布列為,點評 (1)本題將程序框圖，古典概型，獨立重復(fù)試驗及隨機變量分布列結(jié)合起來考查，具有一定的綜合性，同時形式也比較新穎(2)本題注重考查學(xué)生的識圖，用圖能力，數(shù)據(jù)處理能力，分析問題解決問題的能力等基本能力.,思想方法 1掌握下述均值與方差有關(guān)性質(zhì)，會給解題帶來方便： (1)E(aXb)aE(X)b，E(XY)E(X)E(Y)， D(aXb)a2D(X)； (2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p) 2基本方法 (1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；,(2)已知隨機變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)YaXb的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用均值、方差的性質(zhì)求解； (3)如能分析所給隨機變量服從常用的分布(如二項分布)，可直接利用它們的均值、方差公式求解 易錯防范 1在沒有準(zhǔn)確判斷分布列模型之前不能亂套公式 2對于應(yīng)用問題，必須對實際問題進(jìn)行具體分析，一般要將問題中的隨機變量設(shè)出來，再進(jìn)行分析，求出隨機變量的分布列，然后按定義計算出隨機變量的均值、方差,