微積分論文_高等數(shù)學(xué)論文

微積分論文 高等數(shù)學(xué)論文淺談微積分中的反例摘要： 本文列舉了微積分中常見(jiàn)的典型反例，并論述了反例在微積分教學(xué)中的作用：一方面可以強(qiáng)化概念、揭示概念的內(nèi)涵，準(zhǔn)確把握概念之間的關(guān)系，透徹理解定理的條件；另一方面有助于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，更有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)技能。 關(guān)鍵詞： 反例；微積分；函數(shù)；微分；積分 0引言 用命題形式給出的一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，要判斷它是錯(cuò)誤的，利用只滿足命題的條件但是結(jié)論不成立的例證，就足以否定這個(gè)命題，這就是反例。通過(guò)舉出反例從而證明一個(gè)命題的虛假性的方法叫做反例法。反例思想是微積分中的重要思想，用逆向思維方法從問(wèn)題反面出發(fā)，可以解決用直接方法很難或無(wú)法解決的問(wèn)題。在微積分中存在大量的反例，其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了它的具體內(nèi)容，除了它能幫助學(xué)生深入地理解有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)之外，還促進(jìn)了學(xué)生的辨證思維方式的形成。 1連續(xù)、可導(dǎo)、可微問(wèn)題 微積分中對(duì)于無(wú)窮大與無(wú)界、極大(小)值與最大(小)值以及可導(dǎo)與連續(xù)等容易混淆的概念之間的關(guān)系，可以通過(guò)運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆蠢M(jìn)行準(zhǔn)確理解把握。同時(shí)也能培養(yǎng)與提高學(xué)生的辯證思維能力。 情形1 若函數(shù)f（x）在a連續(xù)， 則函數(shù)f（x）在a也連續(xù)，但其逆命題不成立。 反例：函數(shù) f（x）=1，x?叟0-1，x<0， 雖然f（x）=1在x=0處連續(xù)， 但f（x）在x=0處不連續(xù)。 情形2 可導(dǎo)函數(shù)必定是連續(xù)函數(shù)。那么“連續(xù)函數(shù)必定是可導(dǎo)函數(shù)？答：不一定。 反例：函數(shù)f（x）=x+1，在x=0連續(xù)，但在x=0不可導(dǎo)，事實(shí)上，f（x）=x+1=1=f（0），所以f（x）在x=0連續(xù)；但極限=1或-1不相等， 所以f（x）在x=0不可導(dǎo)。 情形3 函數(shù)f（x）在x=x0處可導(dǎo)， 則函數(shù)f（x）在x=x0的鄰域內(nèi)不一定連續(xù)。 反例：函數(shù) f（x）=x，x為有理數(shù)0，x為無(wú)理數(shù)， 在x=0處可導(dǎo)，但在0點(diǎn)的任何鄰域， 除0點(diǎn)外都不連續(xù)。 情形4 f（x）在x=x0處可導(dǎo)， 則f（x）在x=x0處是否有連續(xù)導(dǎo)數(shù)？ 反例：函數(shù)f（x）=xcosx0 0x=0 在x=0處可導(dǎo)， 但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。 事實(shí)上，f（0）=xcos=0，即f（x）在x=0處可導(dǎo)，但當(dāng)x0時(shí)，f（x）=2xcos-xsin-=2xcos+sin 極限f（x）=2xcos-xsin-=2xcos+sin不存在，即f（x）的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。 綜上歸結(jié)，對(duì)一元函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0可有：可微?圳可導(dǎo) 連續(xù) 有極限。通過(guò)恰當(dāng)?shù)姆蠢梢钥旖荻鴾?zhǔn)確地把握它們之間所存在的關(guān)系。 情形5 當(dāng)f（x0）0時(shí)，由f（x）在x0可導(dǎo)不一定能推出f（x）在x0可導(dǎo)。 反例 ：函數(shù)f（x）= x，x0，1-x，x1，2，而f（x）=x，x0，2， 顯然f（x）在x0=1處可導(dǎo)，但f（x）在x0=1處不可導(dǎo)。 情形6下面命題是否成立：若f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)必定存在，使得f（）=？ 事實(shí)上，舉出這樣的反例：f（x）=x，02可積問(wèn)題 情形7若函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上可積，則函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上也可積，且f（x）dx?燮f（x）dx，但其逆命題不成立，即當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上可積時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上不一定可積。 反例：函數(shù) f（x）= 1，x為有理數(shù)-1，x為無(wú)理數(shù) 函數(shù)在0，1上不可積，而f（x）1，這是常函數(shù)，顯然在0，1上可積。 3無(wú)窮大量與無(wú)界量問(wèn)題 情形8 無(wú)窮大量是無(wú)界量， 但無(wú)界量不一定是無(wú)窮大量。 反例：f（x）=xcosx 當(dāng)x時(shí)f（x）為無(wú)界量。事實(shí)上，對(duì)無(wú)論多大的G>0，總存在x=n，當(dāng)n>時(shí)，有f（x）=ncosn=n>G然而，當(dāng)x時(shí)，若取x=n+此時(shí)f（x）=n+cosn+=0。即f（x）并不趨于。 4函數(shù)的極大(小)值與最大(小)值問(wèn)題 情形94可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)。 反例：x=0是函數(shù)f（x）=x3的駐點(diǎn)，但不是其極值點(diǎn)。 情形10 函數(shù)f（x）的極大(小)值不一定就是最大(小)值。 反例：函數(shù)f（x）=x-4x+3x+1，x-1，3，由于f（x）=4x-8x+3=4（x-1）-1，易見(jiàn)x=或x=為f（x）的穩(wěn)定點(diǎn)，列表如下： 由上表可知：點(diǎn)為f（x）的極大值點(diǎn)，極大值為；點(diǎn)x=為f（x）的極小值點(diǎn)，極小值為1。但函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=3取得最大值為6，在點(diǎn)x=-1取得最小值為-。 上述歸結(jié)，若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則f（x）在a，b上一定有最大、最小值。若函數(shù)f（x）的最大(小)值點(diǎn)x0在區(qū)間內(nèi)，則x0必定是f（x）的極大(小)值點(diǎn)。但f（x）的最大(小)值也可能在區(qū)間端點(diǎn)處取得，則f（x）的極大(小)值不一定就是最大(小)值，要通過(guò)比較才能確定。 5結(jié)語(yǔ) 微積分中的反例有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力,突出數(shù)學(xué)所表達(dá)的逆向思維以及體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.透徹理解命題、定理?xiàng)l件的充分性及必要性,為了分清條件的充分性與必要性使用恰當(dāng)?shù)姆蠢欠浅Ｓ泻锰幍?。反例?duì)鞏固和加深對(duì)概念與定理的理解，以及對(duì)掌握相關(guān)概念的差異和層次方面有著正面說(shuō)明或證明所無(wú)法取代的作用。 在微積分的教學(xué)中，反例的試舉已成為提高教學(xué)質(zhì)量的重要的一環(huán)。另一方面：“反例教學(xué)”對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力方面的作用也是顯著的。它不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生縱向思維能力，而且有助于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的橫向思維能力，更有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)技能，并使學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)格推理、全面分析問(wèn)題的能力。 參考文獻(xiàn)： 1劉福保.反例教學(xué)法在數(shù)學(xué)分析中的作用和構(gòu)造J.科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2009，NO.11. 2薛迎杰.淺談反例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用J.中國(guó)校外教育，下旬刊. 3馬建珍.反例在數(shù)學(xué)分析中的作用J.宜賓學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，6（12）. 4華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版) M.北京：高等教育出版社，2001.