高考數(shù)學一輪復習第七章立體幾何第44講立體幾何中的向量方法一證明平行與垂直課件.ppt

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,立體幾何,第 七 章,,,,第44講 立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直,,,,,,欄目導航,,,,,,非零,1．思維辨析(在括號內打“√”或“×”)． (1)直線的方向向量是唯一確定的．( ) (2)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行．( ) (3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行或重合．( ) (4)若空間向量a平行于平面α，則a所在直線與平面α平行．( ),×,√,√,×,C,3．已知直線l的方向向量v＝(1,2,3)，平面α的法向量為u＝(5,2，－3)，則l與α的位置關系是____________. 解析 ∵v＝(1,2,3)，u＝(5,2，－3)，1×5＋2×2＋3×(－3)＝0， ∴v⊥u，∴l(xiāng)∥a或l?α. 4．設u，v分別是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，當v＝(3，－2,2)時，α與β的位置關系為____________；當v＝(4，－4，－10)時，α與β的位置關系為____________. 解析 當v＝(3，－2,2)時，u⊥v，則α⊥β，當v＝(4，－4，－10)時，u∥v，則α∥β.,l∥a或l?α,α⊥β,α∥β,5．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM的位置關系是____________.,異面垂直,(1)恰當建立空間直角坐標系，準確表示各點與相關向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的關鍵． (2)證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可．這樣就把幾何的證明問題轉化為向量運算．,一 利用空間向量證明平行問題,【例1】 如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點．求證：PB∥平面EFG. 證明 ∵平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD為正方形，∴AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，G(1,2,0)．,,,,二 利用空間向量證明垂直問題,證明垂直問題的方法 (1)利用已知的線面垂直關系構建空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算．其中靈活建系是解題的關鍵． (2)證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內不共線的兩個向量垂直即可，當然，也可證直線的方向向量與平面的法向量平行；證明面面垂直：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可．,【例2】 如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD．,【例3】 如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)證明AP⊥BC； (2)若點M是線段AP上一點，且AM＝3.試證明平面AMC⊥平面BMC．,,,,三 利用空間向量解決探索性問題,對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：一種是先根據條件作出判斷，再進一步論證；另一種是利用空間向量，先假設存在點的坐標，再根據條件求該點的坐標，即找到“存在點”，若該點坐標不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”．,【例4】 如圖，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD． (1)求證：BD⊥AA1； (2)在直線CC1上是否存在點P，使BP∥平面DA1C1.若存在，求出點P的位置，若不存在，請說明理由．,,,,,,2．如圖所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點，求證： (1)DE∥平面ABC； (2)B1F⊥平面AEF.,,,3．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°角． (1)求證：CM∥平面PAD； (2)求證：平面PAB⊥平面PAD．,,,,,4．在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點． (1)求證：EF⊥CD； (2)在平面PAD內求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結論．,,,錯因分析：①寫準點的坐標是關鍵，要利用中點、向量共線、相等來確定點的坐標．②利用a＝λb證明直線平行需強調兩直線不重合，證明直線與平面平行仍需強調直線在平面外．,易錯點 坐標系建立不恰當、點的坐標出錯,【例1】 如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點，點P，Q分別在棱DD1，BB1上移動，且DP＝BQ＝λ(0λ2)． (1)當λ＝1時，證明：直線BC1∥平面EFPQ； (2)是否存在λ，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．,,,,,