高中數學 第一章 導數及其應用 1_3_3 函數的最大(小)值與導數課件 新人教A版選修2-2

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1、1.3.3函數的最大(小)值與導數 自主學習 新知突破 1借助函數圖象，直觀地理解函數的最大值和最小值的概念2弄清函數最大值、最小值與極大值、極小值的區(qū)別與聯系，理解和熟悉函數f(x)必有最大值和最小值的充分條件3會用導數求在給定區(qū)間上函數的最大值、最小值 1如圖為yf(x)，x a，b的圖象 問題1試說明yf(x)的極值提示1f(x1)，f(x3)為函數的極大值，f(x2)，f(x4)為函數的極小值問題2你能說出yf(x)，x a，b的最值嗎？提示2函數的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函數的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的 2函數yg(x)，yh(x)在閉

2、區(qū)間a，b的圖象都是一條連續(xù)不斷的曲線(如圖所示)問題兩函數的最值分別是什么？提示yg(x)的最大值為極大值，最小值為g(a)，yh(x)的最大值為h(a)，最小值為h(b) 一般地，如果在區(qū)間a，b上函數yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有_與_函數的最大(小)值 最大值最小值 1函數最值的理解(1)函數的最值是一個整體性的概念函數極值是在局部上對函數值的比較，具有相對性；而函數的最值則是表示函數在整個定義域上的情況，是對整個區(qū)間上的函數值的比較 (2)函數在一個閉區(qū)間上若存在最大值或最小值，則最大值或最小值只能各有一個，具有唯一性，而極大值和極小值可能多于一個，也可能沒有，例如

3、：常數函數就既沒有極大值也沒有極小值(3)極值只能在區(qū)間內取得，最值則可以在端點處取得，有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點處取必定是極值 1求函數yf(x)在(a，b)內的_；2將函數yf(x)的_與_處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個就是_，最小的一個就是_求函數f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值的步驟： 極值各極值端點最大值最小值 2求函數最值需注意的問題(1)求函數的最值，顯然求極值是關鍵的一環(huán)但僅僅是求最值，可用下面簡化的方法求得求出導數為零的點比較這些點與端點處函數值的大小，就可求出函數的最大值和最小值 (2)若函數在閉區(qū)間a，

4、b上連續(xù)單調，則最大、最小值在端點處取得(3)若連續(xù)函數f(x)在開區(qū)間(a，b)內只有一個極值點時，這個點的函數值必然是最值例如在(， )上函數只有一個極值，那么這個極值也就是最值 1函數f(x)4xx4在x 1,2上的最大值、最小值分別是()Af(1)與f(1)Bf(1)與f(2)Cf(1)與f(2) Df(2)與f(1) 解析：f(x)44x3，f(x)0，即44x30 x1，f(x)1，f(x)4xx4在x1時取得極大值，且f(1)3，而f(1)5，f(2)8，f(x)4xx4在1,2上的最大值為f(1)，最小值為f(2)，故選B.答案：B 2函數f(x)2xcos x在(， )上()

5、A無最值 B有極值C有最大值 D有最小值解析：f(x)2sin x0恒成立，所以f(x)在(， )上單調遞增，無極值，也無最值答案：A 合作探究 課堂互動 求函數的最值 求下列函數的最值思路點撥要求區(qū)間a，b上函數的最值，只需求出函數在(a，b)內的極值，最后與端點處函數值比較大小即可 (1)f(x)2x312x， 導數法求函數最值要注意的問題：(1)求f(x)，令f(x)0，求出在(a，b)內使導數為0的點，同時還要找出導數不存在的點(2)比較三類點處的函數值：導數不存在的點，導數為0的點及區(qū)間端點的函數值，其中最大者便是f(x)在a，b上的最大值，最小者便是f(x)在a，b上的最小值特別提

6、醒：比較極值與端點函數值的大小時，可以作差、作商或分類討論 1求下列各函數的最值(1)f(x)x42x23，x 3,2；(2)f(x)x33x26x2，x 1,1解析：(1)f(x)4x34x，令f(x)4x(x1)(x1)0得x1，或x0，或x1. 當x變化時，f(x)及f(x)的變化情況如下表：當x3時，f(x)取最小值60；當x1或x1時，f(x)取最大值4.x3 (3，1)1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2f(x)000f(x)60 極大值4 極小值3 極大值4 5 (2)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1,1內恒大于0，f(x)在1,1上

7、為增函數故x1時，f(x)最小值12；x1時，f(x)最大值2.即f(x)的最小值為12，最大值為2. 已知函數的最值求參數 解決由函數的最值來確定參數問題的關鍵是利用函數的單調性確定某些極值就是函數的最值，同時由于系數a的符號對函數的單調性有直接的影響，其最值也受a的符號的影響，因此，需要進行分類討論本題是運用最值的定義，從逆向出發(fā)，由已知向未知轉化，通過待定系數法，布列相應的方程，從而得出參數的值 2已知函數f(x)ax36ax2b在1,2上有最大值3，最小值29，求a，b的值解析：依題意，顯然a0.因為f(x)3ax212ax3ax(x4)，x1,2，所以令f(x)0，解得x10，x24

8、(舍去) (1)若a0，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：由上表知，當x0時，f(x)取得最大值，所以f(0)b3.又f(2)16a3，f(1)7a3，故f(1)f(2)，所以當x2時，f(x)取得最小值，即16a329，a2. x1 (1,0) 0 (0,2) 2f(x)0f(x)7ab 極大值16ab 與最值有關的恒成立問題已知函數f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1處取得極值3c，其中a，b，c為常數若對任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范圍思路點撥 有關恒成立問題，一般是轉化為求函數的最值問題求解時要確定這個函數，看哪一個變量的范圍已知，即函數是以已

9、知范圍的變量為自變量的函數一般地，f(x)恒成立 f(x)max；f(x)恒成立 f(x)min. 3已知函數f(x)x33x29xc，當x 2,6時，f(x)2|c|恒成立，求c的取值范圍解析：f(x)x33x29xc，f(x)3x26x9.當x變化時，f(x)，f(x)隨x的變化如下表：x (，1)1 (1,3) 3 (3，)f(x)00f(x) 極大值c5 極小值c27 而f(2)c2，f(6)c54，當x2,6時，f(x)的最大值為c54，要使f(x)2|c|恒成立，只要c542|c|即可，當c0時，c5454；當c0時，c542c，c18.c(，18)(54， )，此即為參數c的取值

10、范圍 求函數f(x)x33x29x5，x 5,6的最大值和最小值【錯解】f(x)3x26x9.令f(x)3x26x90，解得x1或x3.當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下表：從上表可知，函數f(x)的最大值為10，最小值為22.x (5，1)1 (1,3) 3 (3,6)f(x)00f(x) 10 22 【錯因】錯解的原因在于忽視閉區(qū)間端點的函數值將f(x)的各極值與函數端點值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值如果僅僅是求最值，還可將上面的辦法簡化，只需將所有可能為極值點的函數值與端點函數值進行比較，最大的即為最大值，最小的即為最小值函數f(x)在閉區(qū)間上一定存在最大值與最小值，且一定不要忽略端點的函數值【正解】由f(x)的定義域為閉區(qū)間5,6，而f(5)150，f(6)59，與函數的極值比較，可知函數f(x)的最大值為59，最小值為150.