高中數(shù)學 第2章 變化率與導數(shù) 5 簡單復合函數(shù)的求導法則課件 北師大版選修2-2

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1、5簡單復合函數(shù)的求導法則 課前預習學案 觀察下列幾個函數(shù)：(1)y(5x4)3，(2)ylog3(x22x3)，(3)ysin2(3x5)它們是基本初等函數(shù)嗎？如果不是，那么，能看作由哪幾個基本初等函數(shù)復合而成呢？提示它們都不是基本初等函數(shù)，其中(1)由yu3和u5x4復合而成；(2)由ylog 3u和ux22x3復合而成；(3)由yu2和usin v和v3x5復合而成 一般地，對于兩個函數(shù)yf(u)和ug(x)axb，給定x的一個值，就得到了_的值，進而確定了_的值，這樣y可以表示成x的函數(shù)，我們稱這個函數(shù)為函數(shù)yf(u)和ug(x)的復合函數(shù)，記作y_其中u為_1復合函數(shù)u yf(g(x)

2、中間變量 (2)理解復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律：判斷復合函數(shù)的復合關系的一般規(guī)律是：從外向里分析，最外層的主體函數(shù)結(jié)構(gòu)是以基本函數(shù)為主要形式，各層的中間變量結(jié)構(gòu)也都是基本函數(shù)關系這樣一層一層分析，最里層應是關于自變量x的基本函數(shù)或關于自變量x的基本函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算而得到的函數(shù) 復合函數(shù)yf(g(x)的導數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導數(shù)間的關系為y x_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .即y對x的導數(shù)等于_乘積2復合函數(shù)的導數(shù)yuuxy對u的導數(shù)與u對x導數(shù)的 求復合函數(shù)的導數(shù)要處理好以下環(huán)節(jié)(1)中間變量的選擇應是基本函數(shù)結(jié)構(gòu)；(2)關鍵是正確分析函數(shù)的復合層次；(3)一般是從

3、最外層開始，由外及里，一層層地求導；(4)善于把一部分表達式作為一個整體；(5)最后要把中間變量換成自變量的函數(shù) 1函數(shù)y(3x4)2的導數(shù)是()A4(3x2)B6xC6x(3x4) D6(3x4)解析：原函數(shù)由yt2和t3x4復合而成，yt2t，tx3，yx2t36(3x4)答案：D 2函數(shù)ysin(2x1)的導數(shù)是()Acos(2x1) B2xsin(2x1)C2cos(2x1) D2sin(2x1)解析：ycos(2x1)22cos(2x1)答案：C3函數(shù)ye2xex的導數(shù)為_答案：2e2xex 課堂互動講義 求簡單復合函數(shù)的導數(shù) (2)引入中間變量u(x)2 012x8，則函數(shù)ycos

4、(2 012x8)是由函數(shù)f(u)cos u與u(x)2 012x8復合而成的查導數(shù)公式表可得f(u)sin u，(x)2 012.根據(jù)復合函數(shù)求導法則可得cos(2 012x8)f(u)(x)(sin u)2 0122 012sin u2 012sin(2 012x8) (3)引入中間變量u(x)13x，則函數(shù)y213x是由函數(shù)f(u)2u與u(x)13x復合而成的，查導數(shù)公式表得f(u)2uln 2，(x)3，根據(jù)復合函數(shù)求導法則可得(213x)f(u)(x)2uln 2(3)32uln 23213xln 2. 復合函數(shù)求導的關鍵是選擇中間變量，正確分析復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順

5、序復合而成的，分清之間的復合關系求導時需要記住中間變量，注意逐層求導，最后是中間變量對自變量求導，不遺漏、不越級求導后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù) 導數(shù)的綜合運算問題 思路導引應用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的求導公式，結(jié)合函數(shù)四則運算求導法則及復合函數(shù)的求導法則進行解題求導過程中，可先適當進行變形化簡，將對數(shù)的真數(shù)位置轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)形式后再求導當然變形化簡時要注意等價性 解決此類問題關鍵是分析函數(shù)式的結(jié)構(gòu)，要分清原函數(shù)是哪幾個函數(shù)的和、差、積、商，其中的復合函數(shù)又是如何復合而成，然后才能正確地運用導數(shù)的四則運算法則、復合函數(shù)求導法則以及基本初等函數(shù)的求導公式，得到正確結(jié)果 已知函數(shù)yf(x)xln(2x1)(1)求這個函數(shù)的導數(shù)；(2)求這個函數(shù)在x1處的切線方程思路導引(1)綜合利用乘積函數(shù)與復合函數(shù)的求導法則求導(2)函數(shù)在x1處的導數(shù)值為切線斜率，利用點斜式求切線方程求切線方程 求較為復雜的函數(shù)圖像的切線，關鍵在于正確求導，復合函數(shù)求導時，要特別注意每層函數(shù)分別是對哪個變量求導 【錯因】只注意到應用乘積的導數(shù)法則，而忽視了ex與sin x也是復合型函數(shù)，導致了在求(ex)和(sin x)出現(xiàn)錯誤