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1、 第 九 節(jié) 多 面 體 與 球 1多面體與正多面體 (1)多面體：若干個(gè) 圍成的幾何體叫做多面體 (2)凸多面體：把多面體的任何一個(gè)面伸展為平面，如果所有其他各面都在這個(gè)平面的，這樣的多面體叫做凸多面體 (3)正多面體：每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的，且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體，叫做正多面體平 面 多 邊 形 同 一 側(cè) 正 多 邊 形 2球 (1)球面和球的概念半圓以它的 為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做，簡(jiǎn)稱(chēng)球球也可以看作是與定點(diǎn)(球心)的距離定長(zhǎng)(半徑)的所有點(diǎn)的集合(軌跡) (2)球的截面的性質(zhì)用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是一個(gè)圓面；球面被經(jīng)過(guò)球心的
2、平面所截得的圓叫做 ，被不經(jīng)過(guò)球心的平面所截得的圓叫做；直 徑 球 體 等 于 大 圓小 圓 球 心 和 截 面 圓 心 的 連 線(xiàn) ； 球 心 到 截 面 的 距 離 d與 球 的 半 徑 R及 截 面的 半 徑 r， 有 下 面 的 關(guān) 系 ： (3)球 面 距 離 經(jīng) 過(guò) 球 面 上 兩 點(diǎn) 的 的 長(zhǎng) 度， 叫 做 兩 點(diǎn) 的 球 面 距 離 (4)球 的 表 面 積 與 體 積 半 徑 是 R的 球 的 表 面 積 S球 面 ； 體 積V球 . 垂 直 截 面R2 d2 r2.大 圓 在 這 兩 點(diǎn) 間 的 劣 弧4R 2R3 (1)要分清球和球面的區(qū)別球面是曲面，是球的表面，是空間
3、中與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，球是球體的簡(jiǎn)稱(chēng)，是幾何體，是空間中與定點(diǎn)的距離等于或小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合 (2)球面距離(如A、B兩點(diǎn)距離)的計(jì)算方法：計(jì)算線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；計(jì)算 AOB；求過(guò)A、B的大圓的劣弧長(zhǎng)(即A、B兩點(diǎn)間的球面距離) 1 下 列 結(jié) 論 正 確 的 是 ( ) A 過(guò) 球 面 上 兩 點(diǎn) ， 可 確 定 球 的 一 個(gè) 大 圓 B 過(guò) 球 直 徑 的 三 等 分 點(diǎn) 的 平 面 不 可 能 平分 球 C 過(guò) 球 面 上 三 點(diǎn) ， 可 確 定 一 個(gè) 大 圓 D 若 A、 B、 C是 球 面 上 三 點(diǎn) ， 則 過(guò) 三 點(diǎn)的 球 的 截 面 圓 周 是 ABC的 外 接 圓
4、【答案】D 2 (2008年 湖 北 卷 )用 與 球 心 距 離 為 1的 平面 去 截 球 ， 所 得 的 截 面 面 積 為 ， 則 球 的體 積 為 ( )【答案】B 3 已 知 正 方 體 的 外 接 球 的 體 積 是 ， 則這 個(gè) 正 方 體 的 棱 長(zhǎng) 是( )【答案】D 【答案】2 5 某 地 球 儀 上 北 緯 30緯 線(xiàn) 的 長(zhǎng) 度 為 12 cm ， 該 地 球 儀 的 半 徑 是 _cm ， 表面 積 是 _cm 2.【解析】如圖所示， 2r12， r6(cm )設(shè)地球儀半徑為R， 在 北 緯 45圈 上 有 A、 B兩 點(diǎn) ， 沿 該 緯 線(xiàn)圈 上 A、 B兩 點(diǎn)
5、的 劣 弧 長(zhǎng) 為 R(R為 地 球半 徑 )， 求 ： A、 B兩 點(diǎn) 的 球 面 距 離 【思路點(diǎn)撥】先據(jù)已知條件找出北緯45圈的小圓半徑與地球半徑的關(guān)系，再求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求距離 球 O的 球 面 上 有 三 點(diǎn) A， B， C， BC5 cm ， BAC 30， 過(guò) A， B， C三 點(diǎn) 作 球 O的 截 面 ， 球 心 到 截面 的 距 離 為 12 cm . (1)求 截 面 的 面 積 ； (2)求 球 的 表 面 積 ； (3)求 球 的 體 積 【思路點(diǎn)撥】畫(huà)示意圖，求出小圓半徑及球的半徑 【解析】(1)設(shè)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的外接圓的半徑為r，球的半徑為R， 截面的面積為r2
6、25(cm 2) (2)球心到截面距離為12 cm， R2r2122，R212252132， R13. S球4R2676(cm 2) 解球的截面問(wèn)題，關(guān)鍵是利用球的截面圓半徑、球心到截面的距離、球半徑三者之間的關(guān)系建立等式球的表面積和體積都是關(guān)于球半徑的函數(shù)，因此要注意運(yùn)用函數(shù)與方程的思想方法去處理 1 在 球 心 的 同 側(cè) 有 相 距 9 cm 的兩 個(gè) 平 行 截 面 ， 它 們 的 面 積 分 別 為 49 cm 2和 400 cm 2， 求 球 的 表 面 積 和 體 積 球 O的 截 面 BCD到 球 心 的 距 離 等 于 球的 半 徑 的 一 半 ， BC是 截 面 圓 的 直
7、 徑 ， D是截 面 圓 圓 周 上 一 點(diǎn) ， CA是 球 O的 直 徑 (1)求 證 ： 平 面 ABD 平 面 ADC； (2)如 果 BD DC 2， 求 二 面 角 B AC D的 大 小 【解析】(1)證明：如圖，設(shè)截面圓BCD的圓心為O1，則OO1面BCD.連結(jié)BD.在ABC中，O，O1分別為AC，BC的中點(diǎn)， OO1綊 AB， AB平面BCD， AB CD.又BC是 O1的直徑， CD BD， CD平面ABD， CD面ACD 平面ABD平面ADC. (2)由(1)知，AB平面BCD， 平面BCD平面ABC.作DE BC于E，則DE平面ABC，作EF AC于F，連結(jié)DF.由三垂線(xiàn)
8、定理知DF AC， DFE是二面角BACD的平面角設(shè)球的半徑為2，則OO11，AB2， 二面角BACD的大小為60. 解決有關(guān)的外接球問(wèn)題時(shí)，一般作一個(gè)適當(dāng)?shù)慕孛妫瑢?wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決，這個(gè)截面通常指圓錐的軸截面，球的大圓，多面體的對(duì)角面等，在這個(gè)截面中應(yīng)包括每個(gè)幾何體的主要元素，且這個(gè)截面必須能反映出幾何的主要位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系 2 四 棱 錐 ABCDE中 ， AD 底面 BCDE， AC BC， AE BE. (1)求 證 ： A、 B、 C、 D、 E都 在 以 AB為 直徑 的 同 一 球 面 上 ； (2)若 CBE 90， CE ， AD 1， 求B、 D兩 點(diǎn) 的 球 面
9、距 離 【解析】(1)證明：連結(jié)BD，因?yàn)锳D底面BCDE，AC BC，AE BE，所以ABC、ABE、ABD均是以AB為斜邊的直角三角形，從而點(diǎn)A、B、C、D、E都在以AB為直徑的同一球面上 (2)取AB的中點(diǎn)O，則O為球心，因?yàn)?CBE90，DE為AE在面BCDE上的射影，AE BE，所以DE BE， 在 高 考 中 ， 主 要 考 查 球 的 性 質(zhì) 、 球 面 上 兩點(diǎn) 間 距 離 、 球 的 表 面 積 、 體 積 的 計(jì) 算 以 及球 的 內(nèi) 接 多 面 體 和 外 切 多 面 體 等 問(wèn) 題 ， 多以 選 擇 題 和 填 空 題 的 形 式 進(jìn) 行 考 查 1 (2009年 陜 西 卷 )如 圖 ， 球 O的 半 徑 為 2， 圓 O1是 一 小 圓 ， OO1 ， A、 B是 圓O1上 兩 點(diǎn) ， 若 A、 B兩 點(diǎn) 間 的 球 面 距 離 為 ， 則 AO1B _. 2 (2009年 江 西 卷 )體 積 為 8的 一 個(gè) 正 方 體， 其 全 面 積 與 球 O的 表 面 積 相 等 ， 則 球 O的 體 積 等 于 _【解析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，球半徑為r. a38， a2. 4r26a2，
第九節(jié)多面體與球
