高等數(shù)學(同濟第六版)課件第六章 1.元素法幾何應用

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1、 a b xoy ix1x 1ix 1nx(1)將 a,b分 成 n個 小 區(qū) 間(2)任 取 i xi-1, xi, 計 算 f(i)xi(3)作 和 iini xfS )(1(4)取 極 限 iiini xf )(lim 10 ba dxxf )( )(xfy (1)將 a,b分 成 n個 小 區(qū) 間(2)任 取 i xi-1, xi, 計 算 f(i)xi(3)作 和 iini xfS )(1(4)取 極 限 iini xf )(lim 10 ba dxxf )( a b xoy )(xfy設 想 a,b分 的 無 限 細 ，x dxx(1)(2)兩 步 合 為 ：計 算 dxxf )(

2、3)(4)兩 步 合 為 ： ba dxxf )( （ 1） 選 取 一 個 變 量 x為 積 分 變 量 ，（ 2） 設 想 把 區(qū) 間 a,b分 的 無 限 細 ， ba dxxfU )(3) 在 區(qū) 間 a,b上 作 定 積 分 ， 得 并 確 定 它 的 變 化 區(qū) 間 a,b； 在 任 一 小 區(qū) 間求 出 部 分 量 : dU=f(x)dx； x,x+dx上 ，即 得 所 求 的 量 xyo )(1 xfy )(2 xfya bdx dxxfxfdA )()( 12 ba dxxfxfA )()( 12 xyo )(1 ygx )(2 ygxcddy dyygygdA )()( 1

3、2 dc dyygygA )()( 12 解 ).4,8(),2,2( 422 xy xy選 y 為 積 分 變 量 4,2ydyyydA )24( 2 xy 22 4 xy例 1 計 算 由 曲 線 和 直 線xy 22 4 xy所 圍 成 的 圖 形 的 面 積 . dyyyA 42 2)24( 4232 642 yyy =18dy 選 x 為 積 分 變 量dxxdA 221 dxxxdA )42(2 dxxA 20 22 dxxx )42(82 xy 22 4 xydx dx 解 橢 圓 方 程 tby tax sincos a ydxA 04 02 )cos(sin4 tatdb d

4、ttab 20 2sin4 .ab tax cos令 0 tax 20 tx例 2 求 橢 圓 12222 byax 的 面 積 . 寫 出 下 列 圖 形 的 面 積 的 定 積 分 表 示 式 ：2.由 y =ex與 該 曲 線 過 原 點 的 切 線 及 y軸 圍 成 的 圖 形 。 1.由 曲 線 xx eyey , 及 直 線 x=1所 圍 成 的 圖 形 其 中 連 續(xù) xo d d面 積 元 素 ddA 2)(21面 積 .)(21 2 dA )(設 由 曲 線 )( 與)( 0)( 及 射 線圍 成 一 曲 邊 扇 形 ， 求 其 面 積 例 3 求 阿 基 米 德 螺 線 (

5、a 0)上 相 應 于 從 0到 的 一 段 與 極 軸 圍 成 圖 形 的 面 積 a 2 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -30 -20 -10 0 10 20 30 o a解 .)(21 220 daA 20326a 解 .23 2a daA 20 2 )cos1(212 da )coscos21( 202 02 sin2a例 4 求 心 形 線 )cos1( a 所 圍 圖 形 的 面 積 ( a 0) da )2cos1(21 02 2a 221a 02 2sin21a 小 結面 積 的 求 法 ：一 、 直 角 坐 標 ：（ 1） 選 擇 合 適 的 積 分 變

6、 量 ， 寫 出 面 積 元 素 （ 2） 積 分 計 算 。先 畫 出 圖 形二 、 極 坐 標 ：（ 1） 轉 化 成 曲 邊 扇 形 問 題（ 2） 利 用 曲 邊 扇 形 面 積 公 式 ： .)(21 2 dA 寫 出 下 列 圖 形 面 積 在 極 坐 標 下 的 定 積 分 表 示 式 ：1. 由 及 所 確 定 圖 形 . cos3 cos1 .cos9 23 2 d 30 2)cos1( dA2.螺 線 a 的 第 一 與 第 二 圈 之 間 及 極 軸 所 圍 圖 形 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -30 -20 -10 0 10 20 30 o xo

7、 a bx dxx 若 一 個 立 體 在 x軸 上 的 投 影 區(qū) 間 為 a,b, ,)( dxxAdV .)( ba dxxAVA(x)為 過 點 x且 垂 直 于 x軸 的 截 面 面 積 ，A(x)在 a,b上 連 續(xù) , 求 立 體 體 積 V. RR x yo解 取 坐 標 系 如 圖底 圓 方 程 為 222 Ryx x截 面 面 積 ,tan)(21)( 22 xRxA立 體 體 積 dxxRV RR tan)(21 22 .tan32 3 R例 5 一 平 面 經 過 半 徑 為 R的 圓 柱 體 的 底 圓 中 心 ，并 與 底 面 交 成 角 , 計 算 這 平 面 截

8、 圓 柱 體所 得 立 體 的 體 積 解 取 坐 標 系 如 圖底 圓 方 程 為 ,222 Ryx xyo Rx截 面 面 積 22)( xRhyhxA 立 體 體 積 dxxRhV RR 22 .21 2hR例 6 求 以 半 徑 為 R的 圓 為 底 、 平 行 且 等 于 底 圓直 徑 的 線 段 為 頂 、 高 為 h的 正 劈 錐 體 的 體 積 旋 轉 體 就 是 由 一 個 平 面 圖 形 饒 這 平 面 內 一 條 直線 旋 轉 一 周 而 成 的 立 體 這 直 線 叫 做 旋 轉 軸 圓 柱 圓 錐 圓 臺 2)()( xfxA x xyo體 積 為 dxxfV ba

9、)(2 )(xfy 求 由 連 續(xù) 曲 線 y=f(x)、 直 線 x=a、 x=b 及 x 軸所 圍 成 的 曲 邊 梯 形 繞 x 軸 旋 轉 一 周而 成 的 旋 轉 體 體 積 ？積 分 變 量 為 x a,b截 面 面 積 ： 例 7 證 明 底 圓 半 徑 為 r高 為 h的 圓 錐 體 的 體 積 為 ：hrV 231證 建 立 坐 標 系 如 圖 y rhP xoxhry 直 線 OP方 程 為 dxxhrV h 20 hxhr 0322 3 .3 2hr a ao y x解 ,323232 xay 332322 xay , aax dxxaV aa 33232 .10532

10、3a例 8 求 星 形 線 ( a 0 )繞 x 軸 旋 轉323232 ayx 構 成 旋 轉 體 的 體 積 . 旋 轉 體 的 體 積 xyo )(yx cddyyV dc 2)(直 線 y=c, y=d 及 y 軸 所 圍 成 的 曲 邊 梯 形)(yx 如 果 旋 轉 體 是 由 連 續(xù) 曲 線繞 y 軸 旋 轉 一 周 而 成 的 立 體 ，體 積 為 : 解 dxxyV ax )(2 20 0 22 )cos1(2 ta 0 323 )coscos3cos31(2 dtttta .5 32a a2a )(xy分 別 繞 x 軸 、),sin( ttax )cos1( tay 例

11、9 求 擺 線的 一 拱 與 y=0 所 圍 成 的 圖 形 ,y 軸 旋 轉 構 成 旋 轉 體 的 體 積 .繞 x 軸 旋 轉 的 旋 轉 體 體 積 dtta )cos1( dyyxV ay )(220 2 dyyxa )(220 1 oy xa2 ABCa2 )(2 yxx)(1 yxx 2 22 )cos1()sin( tadtta 0 22 )cos1()sin( tadtta 20 23 sin)sin( tdttta .6 33a繞 y 軸 旋 轉 的 旋 轉 體 體 積 練 習1.由 )0( 22 ppxy ),2( pp 處 的 法 線 所和 它 在圍 成 的 圖 形 繞

12、 y軸 旋 轉 所 得 旋 轉 體 的 體 積 .2.由 xy 22 和 x=0, y=1圍 成 的 圖 形 繞 y=1旋 轉 所 得 旋 轉 體 的 體 積 . 小 結一 、 旋 轉 體 體 積 由 連 續(xù) 曲 線 y=f(x)、 直 線 x=a、 x=b 及 x 軸 所 圍成 的 曲 邊 梯 形 ，1.繞 x 軸 旋 轉 一 周 而 成 的 旋 轉 體 ： dxxfV ba 2)( 2.繞 y 軸 旋 轉 一 周 而 成 的 旋 轉 體 ： dxxfxV bay |)(|2 二 、 平 行 截 面 面 積 已 知 立 體 體 積 平 行 截 面 面 積 為 ： A(x) 體 積 .)( b

13、a dxxAV xoy A B1M 2M 1nM, 10 MMA依 次 連 接 相 鄰 分 點 ,接 折 線 ， 其 長 為 且 每 個 小 弧 段 的 長 度 都 趨 向 于 零 時 ,得 內 0M nM稱 此 曲 線 弧 為 可 求 長 的 。 |1 1 ni ii MM的 極 限 存 在 ，設 曲 線 弧 AB,在 弧 上 插 入分 點 稱 此 極 限 為 曲 線 弧 AB的 弧 長當 分 點 無 限 增 多 ,|1 1 ni ii MM BMn , xNM TRx dxxyo dydxds22 )()( dydxds 弧微分：是 否 所 有 的 曲 線 弧都 是 可 求 長 的 ？定

14、理 ： 光 滑 或 分 段 光 滑的 曲 線 弧 是 可 求 長 的 。如 何 求 弧 長 xy 1sin xoy a bx dxx22 )()( dydx dxy 21 弧 長 元 素 dxyds 21 弧 長 .1 2dxys ba 設 曲 線 弧 為 y=f(x) )( bxa 其 中 y=f(x) 在 a,b上 有 一 階連 續(xù) 導 數(shù) , 取 積 分 變 量 為 x在 a,b上 任 取 小 區(qū) 間 x, x+dx小 切 線 段 的 長 : x=g(y) dyc x=g(y)在 c,d y在 c,d y, y+dy yxyxds .2 yxdc 解 ,21xy ,1 dxxds 所 求

15、 弧 長 為 dxxs ba 1 .)1()1(32 2323 ab bax 23)1(32 例 10 計 算 曲 線 2332xy 相 應 于 x從 a到 b的 一 段 弧 的 長 度 . 曲 線 弧 為 ,)( )( ty tx )( t22 )()( dydxds 2222 )()( dttdtt dttt )()( 22 弧 長 .)()( 22 dttts 其 中 在 上 具 有 連 續(xù) 導 數(shù) )(),( tt , 解 tay tax 33sincos )20( t根 據(jù) 對 稱 性 14ss dtyx 20 224 dttta 20 cossin34 .6a a ao y x例

16、11 求 星 形 線 ( a 0)的 全 長 323232 ayx 曲 線 弧 為 )( )( sin)( cos)(yx )( 22 )()( dydxds ,)()( 22 d弧 長 .)()( 22 ds )( 其 中 在 上 具 有 連 續(xù) 導 數(shù) )( , 例 12 求 阿 基 米 德 螺 線 (a 0)上 a相 應 于 從 0到 的 弧 長 解 ,a ds 20 22 )()( .)412ln(4122 22 a daa20 222 2 da 20 2 1 直角坐標系：參數(shù)方程：極坐標系：弧 微 分 求 法 ： 22 )()( dydxds )(xfy dxyds 21 )(yx dyxds 21 ,)( )( ty tx dtyxds tt 22 dds )()( 22)(作 業(yè) ： P286:T23,T27,T30