2016高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)8.6立體幾何中的向量方法（一）-證明平行與垂直課件理蘇教版

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1、8.6立體幾何中的向量方法(一)證明平行與垂直第八章立體幾何數(shù) 學(xué) 蘇 （ 理 ） 基 礎(chǔ) 知 識 自 主 學(xué) 習(xí) 題 型 分 類 深 度 剖 析 思 想 方 法 感 悟 提 高 練 出 高 分 1.直 線 的 方 向 向 量 與 平 面 的 法 向 量 的 確 定(1)直 線 的 方 向 向 量 ： 在 直 線 上 任 取 一 向 量 作 為 它 的方 向 向 量 .(2)平 面 的 法 向 量 可 利 用 方 程 組 求 出 ： 設(shè) a， b是 平 面 內(nèi) 兩不 共 線 向 量 ， n為 平 面 的 法 向 量 ， 則 求 法 向 量 的 方 程 組 為非 零 2.用 向 量 證 明 空

2、間 中 的 平 行 關(guān) 系(1)設(shè) 直 線 l1和 l2的 方 向 向 量 分 別 為 v1和 v2， 則 l1 l2(或 l1與 l2重合 ) .(2)設(shè) 直 線 l的 方 向 向 量 為 v， 與 平 面 共 面 的 兩 個 不 共 線 向 量v1和 v2， 則 l 或 l .(3)設(shè) 直 線 l的 方 向 向 量 為 v， 平 面 的 法 向 量 為 u， 則 l 或l .(4)設(shè) 平 面 和 的 法 向 量 分 別 為 u1， u2， 則 .v1 v2 存 在 兩 個 實 數(shù) x， y， 使 v xv1 yv2v u u1 u2 3.用 向 量 證 明 空 間 中 的 垂 直 關(guān) 系(

3、1)設(shè) 直 線 l1和 l2的 方 向 向 量 分 別 為 v1和 v2，則 l1 l2 .(2)設(shè) 直 線 l的 方 向 向 量 為 v， 平 面 的 法 向 量 為 u，則 l .(3)設(shè) 平 面 和 的 法 向 量 分 別 為 u1和 u2，則 .v1 v2 v1v2 0v uu1 u2 u1u2 0 u 思考辨析判 斷 下 面 結(jié) 論 是 否 正 確 (請 在 括 號 中 打 “ ” 或 “ ” )(1)直 線 的 方 向 向 量 是 唯 一 確 定 的 .( )(2)平 面 的 單 位 法 向 量 是 唯 一 確 定 的 .( )(3)若 兩 平 面 的 法 向 量 平 行 ， 則

4、兩 平 面 平 行 .( )(4)若 兩 直 線 的 方 向 向 量 不 平 行 ， 則 兩 直 線 不 平 行 .( )(5)若 a b， 則 a所 在 直 線 與 b所 在 直 線 平 行 .( )(6)若 空 間 向 量 a平 行 于 平 面 ， 則 a所 在 直 線 與 平 面 平 行 .( ) 題 號 答 案 解 析1234 l 或 l 2 3 ( 4) 解析 解 析 思 維 升 華思 維 點 撥題 型 一 證 明 平 行 問 題例1 (2013浙 江 改 編 )如 圖 ， 在四 面 體 A BCD中 ， AD 平 面BCD， BC CD， AD 2， BD2 ， M是 AD的 中

5、點 ， P是 BM的中 點 ， 點 Q在 線 段 AC上 ，且 AQ 3QC.證 明 ： PQ 平 面 BCD. 證 明 線 面 平 行 ， 可 以利 用 判 定 定 理 先 證 線線 平 行 ， 也 可 利 用 平面 的 法 向 量 .題 型 一 證 明 平 行 問 題例1 (2013浙 江 改 編 )如 圖 ， 在四 面 體 A BCD中 ， AD 平 面BCD， BC CD， AD 2， BD2 ， M是 AD的 中 點 ， P是 BM的中 點 ， 點 Q在 線 段 AC上 ，且 AQ 3QC.證 明 ： PQ 平 面 BCD. 解 析 思 維 升 華思 維 點 撥 題 型 一 證 明

6、平 行 問 題例1 (2013浙 江 改 編 )如 圖 ， 在四 面 體 A BCD中 ， AD 平 面BCD， BC CD， AD 2， BD2 ， M是 AD的 中 點 ， P是 BM的中 點 ， 點 Q在 線 段 AC上 ，且 AQ 3QC.證 明 ： PQ 平 面 BCD.證明方 法 一 如 圖 ， 取 BD的 中 點 O， 以 O為 原 點 ，OD、 OP所 在 射 線 為 y、 z軸 的 正 半 軸 ，建 立 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 O xyz.設(shè) 點 C的 坐 標(biāo) 為 (x0， y0,0). 解 析 思 維 升 華思 維 點 撥 題 型 一 證 明 平 行 問 題例1 (20

7、13浙 江 改 編 )如 圖 ， 在四 面 體 A BCD中 ， AD 平 面BCD， BC CD， AD 2， BD2 ， M是 AD的 中 點 ， P是 BM的中 點 ， 點 Q在 線 段 AC上 ，且 AQ 3QC.證 明 ： PQ 平 面 BCD. 解 析 思 維 升 華思 維 點 撥 題 型 一 證 明 平 行 問 題例1 (2013浙 江 改 編 )如 圖 ， 在四 面 體 A BCD中 ， AD 平 面BCD， BC CD， AD 2， BD2 ， M是 AD的 中 點 ， P是 BM的中 點 ， 點 Q在 線 段 AC上 ，且 AQ 3QC.證 明 ： PQ 平 面 BCD.又

8、 PQ 平 面 BCD， 所 以 PQ 平 面 BCD.方 法 二 在 線 段 CD上 取 點 F， 使 得 DF 3FC， 連 結(jié) OF，同 證 法 一 建 立 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 ，寫 出 點 A、 B、 C的 坐 標(biāo) ， 設(shè) 點 C坐 標(biāo) 為 (x 0， y0,0). 解 析 思 維 升 華思 維 點 撥 題 型 一 證 明 平 行 問 題例1 (2013浙 江 改 編 )如 圖 ， 在四 面 體 A BCD中 ， AD 平 面BCD， BC CD， AD 2， BD2 ， M是 AD的 中 點 ， P是 BM的中 點 ， 點 Q在 線 段 AC上 ，且 AQ 3QC.證 明 ：

9、 PQ 平 面 BCD. 解 析 思 維 升 華思 維 點 撥 題 型 一 證 明 平 行 問 題例1 (2013浙 江 改 編 )如 圖 ， 在四 面 體 A BCD中 ， AD 平 面BCD， BC CD， AD 2， BD2 ， M是 AD的 中 點 ， P是 BM的中 點 ， 點 Q在 線 段 AC上 ，且 AQ 3QC.證 明 ： PQ 平 面 BCD.又 PQ 平 面 BCD， OF平 面 BCD， PQ 平 面 BCD. 解 析 思 維 升 華思 維 點 撥 用 向 量 證 明 線 面 平 行 的 方 法 有(1)證 明 該 直 線 的 方 向 向 量 與平 面 的 某 一 法

10、向 量 垂 直 ；(2)證 明 該 直 線 的 方 向 向 量 與平 面 內(nèi) 某 直 線 的 方 向 向 量 平 行 ；(3)證 明 該 直 線 的 方 向 向 量 可以 用 平 面 內(nèi) 的 兩 個 不 共 線 的 向量 線 性 表 示 .題 型 一 證 明 平 行 問 題例1 (2013浙 江 改 編 )如 圖 ， 在四 面 體 A BCD中 ， AD 平 面BCD， BC CD， AD 2， BD2 ， M是 AD的 中 點 ， P是 BM的中 點 ， 點 Q在 線 段 AC上 ，且 AQ 3QC.證 明 ： PQ 平 面 BCD. 解 析 思 維 升 華思 維 點 撥 跟蹤訓(xùn)練1 (20

11、14湖 北 )如 圖 ， 在 棱 長 為 2的 正方 體 ABCD A1B1C1D1中 ， E， F， M， N分 別是 棱 AB， AD， A1B1， A1D1的 中 點 ， 點 P， Q分別 在 棱 DD1 ， BB1 上 移 動 ， 且 DP BQ(00)， 7分 設(shè) n1 (x， y， z)為 平 面 ACE的 法 向 量 ， 溫 馨 提 醒規(guī) 范 解 答 又 n2 (1,0,0)為 平 面 DAE的 一 個 法 向 量 ， 9分 11分 溫 馨 提 醒規(guī) 范 解 答 14分 因 為 E為 PD的 中 點 ，三 棱 錐 E ACD的 體 積 溫 馨 提 醒規(guī) 范 解 答 (1)利 用

12、向 量 法 證 明 立 體 幾 何 問 題 ， 可 以 建 坐 標(biāo) 系 或 利 用 基底 表 示 向 量 ；(2)建 立 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 時 ， 要 根 據(jù) 題 中 條 件 找 出 三 條 互 相垂 直 的 直 線 ；(3)利 用 向 量 除 了 可 以 證 明 線 線 平 行 、 垂 直 ， 線 面 、 面 面 平行 、 垂 直 外 ， 還 可 以 利 用 向 量 求 夾 角 、 距 離 ， 從 而 解 決 線段 長 度 問 題 、 體 積 問 題 等 . 溫 馨 提 醒規(guī) 范 解 答 方 法 與 技 巧 1.用 向 量 法 解 決 立 體 幾 何 問 題 ， 是 空 間 向 量

13、 的 一 個 具 體應(yīng) 用 ， 體 現(xiàn) 了 向 量 的 工 具 性 ， 這 種 方 法 可 把 復(fù) 雜 的 推 理證 明 、 輔 助 線 的 作 法 轉(zhuǎn) 化 為 空 間 向 量 的 運 算 ， 降 低 了 空間 想 象 演 繹 推 理 的 難 度 ， 體 現(xiàn) 了 由 “ 形 ” 轉(zhuǎn) “ 數(shù) ” 的 轉(zhuǎn)化 思 想 .2.兩 種 思 路 ： (1)選 好 基 底 ， 用 向 量 表 示 出 幾 何 量 ， 利 用空 間 向 量 有 關(guān) 定 理 與 向 量 的 線 性 運 算 進(jìn) 行 判 斷 .(2)建 立空 間 坐 標(biāo) 系 ， 進(jìn) 行 向 量 的 坐 標(biāo) 運 算 ， 根 據(jù) 運 算 結(jié) 果 的 幾

14、何 意 義 解 釋 相 關(guān) 問 題 . 失 誤 與 防 范 用 向 量 知 識 證 明 立 體 幾 何 問 題 ， 仍 然 離 不 開 立 體幾 何 中 的 定 理 .如 要 證 明 線 面 平 行 ， 只 需 要 證 明 平面 外 的 一 條 直 線 和 平 面 內(nèi) 的 一 條 直 線 平 行 ， 即 化歸 為 證 明 線 線 平 行 ， 用 向 量 方 法 證 明 直 線 a b，只 需 證 明 向 量 a b( R)即 可 .若 用 直 線 的 方 向 向量 與 平 面 的 法 向 量 垂 直 來 證 明 線 面 平 行 ， 仍 需 強(qiáng)調(diào) 直 線 在 平 面 外 . 2 3 4 5 6

15、7 8 9 1011.設(shè) 平 面 的 法 向 量 為 a (1,2， 2)， 平 面 的 法 向 量 為 b( 2， h， k)， 若 ， 則 h k的 值 為 _. h 4， k 4， h k 0. 0 2 3 4 5 6 7 8 9 101 AB與 平 面 CDE平 行 或 在 平 面 CDE內(nèi) .平 行 或 在 平 面 內(nèi) 2 3 4 5 6 7 8 9 1013.已 知 A(4,1,3)， B(2， 5,1)， C(3,7， 5)， 則 平 行 四 邊 形ABCD的 頂 點 D的 坐 標(biāo) 是 _.所 以 x 5， y 13， z 3， 即 D(5,13， 3).(5,13， 3) 2

16、3 4 5 6 7 8 9 1014.已 知 a (2， 1,3)， b ( 1,4， 2)， c (7,5， )，若 a， b， c三 向 量 共 面 ， 則 實 數(shù) _.解析由 題 意 得 c ta b (2t ， t 4， 3t 2)， 2 3 4 5 6 7 8 9 1015.如 圖 ， 在 長 方 體 ABCDA1B1C1D1中 ，AB 2， AA1 ， AD 2 ， P為 C1D1的中 點 ， M為 BC的 中 點 .則 AM與 PM所 成 的角 為 _.解析以 D點 為 原 點 ， 分 別 以 DA， DC， DD1所 在 直 線 為 x軸 ， y軸 ， z軸 ， 建 立 如 圖

17、 所 示的 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 D xyz， 2 3 4 5 6 7 8 9 101 答案90 3 4 5 6 7 8 9 101 26.已 知 平 面 內(nèi) 的 三 點 A(0,0,1)， B(0,1,0)， C(1,0,0)， 平 面 的一 個 法 向 量 n ( 1， 1， 1)， 則 不 重 合 的 兩 個 平 面 與 的 位 置 關(guān) 系 是 _.解析設(shè) 平 面 的 法 向 量 為 m (x， y， z)， m (1,1,1)， m n， m n， .平 行 3 4 5 6 7 8 9 101 27.設(shè) 點 C(2a 1， a 1,2)在 點 P(2,0,0)、 A(1， 3,2

18、)、 B(8， 1， 4)確 定 的 平 面 上 ， 則 a _.則 (2a 1， a 1,2) x( 1， 3,2) y(6， 1,4) ( x 6y， 3x y,2x 4y)， 3 4 5 6 7 8 9 101 2答案16 3 4 5 6 7 8 9 101 28.設(shè) u ( 2,2， t)， v (6， 4,4)分 別 是 平 面 ， 的 法 向 量 ，若 ， 則 t _.解析 ， u v， uv 0， 12 8 4t 0， t 5.5 3 4 5 6 7 8 9 101 29.如 圖 ， 四 邊 形 ABCD為 正 方 形 ， PD 平面 ABCD， PD QA， QA AB PD.

19、證 明 ：平 面 PQC 平 面 DCQ.證明如 圖 ， 以 D為 坐 標(biāo) 原 點 ， 線 段 DA的 長為 單 位 長 ， 射 線 DA、 DP、 DC分 別 為 x軸 、 y軸 、 z軸 的 正 半 軸 建 立 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 D xyz. 3 4 5 6 7 8 9 101 2又 DQ DC D， 故 PQ 平 面 DCQ，又 PQ平 面 PQC， 平 面 PQC 平 面 DCQ. 10.如 圖 ， 在 底 面 是 矩 形 的 四 棱 錐 P ABCD中 ， PA 底 面 ABCD， E， F分 別 是 PC，PD的 中 點 ， PA AB 1， BC 2.(1)求 證 ：

20、EF 平 面 PAB；3 4 5 6 7 8 9 101 2證明以 A為 原 點 ， AB所 在 直 線 為 x軸 ， AD所 在 直 線 為 y軸 ， AP所 在 直 線 為 z軸 ， 建 立 如圖 所 示 的 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 ， 3 4 5 6 7 8 9 101 2則 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C(1,2,0)， D(0,2,0)， P(0,0,1)， 3 4 5 6 7 8 9 101 2又 AB 平 面 PAB， EF 平 面 PAB， EF 平 面 PAB. 3 4 5 6 7 8 9 101 2(2)求 證 ： 平 面 PAD 平 面 PDC.又 AP

21、AD A， DC 平 面 PAD. DC平 面 PDC， 平 面 PAD 平 面 PDC. 1.如 圖 ， 正 方 形 ABCD與 矩 形 ACEF所 在 平 面互 相 垂 直 ， AB ， AF 1， M在 EF上 ， 且AM 平 面 BDE， 則 M點 的 坐 標(biāo) 為 _.解析設(shè) M點 的 坐 標(biāo) 為 (x， y,1)， AC BD O，2 3 4 51 2 3 4 51 152.如 圖 ， 在 正 方 體 ABCDA1B1C1D1中 ， 棱 長 為a， M、 N分 別 為 A1B和 AC上 的 點 ， A1M AN ， 則 MN與 平 面 BB1C1C的 位 置 關(guān) 系 是_. 2 3

22、4 51 2 3 4 51 MN 平 面 B1BCC1.答案平 行 2 3 4 51 3.在 正 方 體 ABCDA1B1C1D1中 ， P為 正 方形 A1B1C1D1四 邊 上 的 動 點 ， O為 底 面 正 方形 ABCD的 中 心 ， M， N分 別 為 AB， BC的中 點 ， 點 Q為 平 面 ABCD內(nèi) 一 點 ， 線 段D1Q與 OP互 相 平 分 ， 則 滿 足 的實 數(shù) 有 _個 . 2 3 4 51 解析建 立 如 圖 的 坐 標(biāo) 系 ，設(shè) 正 方 體 的 邊 長 為 2， 則 P(x， y,2)， O(1,1,0)，又 知 D1(0,0,2)， Q(x 1， y 1,

23、0)， 而 Q在 MN上 ， xQ yQ 3， x y 1， 即 點 P坐 標(biāo) 滿 足 x y 1. 有 2個 符 合 題 意 的 點 P， 即 對 應(yīng) 有 2個 . 答案22 3 4 51 4.如 圖 所 示 ， 已 知 直 三 棱 柱 ABCA1B1C1中 ， ABC為 等 腰 直 角 三 角 形 ， BAC 90 ，且 AB AA1， D、 E、 F分 別 為 B1A、 C1C、BC的 中 點 .求 證 ：(1)DE 平 面 ABC；證明如 圖 建 立 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 A xyz，令 AB AA1 4， 2 3 4 51 則 A(0,0,0)， E(0,4,2)， F(2,2

24、,0)， B(4,0,0)， B1(4,0,4).取 AB中 點 為 N， 連 結(jié) CN，則 N(2,0,0)， C(0,4,0)， D(2,0,2)，又 NC平 面 ABC， DE 平 面 ABC.故 DE 平 面 ABC. 2 3 4 51 (2)B1F 平 面 AEF.又 AF EF F， B1F 平 面 AEF.2 3 4 51 5.在 四 棱 錐 PABCD中 ， PD 底 面 ABCD， 底 面 ABCD為 正方 形 ， PD DC， E、 F分 別 是 AB、 PB的 中 點 .(1)求 證 ： EF CD；證明如 圖 ， 分 別 以 DA、 DC、 DP所 在 直 線 為x軸 、 y軸 、 z軸 建 立 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 ，設(shè) AD a， 則 D(0,0,0)、A(a,0,0)、 B(a， a,0)、 2 3 4 51 2 3 4 51 (2)在 平 面 PAD內(nèi) 求 一 點 G， 使 GF 平 面 PCB， 并 證 明 你 的 結(jié) 論 .若 使 GF 平 面 PCB， 則2 3 4 51 2 3 4 51