全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

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1、中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì) 全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 一、選擇題（共5小題，每小題6分，共30分.） 1（甲）．如果實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式可以化簡(jiǎn)為（ ）． （A） （B） （C） （D）a 1（乙）．如果，那么的值為（ ）． （A） （B） （C）2 （D） 2（甲）．如果正比例函數(shù)y = ax（a ≠ 0）與反比例函數(shù)y =（b ≠0 ）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，－2），那么另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）． （A）（2，3

2、） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2） 2（乙）． 在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）的個(gè)數(shù)為（ ）． （A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果為給定的實(shí)數(shù)，且，那么這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對(duì)值是（ ）． （A）1 （B） （C） （D） 3（乙）．如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線， △ABC是等邊三角形．，AD = 3，BD = 5， 則CD的長(zhǎng)為（ ）

3、． （A） （B）4 （C） （D）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣．小倩對(duì)小玲說：“你若給我2元，我的錢數(shù)將是你的n倍”；小玲對(duì)小倩說：“你若給我n元，我的錢數(shù)將是你的2倍”，其中n為正整數(shù)，則n的可能值的個(gè)數(shù)是（ ）． （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4（乙）．如果關(guān)于x的方程 是正整數(shù)）的正根小于3， 那么這樣的方程的個(gè)數(shù)是（ ）． （A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8 5（甲）．一枚質(zhì)地均勻的正方體

4、骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6．?dāng)S兩次骰子，設(shè)其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的概率為，則中最大的是（ ）． （A） （B） （C） （D） 5（乙）．黑板上寫有共100個(gè)數(shù)字．每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個(gè)數(shù)，然后刪去，并在黑板上寫上數(shù)，則經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是（ ）． （A）2012 （B）101 （C）100 （D）99 二、填空題（共5小題，每小題6分，共30分） 6（甲）．按如圖的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運(yùn)行從“輸入一個(gè)值x”到“結(jié)

5、果是否>487？”為一次操作. 如果操作進(jìn)行四次才停止，那么x的取值范圍是 . 6（乙）.如果a，b，c是正數(shù)，且滿足，，那么的值為 ． 7（甲）．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2， E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，AF與DE，DB 分別交于點(diǎn)M，N，則△DMN的面積是 . 7（乙）.如圖所示，點(diǎn)A在半徑為20的圓O上，以O(shè)A為一條對(duì)角線作矩形OBAC，設(shè)直線BC交圓O于D、E兩點(diǎn)，若，則線段CE、BD的長(zhǎng)度差是 。 8（甲）. 如果關(guān)于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，那么

6、 的值為 ． 8（乙）．設(shè)為整數(shù)，且1≤n≤2012. 若能被5整除，則所有的個(gè)數(shù)為 . 9（甲）. 2位八年級(jí)同學(xué)和m位九年級(jí)同學(xué)一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場(chǎng)．記分規(guī)則是：每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分；平局各得1分. 比賽結(jié)束后，所有同學(xué)的得分總和為130分，而且平局?jǐn)?shù)不超過比賽局?jǐn)?shù)的一半，則m的值為 . 9（乙）．如果正數(shù)x，y，z可以是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，那么稱是三角形數(shù)．若和均為三角形數(shù)，且a≤b≤c，則的取值范圍是 . 10（甲）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O， AB是

7、直徑，AD = DC. 分別延長(zhǎng)BA，CD， 交點(diǎn)為E. 作BF⊥EC，并與EC的延長(zhǎng)線 交于點(diǎn)F. 若AE = AO，BC = 6，則CF的 長(zhǎng)為 . 10（乙）．已知是偶數(shù)，且1≤≤100．若有唯一的正整數(shù)對(duì)使得成立，則這樣的的個(gè)數(shù)為 ． 三、解答題（共4題，每題15分，共60分） 11（甲）．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有；關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和小于．求的取值范圍． 11（乙）. 如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B、C分別在x軸正、負(fù)半軸上，。點(diǎn)D在線段AB上，連結(jié)CD交y軸于點(diǎn)E，且。試求圖像經(jīng)過B、C、E三

8、點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式。 12（甲）. 如圖，⊙O的直徑為，過點(diǎn)，且與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)．為⊙O上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．點(diǎn)在上，且，BE的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，求證：△BOC∽△． 12（乙）．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對(duì)角線，AC的中點(diǎn)I是△ABD的內(nèi)心. 求證： （1）OI是△IBD的外接圓的切線； （2）AB+AD = 2BD. 13（甲）. 已知整數(shù)a，b滿足：a－b是素?cái)?shù)，且ab是完全平方數(shù). 當(dāng)2012時(shí)，求a的最小值. 13（乙）．給定一個(gè)正整數(shù)，凸邊形

9、中最多有多少個(gè)內(nèi)角等于？并說明理由． 14（甲）. 求所有正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)，滿足，且. 14（乙）．將，，…，（n≥2）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù) （可以相同），使得，求的最小值． 參考解答 一、選擇題 1(甲) .C 解：由實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置可知 ，且， 所以 ． 1（乙）．B 解：． 2（甲）．D 解：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對(duì)稱性，可知兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）. 2（乙）．B 解：由題設(shè)x

10、2＋y2≤2x＋2y， 得0≤≤2. 因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以有 解得 以上共計(jì)9對(duì). 3（甲）．D 解：由題設(shè)知，，所以這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 ， 中位數(shù)為 ， 于是 . 3（乙）．B 解：如圖，以CD為邊作等邊△CDE，連接AE. 由于AC = BC，CD = CE， ∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE， 所以△BCD≌△ACE， BD = AE. 又因?yàn)?，所? 在Rt△中， 于是DE=，所以CD = DE = 4. 4（甲）．D 解

11、：設(shè)小倩所有的錢數(shù)為x元、小玲所有的錢數(shù)為y元，均為非負(fù)整數(shù). 由題設(shè)可得 消去x得 (2y－7)n = y+4， 2n =. 因?yàn)闉檎麛?shù)，所以2y－7的值分別為1，3，5，15，所以y的值只能為4，5，6，11．從而n的值分別為8，3，2，1；x的值分別為14，7，6，7． 4（乙）．C 解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知，兩根的乘積為，故方程的根為一正一負(fù)．由二次函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，，所以，即 . 由于都是正整數(shù)，所以，1≤q≤5；或 ，1≤q≤2，此時(shí)都有. 于是共有7組符合題意． 5（甲）．D 解：擲兩次骰

12、子，其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有36個(gè)，其和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的有序數(shù)對(duì)有9個(gè)，8個(gè)，9個(gè)，10個(gè)，所以 ，因此最大． 5（乙）．C 解：因?yàn)?，所以每次操作前和操作后，黑板上的每個(gè)數(shù)加1后的乘積不變． 設(shè)經(jīng)過99次操作后黑板上剩下的數(shù)為，則 ， 解得 ，． 二、填空題 6（甲）．7＜x≤19 解：前四次操作的結(jié)果分別為 3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80. 由已知得 27x－26≤487，

13、 81x－80＞487. 解得 7＜x≤19. 容易驗(yàn)證，當(dāng)7＜x≤19時(shí)，≤487 ≤487，故x的取值范圍是 7＜x≤19． 6（乙）.7 解：在兩邊乘以得 即 7（甲）．8 解：連接DF，記正方形的邊長(zhǎng)為2. 由題設(shè)易知△∽△，所以 ， 由此得，所以. 在Rt△ABF中，因?yàn)?，所? ， 于是 . 由題設(shè)可知△ADE≌△BAF，所以 ， . 于是 ， ， . 又，所以. 因?yàn)?，所? 7（乙）. 解：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連

14、接，則． 因?yàn)?，所? ， ． ． 8（甲）． 解：根據(jù)題意，關(guān)于x的方程有 =k2－4≥0， 由此得 (k－3)2≤0． 又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，從而k=3. 此時(shí)方程為x2+3x+=0，解得x1=x2=. 故==． 8（乙）.1610 解： 因此，所以，因此 所以共有2012-402=1610個(gè)數(shù) 9（甲）．8 解：設(shè)平局?jǐn)?shù)為，勝（負(fù)）局?jǐn)?shù)為，由題設(shè)知，由此得0≤b≤43. 又 ，所以. 于是 0≤≤43， 87≤≤130， 由此得 ，或. 當(dāng)時(shí)，；

15、當(dāng)時(shí)，，，不合題設(shè). 故． 9（乙）. 解：依題意得：，所以，代入（2）得 ，兩邊乘以a得 ，即，化簡(jiǎn)得，兩邊除以得 所以 另一方面：a≤b≤c，所以 綜合得 另解：可令，由（1）得，代入（2）化簡(jiǎn)得，解得 ，另一方面：a≤b≤c，所以， 綜合得． 10（甲）． 解：如圖，連接AC，BD，OD. 由AB是⊙O的直徑知∠BCA =∠BDA = 90. 依題設(shè)∠BFC = 90，四邊形ABCD是⊙O 的內(nèi)接四邊形，所以 ∠BCF =∠BAD, 所以 Rt△BCF∽R(shí)t△BAD ，因此 . 因?yàn)镺D是⊙O的半徑，AD = C

16、D，所以O(shè)D垂直平分AC，OD∥BC， 于是 . 因此 . 由△∽△，知．因?yàn)椋? 所以 ，BA=AD ，故 . 10（乙）.12 解：依題意得 由于是偶數(shù)，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍數(shù)，即， 當(dāng)1≤≤100時(shí)，4的倍數(shù)共有25個(gè)，但要滿足題中條件的唯一正整數(shù)對(duì)，則： ，其中p是素?cái)?shù)，因此，k只能取下列12個(gè)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25，從而這樣的n有12個(gè)。 三、解答題 11（甲）．解： 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒有，所以 ， 即，所以． …………（3分） 當(dāng)時(shí)，≤；當(dāng)時(shí)

17、，≤，即 ≤， 且 ≤， 解得≤． …………（8分） 設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得． 因?yàn)?，所以? 解得，或． 因此． …………（15分） 11（乙）.解：因?yàn)閟in∠ABC =，， 所以AB = 10．由勾股定理，得． 易知， 因此 CO = BO = 6． 于是，，． 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為． 由，得． 所以 ，． 解得 ． 因此D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn) D的坐標(biāo)為．

18、 因此CD，AO分別為AB，BC的兩條中線，點(diǎn)E為△ABC的重心， 所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為．（也可由直線CD交y軸于點(diǎn)E來求得.） 設(shè)經(jīng)過B，C，E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為． 將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入，解得a =． 故經(jīng)過B，C，E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為． 12（甲）． 證明：連接BD，因?yàn)闉榈闹睆剑裕忠驗(yàn)?，所以△CBE是等腰三角形． …………（5分） 設(shè)與交于點(diǎn)，連接OM，則．又因?yàn)?，所? ． …………（10分） 又因?yàn)榉謩e是等腰△，等腰△的頂角，所以

19、△BOC∽△． …………（15分） 12（乙）.證明：（1）如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角相等 的性質(zhì)知：， ． 所以， CI = CD． 同理，CI = CB ． 故點(diǎn)C是△IBD的外心． 連接OA，OC，因?yàn)镮是AC的中點(diǎn)，且OA = OC， 所以O(shè)I⊥AC，即OI⊥CI ． 故OI是△IBD外接圓的切線． （2）如圖，過點(diǎn)I作IE⊥AD于點(diǎn)E，設(shè)OC與BD交于點(diǎn)F． 由，知OC⊥BD． 因?yàn)椤螩BF =∠IAE，BC = CI = AI，所以．所以BF = AE．

20、 又因?yàn)镮是△ABD的內(nèi)心，所以． 故． 也可由托勒密定理得：，再將代入即得結(jié)論。 13（甲）．解：設(shè)a－b = m（m是素?cái)?shù)），ab = n2（n是自然數(shù)）. 因?yàn)? (a+b)2－4ab = (a－b)2， 所以 (2a－m)2－4n2 = m2， (2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2. …………（5分） （1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?a－m+2n與2a－m－2n都是正整數(shù)，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m為素?cái)?shù))，所以

21、 2a－m+2nm 2，2a－m－2n1. 解得 a，. 于是 = a－m. …………（10分） 又a≥2012，即≥2012. 又因?yàn)閙是素?cái)?shù)，解得m≥89. 此時(shí)，a≥=2025. 當(dāng)時(shí)，，，. 此時(shí)，a的最小值為2025. （2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?012，所以，從而得a的最小值為2017（素?cái)?shù)）。 綜上所述，所求的a的最小值為2017。……（15分） 13（乙）.解：設(shè)凸n邊形最多有k個(gè)內(nèi)角等于150，則每個(gè)150內(nèi)角的外角 都等于30， 而凸

22、n邊形的n個(gè)外角和為360，所以，只有當(dāng)時(shí)， k才有最大值12. …………（5分）下面我們討論時(shí)的情況： （1）當(dāng)時(shí)，顯然，k的值是11； （2）當(dāng)時(shí)，k的值分別為1，2，3，4，5； （3）當(dāng)時(shí)，k的值分別為7，8，9，10. …………（10分） 綜上所述，當(dāng)時(shí)，凸n邊形最多有個(gè)內(nèi)角等于150；當(dāng)時(shí)，凸n邊形最多有個(gè)內(nèi)角等于150；當(dāng)時(shí)，凸n邊形最多有12個(gè)內(nèi)角等于150；當(dāng)時(shí)，凸n邊形最多有11個(gè)內(nèi)角等于150。. ……（15分） 14（甲）．解：由于都是正整數(shù)，且，所以 ≥1，≥2，…，≥2012． 于是 ≤． …………（5分） 當(dāng)時(shí)，令，則

23、 . …………（10分） 當(dāng)時(shí)，其中≤≤，令 ，則 ． 綜上，滿足條件的所有正整數(shù)n為． …………（15分） 14（乙）.解：當(dāng)時(shí)，把分成如下兩個(gè)數(shù)組： 和． 在數(shù)組中，由于， 所以其中不存在數(shù)，使得． 在數(shù)組中，由于， 所以其中不存在數(shù)，使得． 所以，． 下面證明當(dāng)時(shí)，滿足題設(shè)條件． 不妨設(shè)2在第一組，若也在第一組，則結(jié)論已經(jīng)成立．故不妨設(shè)在第二組． 同理可設(shè)在第一組，在第二組． 此時(shí)考慮數(shù)8．如果8在第一組，我們?nèi)。藭r(shí)；如果8在第二組，我們?nèi)?，此時(shí)． 綜上，滿足題設(shè)條件． 所以，的最小值為． （注：也可以通過考慮2，4，16，256，65536的分組情況得到n最小值為65536．）