曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

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1、1 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?著重介紹運(yùn)用建立近似模型并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算來(lái)研究、討論函數(shù)的方法。 2 實(shí)驗(yàn)問(wèn)題 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)是一種常用的機(jī)械結(jié)構(gòu)，它將曲柄的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為滑塊在直線上的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，是壓氣機(jī)、沖床、活塞式水泵等機(jī)械的主機(jī)構(gòu)。 2 記曲柄OQ的長(zhǎng)為r，連桿QP的長(zhǎng)為l， 當(dāng)曲柄繞固定點(diǎn)O以角速度P在水平槽內(nèi)作往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)。 旋轉(zhuǎn)時(shí)，由連桿帶動(dòng)滑塊假設(shè)初始時(shí)刻曲柄的端點(diǎn)Q位于水平線段OP上， 曲柄從初始位置起轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為， 連桿Q P與OP的銳夾角為（稱為擺角）。 3 在機(jī)械設(shè)計(jì)中要研究滑塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和擺角的變化規(guī)律， 確切地說(shuō)，要研究滑塊的位移、速度和加速度關(guān)于的函數(shù)關(guān)系， 擺角及

2、其角速度和角加速度關(guān)于的函數(shù)關(guān)系， 4 （1）求出滑塊的行程S（即滑塊往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)左、右極限位置間的距離）；（2）求出滑塊的最大和最小加速度（絕對(duì)值），以了解滑塊在水平方向上的作用力；（3）求出 的最大和最小角加速度（絕對(duì)值），以了解連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)滑塊的影響。 在求解上述問(wèn)題時(shí)，我們假定 )(100 mmr )(3003 mmrl min)/(240轉(zhuǎn) 5 8.3 數(shù)學(xué)模型 取O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP方向?yàn)閤軸正方向，P在x軸上的坐標(biāo)為x，那么可用x表示滑塊的位移。 利用三角關(guān)系，立即得到 2 2 2cos sin (8.1)x r l r t (8.2)dx dx d dxdt d dt d 6

3、 2 2 2cos sin (8.1)x r l r 22 2 2sin cossin (8.3)sindx rrd l r 于是滑塊的速度 ddxdtdddxdtdxv 2 2 2cossin 1 (8.4)sinrr l r 進(jìn)而，可以得到滑塊的加速度為 7 dddtda 2 2 42 32 2 2 2( cos2 sin )cos (8.5)( sin )r l rr l r 同樣，基于關(guān)系式sin sin (8.6)l r 我們有擺角的表達(dá)式arcsin sin (8.7)r l 式（8.6）對(duì)t求導(dǎo)， coscoscos rdtdrdtdl 8 coscoslrdtd 由此再得2 2

4、 2sin cos cos sin (8.9)cos dd r dtdt l 利用（8.6）， sin sin (8.6)l r 不難由上兩式導(dǎo)出 2 2 2cos (8.10)sind rdt l r 2 2 2 232 2 2 2 2sin ( ) (8.11)( sin )d r l rdt l r 9 至此，我們得到了滑塊位移x和連桿擺角運(yùn)動(dòng)規(guī)律中有關(guān)變量依賴的表達(dá)式?；瑝K的加速度為2 2 42 32 2 2 2( cos2 sin )cos (8.5)( sin )r l ra r l r 2 2 2 232 2 2 2 2sin ( ) (8.11)( sin )d r l rdt

5、 l r 雖然我們已經(jīng)得到了有關(guān)變量的解析式，但是要求出問(wèn)題的解并非十分簡(jiǎn)單。由于滑塊加速度和擺角角加速度的函數(shù)表達(dá)式（8.5）和（8.11）相當(dāng)復(fù)雜，從這兩個(gè)式子來(lái)了解這兩個(gè)量并不方便，而要用它們進(jìn)一步求出極值則更加不易（當(dāng)然，可以借助數(shù)學(xué)軟件來(lái)進(jìn)行，我們把這一點(diǎn)留給讀者）。 10 由于數(shù)學(xué)模型本身是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象，從而也必定有某種簡(jiǎn)化和忽略。即使我們得到了問(wèn)題的解析形式解，一般說(shuō)來(lái)，它仍然是對(duì)實(shí)際情況的近似。為了方便起見(jiàn)，對(duì)較為復(fù)雜的解析模型進(jìn)行近似處理常常是必要的。事實(shí)上，在曲柄連桿結(jié)構(gòu)（以及不少工程問(wèn)題）的研究中，確實(shí)經(jīng)常使用著這個(gè)方法。 8.4 近似模型將位移的表達(dá)式（8.1）改寫

6、為 2 2 2cos sin (8.1)x r l r 21222 sin1cos lrlrx (1 ) 1 , 1 (8.12) a a 11 一般而言，22lr是遠(yuǎn)比1小的數(shù)， 滑塊位移的近似模型為 2 21 cos sin (8.13)2rx r l l 從而有相應(yīng)的近似速度 2sin2sin 2 111 lrrdtdddxdtdx sin sin2 (8.14)2rr l 和近似加速度21 1 cos cos2 (8.15)d ra rdt l 這里速度和加速度是直接對(duì)近似位移模型求導(dǎo)得來(lái)，而不是對(duì)v和a的精確表達(dá)式（8.4）和（8.5）的近似。 12 當(dāng)然，我們也可以直接從滑塊速度的

7、解析式（8.4）進(jìn)行近似。 2 2 2cossin 1 (8.4)sinrv r l r 仍利用公式（8.12） (1 ) 1 , 1 (8.12) a a 22221222222 sin211sin11sin1 lrllrlrl把上式代入（8.4），就得到滑塊速度的近似模型 2222 sin21cos1sin lrlrr 13 3 2 3sin2 sin sin2sin (8.16)2 4r rr l l 從（8.16）出發(fā)，又可得近似加速度 3 22322 4 2cossin22(sin2coscos lrlrra） (8.17)對(duì)擺角可以利用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的Maclaurin公式 3arcs

8、in , 1 (8.18)6 arcsin sin (8.7)rl 得到擺角的近似模型。 粗略一些，可以取 1 sin (8.19)rl 而必要時(shí)，可以取 3 32 3sin sin (8.20)6r rl l 14 1 sin (8.19)rl 3 32 3sin sin (8.20)6r rl l 相應(yīng)的近似角速度為1 cos (8.21)d rdt l 3 22 3cos sin cos 8.222d r rdt l l 或（）近似角加速度為2 212 sin 8.23d rdt l （）2 3 2 322 3sin (sin sin2 cos ) 8.242d r rdt l l 或（

9、） 15 8.5 問(wèn)題的解法和討論滑塊的位移和行程利用滑塊位移的解析式（8.1）和近似式（8.13）， 2 2 2cos sin (8.1)x r l r 2 21 cos sin (8.13)2rx r l l 表8.1列出了從0到位移一些相應(yīng)數(shù)值（單位：mm）。 考慮到對(duì)稱性和周期性，只要計(jì)算這一區(qū)間中的函數(shù)值就可以了。 16 表8.1 mm x 1x12/ 12/2 12/3 12/8 12/10 12/11 0 400.000 400.000395.475 395.476382.407 382.436362.258 362.377337.228 337.500 . 209.201 20

10、9.231202.289 202.291200.000 200.000行程可以從表8.1中的值求得， 17 )(200200400 mms 從幾何直觀上看也十分明顯：, minmax rlxrlx )(2002)()( mmrrlrls 滑塊的加速度及其最值利用精確表達(dá)式（8.5）和近似表達(dá)式（8.15）、（8.17）， 2 2 42 32 2 2 2( cos2 sin )cos (8.5)( sin )r l ra r l r 211 cos cos2 (8.15)d ra rdt l 3 2 2 22 3cos2 (sin 2 2sin cos2cos 8.174r ra r l l ）

11、（） 18 計(jì)算滑塊的加速度。注意加速度仍具有對(duì)稱性和周期性。表8.2列出了一些相應(yīng)的數(shù)值（單位：mm/s2）：表 1.2 mm/s2 a 2a 1a12/ 12/2 12/3 12/4 12/5 2/ 12/7 12/8 084 220.684 220.684 220.679 463.679 461.579 247.565 837.465 815.365 230.545 302.045 249.644 664.721 086.821 055.221 055.22 739.2 2 684.8 1 885.922 332.4 22 224.9 21 055.235 436.1 35 381.7

12、34 582.742 078.6 42 110.3 42 110.3 19 12/9 12/10 12/11 44 027.5 44 079.9 44 664.743 568.4 43 590.5 44 175.342 562.8 42 564.8 42 778.942 110.3 42 110.3 42 110.3從表8.2中可以看出，用加速度的近似公式計(jì)算， 2a的結(jié)要相當(dāng)好。 1a的結(jié)果稍微差一些， 考慮到在應(yīng)用近似模型時(shí)，表達(dá)式的推導(dǎo)和有關(guān)計(jì)算工作量都將明顯地減少，因此在某些情況下，這樣的做法還是合適的。 加速度絕對(duì)值的最大值從表8.2立即得到。 無(wú)論用哪種模型，均在0 )/(6.22

13、084 212 smmaaa 20 至于加速度絕對(duì)值的最小值，顯然是加速度的零點(diǎn)。 從表上看出：零點(diǎn)在124 125、之間。 運(yùn)用方程求根的數(shù)值方法，例如Newton法，對(duì)于加速度的三種表達(dá)式，分別可以得出0,407.02772.1 a時(shí) 0,407.02773.1 2 a時(shí) 0,409.02862.1 1 a時(shí) 因此在求加速度（絕對(duì)值）的最值時(shí)，近似模型也是十分有效的。 21 我們有由擺角的精確模型導(dǎo)出的表達(dá)式（8.11）和由近似模型導(dǎo)出的表達(dá)式（8.23）、（8.24），同樣可以計(jì)算角加速度在各離散點(diǎn)的值。 擺角的角加速度和其最值2 2 2 232 2 2 2 2sin ( ) (8.11)( sin )d r l rdt l r 2 212 sin 8.23d rdt l （）2 32 322 3sin (sin sin2 cos ) 8.242d r rdt l l （）近似模型的誤差仍然是不大的，請(qǐng)讀者自行計(jì)算。 無(wú)論采用哪個(gè)表達(dá)式都在0和達(dá)到最小值0；2 達(dá)到最大值： 而且都在 22 32.223max22 dtd 55.210,25.222 max2 12max2 22 dtddtd 在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中我們看到了采用近似模型的可行性。 23 8.6 實(shí)驗(yàn)任務(wù)119 1,3P