2022-2023學(xué)年安徽省合肥市高二年級下冊學(xué)期期中檢測 數(shù)學(xué)【含答案】

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1、2022-2023學(xué)年第二學(xué)期高二年級期中檢測 數(shù)學(xué)試卷 注意事項(xiàng): 1.本試卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘. 2.請考生將答案寫在答題卷上,寫在試卷上無效. 3.請考生在答題卷規(guī)定的位置寫班級,姓名和考號,交卷時(shí)只交答題卷,試卷無須上交. 一?單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合題目要求) 1. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由題意利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程即可. 【詳解】由題意可得:,則曲線的斜率為, 切線方程為:,即. 本題選擇A選項(xiàng). 【點(diǎn)睛】導(dǎo)

2、數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題 一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號,防止與乘法公式混淆. 二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì),直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),直線不一定是曲線的切線,同樣,直線是曲線的切線,則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn). 三是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分清函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式.由外向內(nèi)逐層求導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)為兩層導(dǎo)數(shù)之積. 2. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為,則的第5項(xiàng)是 A. 13 B. C. D. 15 【答案】B 【解析】 【詳解】分析:把n=5代入,即得的第5項(xiàng). 詳解:當(dāng)n=5時(shí),=-13.故選B. 點(diǎn)睛:求數(shù)列的某一項(xiàng),只要把n的值代入數(shù)列的通項(xiàng)

3、即得該項(xiàng). 3. 函數(shù)有極值的充要條件是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【詳解】因?yàn)?,所以,即,?yīng)選答案C. 4. 若函數(shù)在處取得極值,則() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由題設(shè)可得,從而可求,注意檢驗(yàn). 【詳解】因?yàn)椋裕? 又函數(shù)在處取得極值, 所以,即. 此時(shí), 當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí),, 故是極大值點(diǎn),故符合題意. 故選:D. 5. 《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有這樣一道題目:把個(gè)面包分給個(gè)人,使每個(gè)人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的是較小的兩份之和

4、,則最小的一份為() A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為,設(shè)公差為,可得,,求出,根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,得到關(guān)于關(guān)系式,即可求出結(jié)論. 【詳解】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為,設(shè)公差為, 依題意可得,, , ,解得, . 故選:A. 【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景,考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和、通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算,等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題. 6. 若數(shù)列滿足,,則的值為 A. 2 B. -3 C. D. 【答案】B 【解析】 【詳解】,,所以 故數(shù)列是以4 為周期的周期數(shù)列,故 故

5、選B. 7. 已知數(shù)列前項(xiàng)和,則的通項(xiàng)公式() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令,解得,當(dāng)時(shí),,得數(shù)列的遞推公式,根據(jù)等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,即可得到所求. 【詳解】令,則,解得, 當(dāng)時(shí),, 則,即,, 所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列, 所以. 故選:C. 8. 中國明代商人程大位對文學(xué)和數(shù)學(xué)也頗感興趣,他于60歲時(shí)完成杰作直指算法統(tǒng)宗,這是一本風(fēng)行東亞的數(shù)學(xué)名著,該書第五卷有問題云:“今有白米一百八十石,令三人從上及和減率分之,只云甲多丙米三十六石,問:各該若干?”翻譯成現(xiàn)代文就是:“今有百米一百八十石,甲乙丙三個(gè)人來分,他

6、們分得的米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少米?”請你計(jì)算甲應(yīng)該分得   A. 78石 B. 76石 C. 75石 D. 74石 【答案】A 【解析】 【分析】由只知道甲比丙多分三十六石,求出公差,再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的,能求出甲應(yīng)該分得78石,得到答案. 【詳解】由題意,今有百米一百八十石,甲乙丙三個(gè)人來分,他們分得的米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列, 只知道甲比丙多分三十六石,所以, 所以,解得石. 甲應(yīng)該分得78石. 故選A. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和基本量的運(yùn)算,其中解答中熟記等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和,準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重

7、考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題. 二?多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的不得分) 9. 如圖是導(dǎo)數(shù)的圖象,下列說法正確的是() A. 為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 B. 為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間 C. 函數(shù)在處取得極大值 D. 函數(shù)在處取得極小值 【答案】AB 【解析】 【分析】根據(jù)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系及極值的定義一一判定即可. 【詳解】對于A、B選項(xiàng),由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知上導(dǎo)函數(shù)為正,上導(dǎo)函數(shù)為負(fù),故A、B正確; 對于C、D選項(xiàng),由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知處導(dǎo)函數(shù)不為零,在處導(dǎo)函

8、數(shù)為零,其左側(cè)導(dǎo)函數(shù)為正號,右側(cè)導(dǎo)函數(shù)為負(fù)號,故處應(yīng)取得極大值,故C、D選項(xiàng)錯(cuò)誤. 故選:AB 10. (多選)等差數(shù)列是遞增數(shù)列,且,前項(xiàng)和為,則() A. B. C. 當(dāng)時(shí),最小 D. 當(dāng)時(shí),的最小值為8 【答案】AD 【解析】 【分析】先求得,結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性判斷AB選項(xiàng)的正確性,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次不等式判斷CD選項(xiàng)的正確性. 【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為, 由,可得,即. 又由等差數(shù)列是遞增數(shù)列, 可知,則,故A正確,B錯(cuò)誤; 因?yàn)椋? 由,可知當(dāng)或時(shí)最小,故C錯(cuò)誤; 令,解得(舍去)或, 即時(shí)的最小值為8,故D正確. 故選:AD. 11.

9、若函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)可能取值為   A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】 數(shù)形結(jié)合考查兩個(gè)函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),因?yàn)閮珊瘮?shù)圖象都過原點(diǎn),則求函數(shù)過原點(diǎn)的切線. 【詳解】解:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為; 所以過原點(diǎn)的切線的斜率為; 則過原點(diǎn)的切線的方程為:; 所以當(dāng)時(shí),函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn); 故選:BCD 【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想,考查函數(shù)零點(diǎn),函數(shù)的切線的求法;屬于基礎(chǔ)題. 12. 已知函數(shù),則以下結(jié)論正確的是() A. 在上單調(diào)遞增 B. C. 方程有實(shí)數(shù)解 D. 存在實(shí)數(shù),使得方程有4個(gè)實(shí)數(shù)解 【答案

10、】BCD 【解析】 【分析】對于A項(xiàng),利用導(dǎo)函數(shù)計(jì)算即可判定,對于B項(xiàng),通過求導(dǎo)判定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,再比較自變量即可;對于C項(xiàng),求導(dǎo)判定函數(shù)的極值再數(shù)形結(jié)合即可判定,對于D項(xiàng),分類討論,分離參數(shù)求導(dǎo)函數(shù)及數(shù)形結(jié)合即可判定. 【詳解】由, 顯然當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞增,故A錯(cuò)誤; 對于B項(xiàng),易知,由在上單調(diào)遞增可知B正確; 對于C項(xiàng),由上知處取得極小值,而,故C正確,如圖所示; 對于D項(xiàng),,即,當(dāng),顯然成立,即是其一根,當(dāng)時(shí),原方程等價(jià)于,令, 令,解得,即在上單調(diào)遞減, 令,解得或時(shí),即在和上單調(diào)遞增,故在處取得極大值,在處取得極小值,, 又時(shí),

11、,可得的大致圖象,如圖所示, 當(dāng)時(shí),有三個(gè)不同的根,且均不為零,綜上所述D正確; 故選:BCD 三?填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在題中的橫線上) 13. 已知,若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由等差中項(xiàng)即可求解. 【詳解】由等差中項(xiàng)可得,所以, 故答案為:5 14. 函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,則_____,____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 由題得,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得,解方程組即得解. 【詳解】由題得,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得, 即,, 所以. 故答案為:

12、(1). (2). 【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題. 15. 已知數(shù)列為等差數(shù)列,為數(shù)列的前項(xiàng)和,若,,則的取值范圍是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列不等式組,將表示為的線性和的形式,由此求得的取值范圍. 【詳解】依題意,設(shè), 由解得 ,兩式相加得,即的取值范圍是. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式,考查取值范圍的求法,屬于中檔題. 16. 若函數(shù)f(x)=x3﹣3x在區(qū)間(a,6﹣a2)上有最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______ 【答案

13、】 【解析】 【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),因?yàn)楹瘮?shù) f(x)在區(qū)間(a,6﹣a2)上有最小值,所以f′(x)先小于0然后再大于0,所以結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得:a<1<5﹣a2,進(jìn)而求出正確的答案. 【詳解】由題意可得:函數(shù) f(x)=x3﹣3x, 所以f′(x)=3x2﹣3. 令f′(x)=3x2﹣3=0可得,x=±1; 在上遞增,在(-1,1)上遞減,在(1,+)上遞增, 因?yàn)楹瘮?shù) f(x)在區(qū)間(a,6﹣a2)上有最小值,則其最小值必為f(1), 1(a,6﹣a2)即a<1<6﹣a2, 又結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得:f(a)=a3﹣3a≥f(1)=﹣2,且6﹣a2﹣a>0,

14、 聯(lián)立解得:﹣2≤a<1. 故答案為[﹣2,1). 【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的最值的問題,屬于中檔題. 四?解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟) 17. 已知函數(shù)在處取得極值. (1)討論和是函數(shù)的極大值還是極小值; (2)過點(diǎn)作曲線的切線,求此切線方程. 【答案】(1)是極大值,是極小值;(2); 【解析】 【詳解】試題分析:(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由函數(shù)在處取得極值,則得到關(guān)于的方程組,求出,可以得到函數(shù)的解析式,再去判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而得出函數(shù)的極大值與極小值;(2)點(diǎn)不在曲線上,先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),然后寫出切線

15、的方程,再根據(jù)點(diǎn)在切線上,得到關(guān)于的方程,求出,從而得出切點(diǎn)坐標(biāo)和切線方程; 試題解析:(1),依題意得,,即 解得.,. 令,得.若,則,故 在上是增函數(shù),在上是增函數(shù).若,則,故在上是減函數(shù).是極大值;是極小值. (2)曲線方程為.點(diǎn)不在曲線上. 設(shè)切點(diǎn)為,則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足.,故切線的方程為.注意到點(diǎn)在切線上,有 化簡得,解得,因此切點(diǎn)為,切線方程為. 考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用; 18. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式 (2)若數(shù)列是等差數(shù)列,且,,求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】(1);(2) 【解析】 【分析】(1)當(dāng)時(shí),求得,當(dāng)時(shí),遞推作差得,即,得到

16、數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)由(1)求得,得到,利用分組求和,即可求解. 【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,所以, 當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以? 兩式作差得,即,因?yàn)椋? 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列, 故; (2)令,則,, 所以數(shù)列的公差,故, 所以, 所以. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,以及數(shù)列的“分組求和”的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系,求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,再利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題. 19. 一杯80℃的熱紅茶置于20℃的房間里,它

17、的溫度會逐漸下降,溫度T(單位:℃)與時(shí)間t(單位:min)之間的關(guān)系由函數(shù)給出. (1)判斷的正負(fù),并說明理由. (2)的實(shí)際意義是什么?如果,你能畫出函數(shù)在時(shí)圖象的大致形狀嗎? 【答案】(1)負(fù)(2)第三分鐘的水溫,平均每分鐘下降 【解析】 【分析】(1)利用導(dǎo)函數(shù)的意義解釋即可. (2)根據(jù)圖像過,即可畫出大致圖象. 【詳解】(1)因?yàn)榈囊饬x為在附近函數(shù)值的瞬時(shí)變化率,熱紅茶的溫度隨時(shí)間的增加而減小,故,的符號為負(fù). (2)的實(shí)際意義表示在第三分鐘附近紅茶的溫度約以每分鐘速率下降.函數(shù)的圖象過,,大致圖象如下: 20. 已知數(shù)列滿足,. (1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,

18、并求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)令,求數(shù)列前項(xiàng)和 【答案】(1)見解析(2) 【解析】 【分析】(1)將式子合理變形,即可化成,從而證明是以首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,并利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)公式. (2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式是由等比數(shù)列與等差數(shù)列通項(xiàng)公式乘積得到,即可判斷其可運(yùn)用錯(cuò)位相減法求解前n項(xiàng)和. 【詳解】(Ⅰ)證明:由題意可得:,則,又 故是以首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列, 所以,故 (2)由(1)知 【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的證明,以及錯(cuò)位相減法的運(yùn)用,屬于中檔題.對于等比數(shù)列的證明主要有兩種方法:(1)定義法,證得即可,其中為常數(shù);(2

19、)等比中項(xiàng)法:證得即可. 21. 正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足: (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)令,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:對于任意的n∈N*,都有Tn< . 【答案】(1)(2)見解析 【解析】 【詳解】(1)因?yàn)閿?shù)列前項(xiàng)和滿足:, 所以當(dāng)時(shí),, 即 解得或, 因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng), 所以, 因?yàn)椋? 所以, 解得或, 因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng), 所以, 當(dāng)時(shí),有, 所以, 解得, 當(dāng)時(shí),,符合 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式,; (2)因?yàn)椋? 所以 , 所以數(shù)列的前項(xiàng)和為: , 當(dāng)時(shí), 有, 所以, 所以對于任意,數(shù)列的前項(xiàng)和.

20、 22. 已知函數(shù) (1)求的單調(diào)區(qū)間和極值; (2)若對任意,成立,求實(shí)數(shù)m的最大值. 【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是,極小值,無極大值 (2)4 【解析】 【分析】(1)求導(dǎo),再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再根據(jù)極值的定義即可求出極值; (2)對任意,成立,即恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可得解. 【小問1詳解】 由,得, 令,得;令,得, ∴的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是, 故在處有極小值,無極大值; 【小問2詳解】 由及,得恒成立, 令,則, 由,由, 所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù), 所以, 因此,所以m的最大值是4.

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