《2022-2023學(xué)年安徽省蕪湖市高一自主招生考試數(shù)學(xué)試題【含答案】》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022-2023學(xué)年安徽省蕪湖市高一自主招生考試數(shù)學(xué)試題【含答案】(17頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 2022年高一自主招生考試
數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題(本大題共7小題,每小題6分,共42分,每小題只有一個選項正確,把正確的選項填在答題卡答題欄中)
1. 方程的實數(shù)根的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用絕對值的意義,分為或兩種情況,結(jié)合一元二次方程的解法求解即可.
【詳解】當時,方程可化為,解得:;
當時,方程可化為,解得:(不合題意舍去),,
方程有3個實數(shù)根.
故選:C.
2. 依次將正整數(shù)1,2,3,…的平方數(shù)排成一串:149162536496481100121144…,排在第1個位置的數(shù)字是1,排在第5
2、個位置的數(shù)字是6,排在第10個位置的數(shù)字是4,排在第898個位置的數(shù)字是( )
A. 1 B. 4 C. 5 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】先分別找到占1個,2個,3個,4個,5個數(shù)位的平方數(shù)的個數(shù),從而得出第898個位置的數(shù)字是的個位數(shù)字,求解即可.
【詳解】到,結(jié)果都各占1個數(shù)位,共占1×3=3個數(shù)位;
到,結(jié)果都各占2個數(shù)位,共占2×6=12個數(shù)位;
到,結(jié)果都各占3個數(shù)位,共占3×22=66個數(shù)位;
到,結(jié)果都各占4個數(shù)位,共占4×68=272個數(shù)位;
到,結(jié)果都各占5個數(shù)位,共占5×109=545個數(shù)位;
此時3+12+66+272+545=898
3、,而,
所以,排在第898個位置的數(shù)字恰好應(yīng)該是的個位數(shù)字,即為4.
故選:B.
3. 設(shè)拋物線與軸的兩個交點的坐標為和,則( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依題意、為方程的兩根,即可得到,,,再代入計算可得.
【詳解】依題意、為方程的兩根,
所以,,,
所以,,
所以
.
故選:A
4. 若直角坐標系內(nèi)兩點M、N滿足條件①M、N都在函數(shù)y的圖象上②M、N關(guān)于原點對稱,則稱點對是函數(shù)y的一個“共生點對”(點對與看作同一個”共生點對”),已知函數(shù),則函數(shù)y的“共生點對”有( )個
A. 0 B. 1 C. 2 D.
4、 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)“共生點對”的概念知,函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)即為函數(shù)y的“共生點對”個數(shù),結(jié)合函數(shù)圖象分析即可.
【詳解】根據(jù)“共生點對”的概念知,作出函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的圖象與函數(shù)的圖象如下圖所示:
由圖可知它們的交點有兩個,所以函數(shù)y的“共生點對”有2對.
故選:C.
5. 如圖,E,F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點,滿足,連接CF交BD于點G.連接BE交AG于點H.若正方形的邊長為4,則線段DH長度的最小值是( )
A. B. C. 3 D. 3.5
【答案】A
【解析】
【分析】
5、根據(jù)條件可證明△ABE和△DCF全等,△ADG和△CDG全等,從而得到∠1=∠3,然后求出AHB=90°,取AB的中點O,可得OH=AB=2,利用勾股定理列式求出OD,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當O、D、H三點共線時,DH的長度最小.
【詳解】
在正方形ABCD中,,,
在和中,,
≌,,
在和中,,
≌,,,
,,
,
取AB的中點,連接OH,OD,則,
在Rt中,,
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,,
當O、D、H三點共線時,DH的長度最小,最小值為.
故選:A.
6. 如圖,一個邊長分別是6,8,10的直角三角形的一個頂點與正方形的點A重合,另兩個頂點在正方形的兩
6、邊BC,CD上,則正方形的面積是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可以證明△AEF是直角三角形,利用正方形的性質(zhì)可以證明△FEC∽△EAB,然后利用相似三角形的性質(zhì)可以得到CE∶BA=3∶4,設(shè)CE=3x,則EB=x,在△EAB中,根據(jù)勾股定理可求出,即可求出正方形的面積.
【詳解】∵△AEF的三邊為6,8,10,而,
∴△AEF為直角三角形,∠AEF=90°,∴∠FEC+∠AEB=90°,
而四邊形ABCD為正方形,∠B=90°,∴∠EAB+∠AEB=90°,
∴∠FEC=∠EAB,又∠B=∠C=90°,∴△
7、FEC∽△EAB,
∴CE∶BA=EF∶AE=3∶4.
設(shè)CE=3x,則BA=4x,∴EB=x,
∵三角形EBA為直角三角形,
∴,∴,∴,
∴正方形的面積.
故選:D.
7. 如圖,O是正方形ABCD對角線AC上一點,OE⊥OD,∠OED=45°,E在AB上,結(jié)論:①∠;②;③;④若,則,其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由題意△DOE是等腰直角三角形,根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理,可判斷①;根據(jù)∠AOD=∠AEF,∠EAF=∠OAD=45°,證明△AOD∽△AEF,可判斷②;根據(jù)∠AE
8、O=∠EFO,∠AOE=∠EOF,證明△AEO∽△EFO,可判斷③;利用勾股定理得出DE的長,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可判斷④.
【詳解】∵OE⊥OD,∴∠DOE=90°,∵∠OED=45°,
∴△DOE是等腰直角三角形,OD=OE,∠ODE=45°.
∵∠EAD=90°,∠AED+∠ADE=90°,∴∠AED=90°-∠ADE,
∵∠AOD+∠DAO+∠ADO=180°,∴∠AOD+45°+45°+∠ADE=180°,
∴∠AOD=90°-∠ADE,
所以∠AOD=∠AED,故①正確;
∵∠AOD=∠AEF,∠EAF=∠OAD=45°,
∴△AOD∽△AEF,∴AD∶OD
9、=AF∶EF,故②正確;
∵∠AEO=∠AED+∠DEO=∠AED+45°,∠EFO=∠AOD+∠EDO=∠AOD+45°,
又∠AOD=∠AED,∴∠AEO=∠EFO,
又∠AOE=∠EOF,∴△AEO∽△EFO,
∴,即,故③正確;
∵AB=AD=6,BE=4,∴AE=2,∴,
∵△DOE是等腰直角三角形,∴OE=OD=,故④正確.
故正確結(jié)論個數(shù)為4.
故選:D.
二、填空題(本大題共7小題,每小題7分,共49分)
8. ___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)立方差公式與根式的性質(zhì)可求出結(jié)果.
【詳解】
.
故答案為:
10、
9. 若有四個不同的正整數(shù)a,b,c,d,滿足,則___________.
【答案】8087或8089
【解析】
【分析】根據(jù)a、b、c、d是四個不同的正整數(shù),可知四個括號內(nèi)的值分別是:1,-1,-2,3或1,-1,2,-3,據(jù)此可得出結(jié)論.
【詳解】∵a、b、c、d是四個不同的正整數(shù),
∴四個括號內(nèi)的值分別是:1,-1,-2,3或1,-1,2,-3.
四個括號內(nèi)的值分別是:1,-1,-2,3時,
不妨令
∴,
∴;
四個括號內(nèi)的值分別是:1,-1,2,-3時,
不妨令,
∴,
∴.
故答案為:8087或8089.
10 已知實數(shù)且滿足,則______.
【答
11、案】
【解析】
【分析】由題意可得是方程的兩個實數(shù)根,由利用韋達定理可得答案.
【詳解】因為實數(shù)且滿足,
所以是方程即的兩個實數(shù)根,
可得,,所以, ,
所以,
故答案為:.
11. 如圖,,,點M從點B出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在BA上向點A運動,點N同時從點A出發(fā)向點C運動,其速度是每秒2個單位長度,當一點到達終點時,另一點也停止運動.當t為___________秒時,△MNA為等腰三角形.
【答案】或或.
【解析】
【分析】根據(jù)題意,分、和,三種情況分類討論,結(jié)合三角形全等和相似,列出關(guān)系式,即可求解.
【詳解】解:由題可知,
如圖(1)所示,當時,,
12、解得;
如圖(2)所示,當時,過點作于點,
則,
因為,所以,所以,
所以,即,解得;
如圖(3)所示,當時,過點作于點,
則,
因為,所以,所以,
即,解得.
綜上可得,當?shù)闹禐榛蛎朊牖蛎霑r,能成為等腰三角形.
故答案為:或或.
12. 如圖,點P為函數(shù)的圖象上一點,且到兩坐標軸距離相等,半徑為,,點是上的動點,點是的中點,則的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè),求得,連接交于點,連接,取的中點,
連接,此時最小,結(jié)合,即可求解.
【詳解】因為點為函數(shù)的圖象上一點,且到兩坐標軸距離相等,
所以可設(shè)
13、,則,解得或(舍去),即點,
即圓的方程為,
如圖所示,連接交于點,連接,取的中點,
連接,此時最小,
因為,點是的中點,
所以,所以,
當點運動到時,最小,
又因為的半徑為,所以的最小值為.
故答案為:.
13. 如圖,在△ABC中,,以AB為直徑的圓交BC于點D,連接AD,點P是AD上一點,過點C作,延長BP交AC于E,交CF于F,若則___________.
【答案】6
【解析】
【分析】作出輔助線,利用全等和相似關(guān)系得到方程,求出答案.
【詳解】因AB為直徑,所以,
因為,所以,
延長交的延長線于點,
則,
因為,所以,
故≌
14、,所以,
因為,設(shè),
則由∽可得,,
由∽可得,,
又,故,解得,故.
故答案為:6
14. 設(shè)自然數(shù),且,則________.
【答案】16
【解析】
【分析】依題意可得,即可得到,從而得解.
【詳解】因為,即,
即,所以,
即,所以關(guān)于的方程有正整數(shù)解,
所以,
其中,解得,
所以,
又,因為、為自然數(shù)且,
所以,解得,經(jīng)檢驗符合題意,
所以.
故答案為:
三、解答題(本大題共4小題,共59分,解答應(yīng)寫出必要的文字說明,演算或推演步驟)
15. (1)解方程;
(2)對于函數(shù),若存在實數(shù)x0,使成立,則稱x0為的固定點.
①當時,求的固定點;
15、
②若對于任意實數(shù)b,函數(shù)恒有兩個不相同的固定點,求a的取值范圍.
【答案】(1);(2)①-1和3;②.
【解析】
【分析】(1)設(shè),則原方程變?yōu)?,化簡整理得,求得的值,進而得原方程的解;
(2)①把的值代入方程,解方程即可得的不動點;
②根據(jù)方程有兩解可得對b為任意實數(shù)恒成立,將其看成關(guān)于的二次函數(shù),根據(jù)即可得結(jié)果.
【詳解】(1)設(shè),則原方程變?yōu)椋?
∴,得,
化簡整理得,即,
∵ ∴ ∴,
當時,,
當時,,
∴原方程的解是.
(2)①當時,,
由,得,即,解得:或3,
故-1和3是的固定點;
②由題意,對于任意實數(shù)b,方程即總有兩個不相等的實數(shù)解
16、,
∴,
∴對b為任意實數(shù)恒成立.
則,
∴,∴.
16. 某校開展研學(xué)旅行活動,決定租幾輛客車,要求每輛車乘坐相同的人數(shù),每輛車至多乘坐32人.如果租22座的客車,就有一人沒座位,如果租截客量大于22的客車可以比原來少租一輛,而且所有師生剛好平均分乘這些客車上,問原來租幾輛客車,師生共有多少人?
【答案】原來租24輛客車,師生共有529人.
【解析】
【分析】設(shè)原來租輛客車,實際租用的客車每輛車坐人,由題意得,且,從而得到,即可得到或,求出的值,即可得解.
【詳解】設(shè)原來租輛客車,實際租用的客車每輛車坐人,
由題意得:,且,
所以,
因為是正整數(shù),所以必須是正整數(shù),于
17、是或,
當,即時,32,不合題意,舍去.
當,即時,,符合題意,此時,
所以原來租輛客車,師生共有人.
17. 如圖,在矩形ABCD中,DE平分∠ADC時,將△ABE沿AE折疊至△AFE,點F恰好落在DE上.
(1)求證:
(2)如圖,延長CF交AE于點G,交AB于點H.
①求證:;
②求的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)①證明見解析;②.
【解析】
【分析】(1)利用矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可得AF=DC,從而可證△AFD≌△DCE,得出結(jié)論;
(2)①利用等腰三角形兩個底角相等,通過計算角度,可證明△AHG∽△CFE,由相似三角形的性質(zhì)得,從而
18、解決問題;
②利用等腰直角三角形的性質(zhì)表示出EM,可得BM,CM的長,再利用△AHG∽△CFE,由相似三角形的性質(zhì)得,求出GH即可得解.
【小問1詳解】
∵四邊形ABCD矩形,
∴,
∵ED平分∠ADC,∴,∴.
∵將△ABE沿AE折疊至△AFE,∴△ABE≌△AFE,
∴,∴,
在△AFD與△DCE中,,∴△AFD≌△DCE,
∴.
【小問2詳解】
①∵△AFD≌△DCE,∴,
∴,∴∠.
∵,∴,,
∴,
∵,
∴,
∴△AHG∽△CFE,∴,
∵,
∴.
②過點F作于M,如圖,
設(shè),∴,
∴,
∵,∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
19、∴,∴,
∴a,∴,
在Rt△BCH中,,
∴,
∵△AHG∽△CFE,∴,
∴,
∵,∴.
18. 已知如圖在Rt△OAB中,.若以O(shè)為坐標原點,OA所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,點B在第一象限內(nèi).將Rt△OAB沿OB折疊后,點A落在第一象限內(nèi)的點C處.
(1)求點C的坐標;
(2)若拋物線經(jīng)過C、A兩點,求此拋物線的解析式;
(3)若拋物線對稱軸與OB交于點D,點P為線段DB上一點,過P作y軸的平行線,交拋物線于點M.問:是否存在點P,使得?若存在,請求出此時點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)
20、存在,P點的坐為
【解析】
【分析】(1)先求出OA的長度,根據(jù)折疊的性質(zhì)求出OC,直接求解坐標即可;
(2)將點A和C的坐標代入拋物線的解析式中,聯(lián)立方程組求解即可;
(3)先表示點P的坐標,從而表示點M坐標,利用建立方程求解,即可得到點P的坐標.
【小問1詳解】
如圖:
過點C作軸,垂足為H,因為在Rt△OAB中,,,
所以,由折疊知,,所以,
則,,所以C點坐標為;
【小問2詳解】
因為拋物線經(jīng)過、兩點,
所以,解得,
所以此拋物線的解析式為;
【小問3詳解】
存在.因為x頂點坐標為,即為點C,
由題意軸,設(shè)垂足為N,,因為,所以,
所以,如圖:
作,垂足為Q,,垂足為E,
把代入得:,
所以,
同理:,要使,只需,
即,解得:(舍去),
所以P點坐標為,
所以存在滿足條件的點P,使,此時P點的坐標為.