2021年北京市門頭溝區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷 【含答案】

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1、2021年北京市門頭溝區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。 1．（4分）復(fù)數(shù)z＝i（1﹣i）的模|z|＝（　?。? A． B．2 C．1 D．4 【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解． 【解答】解：∵z＝i（1﹣i）＝1+i， ∴|z|＝． 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題． 2．（4分）集合A＝{x|x＞0}，B＝{x||x|≤2}，則A∩B＝（　?。? A．R B．[﹣2，+∞） C．（0，2] D．

2、（0，+∞） 【分析】求出集合B，利用交集定義能求出A∩B． 【解答】解：∵集合A＝{x|x＞0}，B＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}， ∴A∩B＝{x|0＜x≤2}＝（0，2]． 故選：C． 【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題． 3．（4分）二項(xiàng)式（x2﹣）5展開式中，x4的系數(shù)是（　?。? A．﹣40 B．10 C．40 D．﹣10 【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)． 【解答】解：由通項(xiàng)公式得：Tr+1＝?（﹣2）r?x10﹣3r，令10﹣3r＝4

3、，求得r＝2， 可得含有x4的系數(shù)是， 故選：C． 【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題． 4．（4分）某四棱錐的三視圖如圖所示，則此四棱錐最長的棱長為（　　） A．2 B． C．4 D． 【分析】畫出直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化求解即可． 【解答】解：根據(jù)直觀圖不難得出， PC是最長的棱長，長度為：． 故選：D． 【點(diǎn)評】本題考查三視圖求解幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)，最長棱長的求法，是基礎(chǔ)題． 5．（4分）數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1＝﹣2an，數(shù)列{bn}滿足bn＝|an|，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝（　?。? A． B． C

4、．2n﹣1 D．（﹣2）n﹣1 【分析】由題設(shè)得到數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，即可求得其前n項(xiàng)和． 【解答】解：由題設(shè)可知：b1＝|a1|＝1，＝＝2， ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列， ∴， 故選：C． 【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的定義及基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題． 6．（4分）京西某游樂園的摩天輪采用了國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁結(jié)構(gòu)，風(fēng)格更加簡約，摩天輪直徑88米，最高點(diǎn)A距離地面100米，勻速運(yùn)行一圈的時(shí)間是18分鐘．由于受到周邊建筑物的影響，乘客與地面的距離超過34米時(shí)，可視為最佳觀賞位置，在運(yùn)行的一圈里最佳觀賞時(shí)長為（　?。? A．10分鐘 B．1

5、2分鐘 C．14分鐘 D．16分鐘 【分析】解法一，求出轉(zhuǎn)動的角速度，利用直角三角形的邊角關(guān)系求出OC、∠BOC的值，計(jì)算最佳觀賞期的圓心角和運(yùn)行的一圈里最佳觀賞時(shí)長． 解法二，求出轉(zhuǎn)動的角速度，寫出點(diǎn)P到從最下端開始運(yùn)動，運(yùn)行中到地面距離解析式f（t），計(jì)算f（t）≥34時(shí)t的取值范圍，求出最佳觀賞期的時(shí)長． 【解答】解：如圖所示， 解法一，轉(zhuǎn)動的角速度為， 計(jì)算OC＝44﹣（34﹣12）＝22， 所以， 所以最佳觀賞期的圓心角為， 在運(yùn)行的一圈里最佳觀賞時(shí)長為（分鐘）． 解法二，轉(zhuǎn)動的角速度為， 所以點(diǎn)P到從最下端開始運(yùn)動，運(yùn)行中到地面距離為 f（t）＝44sin

6、（t﹣）+56（0≤t≤18）， 令f（t）≥34，得sin（t﹣）≥﹣， 解得﹣≤t﹣≤， 即3≤t≤15， 所以最佳觀賞期的時(shí)長為15﹣3＝12（分鐘）． 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題． 7．（4分）“l(fā)n（x+1）＜0”的一個(gè)必要而不充分條件是（　　） A．﹣1＜x＜ B．x＞0 C．﹣1＜x＜0 D．x＜0 【分析】直接利用對數(shù)的運(yùn)算，不等式的解法，集合間的關(guān)系，充分條件和必要條件的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論． 【解答】解：設(shè)ln（x+1）＜0， 整理得ln（x+1）＜ln1， 解得：M＝{x|﹣

7、1＜x＜0}， 它的必要條件的集合為N，則M是N的真子集． 故選：D． 【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算，不等式的解法，集合間的關(guān)系，充分條件和必要條件，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題． 8．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對稱．若，則cos（α﹣β）＝（　?。? A． B． C．1 D． 【分析】由任意角的三角函數(shù)知cosα＝cosβ，sinα＝﹣sinβ，再根據(jù)兩角差的余弦公式，即可得解． 【解答】解：由題意得，cosα＝cosβ，sinα＝﹣sinβ， ∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsin

8、β＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝． 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查兩角和差的余弦公式，同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 9．（4分）已知拋物線C：y2＝2px的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A為拋物線C上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線交x軸的正半軸于點(diǎn)B，且△ABF為正三角形，則p＝（　?。? A．1 B．2 C．9 D．18 【分析】畫出圖形，通過B在解得F的左側(cè)與右側(cè)，判斷三角形的形狀，轉(zhuǎn)化求解P即可． 【解答】解：由題意可知，當(dāng)B在焦點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)， ， 當(dāng)B在焦點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，同理可得P＝18，此時(shí)點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸，不合題意． 故選：B．

9、 【點(diǎn)評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，是中檔題． 10．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，從點(diǎn)P（﹣3，2）向直線kx﹣y﹣2﹣k＝0作垂線，垂足為M，則點(diǎn)Q（2，4）與點(diǎn)M的距離|MQ|的最小值是（　?。? A． B． C． D．17 【分析】根據(jù)直線kx﹣y﹣2﹣k＝0過定點(diǎn)N（1，﹣2），得到點(diǎn)M是在以PN為直徑的圓C：（x+1）2+y2＝8上，再把所求問題轉(zhuǎn)化即可求解結(jié)論． 【解答】解：直線kx﹣y﹣2﹣k＝0過定點(diǎn)N（1，﹣2）， ∵PM⊥MN， 可知點(diǎn)M是在以PN為直徑的圓C：（x+1）2+y2＝8上， 又， 可得：， 故選：A． 【點(diǎn)評】

10、本題主要考查直線方程過定點(diǎn)以及兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題． 二、填空題共5小題，每小題5分，滿分25分。 11．（5分）在△ABC中，∠B＝，AB＝1，BC＝2，則AC的長為　　． 【分析】利用余弦定理，即可求得AC的值． 【解答】解：△ABC中，∠B＝，AB＝1，BC＝2，如圖所示： 由余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB＝12+22﹣2×1×2×cos＝7， 解得． 故答案為：． 【點(diǎn)評】本題考查了利用余弦定理求三角形邊長的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題． 12．（5分）在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)M是該正方體表面及其內(nèi)部的一動

11、點(diǎn)，且BM∥平面AD1C，則動點(diǎn)M的軌跡所形成區(qū)域的面積是 　2　． 【分析】根據(jù)平面BA1C1∥平面ACD1，可得點(diǎn)M的軌跡是△A1C1B三角形及其內(nèi)部，然后利用正三角形的面積公式進(jìn)行求解即可． 【解答】解：因?yàn)槠矫鍮A1C1∥平面ACD1，點(diǎn)M是該正方體表面及其內(nèi)部的一動點(diǎn)，且BM∥平面AD1C， 所以點(diǎn)M的軌跡是△A1C1B三角形及其內(nèi)部， 所以△A1BC1的面積為． 故答案為：． 【點(diǎn)評】本題主要考查了面面平行的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題． 13．（5分）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P（，），下列條件中哪一

12、個(gè)條件能確定唯一雙曲線C，該條件的序號是　②?。粷M足該條件的雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是　x?。? 條件①：雙曲線C的離心率e＝2； 條件②：雙曲線C的漸近線方程為y＝； 條件③：雙曲線C的實(shí)軸長為2． 【分析】設(shè)雙曲線方程為或，然后根據(jù)各個(gè)條件逐個(gè)求解即可． 【解答】解：設(shè)雙曲線方程為或， 條件①：因?yàn)閑＝，且c2＝a2+b2， 又，解得或， 所以雙曲線方程為x或，故有兩條雙曲線； 條件②：因?yàn)閥＝x，則或， 又，解得a2＝1，b2＝3或無解，故只有一條雙曲線； 條件③：因?yàn)閷?shí)軸長為2，故2a＝2，所以a＝1， 又，所以b2＝1或b2＝3， 所以雙曲線方程為y2﹣x2＝1或x

13、，故有兩條雙曲線， 綜上，只有②能確定一條雙曲線，且雙曲線方程為x， 故答案為：． 【點(diǎn)評】本題考查了雙曲線的方程與性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題． 14．（5分）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，則ω的最小值為　1?。? 【分析】利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求解． 【解答】解：因?yàn)椋? 又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且， 可得：是它的一個(gè)稱中心， 所以，k∈Z， 因?yàn)棣兀?， 所以ω最小值為1． 故答案為：1． 【點(diǎn)評】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題． 15．（5

14、分）正△ABC的邊長為1，中心為O，過O的動直線l與邊AB，AC分別相交于點(diǎn)M、N，，，．給出下列四個(gè)結(jié)論： ①； ②若，則； ③不是定值，與直線l的位置有關(guān)； ④△AMN與△ABC的面積之比的最小值為． 其中所有正確結(jié)論的序號是 　①④?。? 【分析】通過向量的數(shù)乘運(yùn)算判斷①的正誤；向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則判斷②的正誤；通過向量共線推出λμ的關(guān)系．判斷③的正誤；求出△AMN與△ABC的面積之比，再利用均值不等式求出最小值，然后判斷④的正誤． 【解答】解：對于①，＝，可得①正確； 對于②，，＝ ＝＝＝，顯然②不正確； 對于③，， 又因?yàn)?，O，M，N三點(diǎn)共線 所以是定值，可得

15、③不正確 對于④，設(shè)， 由均值不等得， 由③得：， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，可得④正確． 故答案為：①④． 【點(diǎn)評】本題考查命題的真假的判斷，向量的數(shù)量積以及共線向量定理的應(yīng)用，是中檔題． 三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 16．（12分）第24屆冬季奧運(yùn)會將于2022年2月在北京和張家口舉辦，為了普及冬奧知識，京西某校組織全體學(xué)生進(jìn)行了冬奧知識答題比賽，從全校眾多學(xué)生中隨機(jī)選取了20名學(xué)生作為樣本，得到他們的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如表： 分?jǐn)?shù)段 [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90）

16、 [90，100] 人數(shù) 1 2 2 8 3 3 1 我們規(guī)定60分以下為不及格；60分及以上至70分以下為及格；70分及以上至80分以下為良好；80分及以上為優(yōu)秀． （Ⅰ）從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，恰好2名學(xué)生都是優(yōu)秀的概率是多少？ （Ⅱ）將上述樣本統(tǒng)計(jì)中的頻率視為概率，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，以X表示這2人中優(yōu)秀人數(shù)，求X的分布列與期望． 【分析】（Ⅰ）設(shè)恰好2名學(xué)生都是優(yōu)秀這一事件為A，利用古典概型概率求解即可． （Ⅱ）X可取0，1，2求出概率得到分布列，然后求解期望即可． 【解答】解：（Ⅰ）設(shè)恰好2名學(xué)生都是優(yōu)秀這一事件為A，…………………………

17、（1分） ．………………………………………………………………（2分） （Ⅱ）設(shè)每名同學(xué)為優(yōu)秀這一事件為B，由題意可得，……（2分） X可取0，1，2，………………………………………………………………（1分） ， ， ，……………（3分） X 0 1 2 P ……（1分） E（X）＝．………………………………………（2分） 【點(diǎn)評】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查分析問題解決問題以及計(jì)算能力，是中檔題． 17．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，AB＝PA，PA⊥底面ABCD，∠ABC＝，E是PC上任一點(diǎn)，AC∩

18、BD＝O． （Ⅰ）求證：平面EBD⊥平面PAC； （Ⅱ）若E是PC的中點(diǎn)，求ED與平面EBC所成角的正弦值． 【分析】（Ⅰ）證明PA⊥BD，BD⊥AC，推出BD⊥平面PAC，即可證明平面EBD⊥平面PAC． （Ⅱ）E是PC的中點(diǎn)，連結(jié)OE，OB，OC，OE兩兩垂直，建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面EBC的法向量，直線DE的方向向量，利用空間向量的數(shù)量積求解ED與平面EBC所成角的正弦值即可． 【解答】解：（Ⅰ）PA⊥平面ABCD?PA⊥BD，…………………………………（1分） 底面ABCD菱形，可得BD⊥AC，………………………………………（1分） 又PA∩AC＝A， 又PA

19、⊥BD，BD⊥AC， PA?平面PAC，AC?平面PAC，BD⊥平面PAC，…………………………………………（2分） BD?平面EBD，平面EBD⊥平面PAC．………（2分） （Ⅱ）若E是PC的中點(diǎn)，連結(jié)OE，則OE∥PA?OE⊥平面ABCD，……（1分） 所以，OB，OC，OE兩兩垂直，建立如圖所示的坐標(biāo)系，………（1分） 不妨設(shè)AB＝2，則…（2分） 設(shè)平面EBC的法向量為＝（x，y，z），， 取x＝1，則y＝z＝，所以，＝（1，，）， 直線DE的方向向量為＝（，0，1）， cos＝＝． ED與平面EBC所成角的正弦值為：． 【點(diǎn)評】本題考查直線與平面垂直的判斷定

20、理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，是中檔題． 18．（13分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，滿足b2＝12，b5＝30．再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求解下列問題： （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an和它的前n項(xiàng)和Sn； （Ⅱ）若對任意n∈N*不等式kSn≥bn恒成立，求k的取值范圍． 條件①an2+an＝2Sn； 條件②a1＝9，當(dāng)n≥2，a2＝2，an+1＝an+2． 【分析】選擇①，（Ⅰ）由數(shù)列的遞推式，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式，可得所求；（Ⅱ）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和參數(shù)分離，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求得最

21、值，可得所求范圍； 選擇②，（Ⅰ）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，可得所求；（Ⅱ）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和參數(shù)分離，結(jié)合基本不等式求得最值，可得所求范圍． 【解答】選擇①an2+an＝2Sn． 解：（Ⅰ）得：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1， 當(dāng)n≥2時(shí)，（1），（2）， 兩式相減得：， 而an＞0，可得：an﹣an﹣1＝1，數(shù)列{an}為等差數(shù)列， 所以，an＝1+（n﹣1）×1＝n， ； （Ⅱ）設(shè)bn＝b1+（n﹣1）d，b2＝12，b5＝30，即b1+d＝12，b1+4d＝30， 解得b1＝6，d＝6， 所以，bn＝6n， 由kSn≥bn得：， 設(shè)，則{cn}是遞減數(shù)列，

22、 所以，當(dāng)，cn達(dá)到最大， 所以，k的取值范圍為[6，+∞）， 選擇②a1＝9，當(dāng)n≥2，a2＝2，an+1＝an+2． 解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2，an+1＝an+2?an+1﹣an＝2， 當(dāng)n≥2，an＝a2+（n﹣2）×2?an＝2n﹣2， 所以，， ， （Ⅱ）設(shè)bn＝b1+（n﹣1）d，b2＝12，b5＝30，代入得：bn＝6n， 由kSn≥bn得：， 設(shè)， 當(dāng)且僅當(dāng)n＝3時(shí)，上式取得等號， 所以， 綜上所述，k的取值范圍是． 【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，以及數(shù)列不等式恒成立問題解法，考查方程思想和化簡運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題． 19

23、．（15分）曲線C上任一點(diǎn)M（x，y）到點(diǎn)F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）距離之和為，點(diǎn)P（x0，y0）是曲線C上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P且與直線x0x+2y0y﹣2＝0垂直，直線l與x軸交于點(diǎn)Q． （Ⅰ）求曲線C的方程及點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用點(diǎn)P（x0，y0）的坐標(biāo)表示）； （Ⅱ）比較與的大小，并證明你的結(jié)論． 【分析】（Ⅰ）由題意可知結(jié)合橢圓的定義，求出a，b，得到橢圓方程．通過P的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化求解Q的坐標(biāo)即可． （Ⅱ）點(diǎn)P（x0，y0）滿足方程：，通過，結(jié)合化簡求解推出兩個(gè)比值相等． 【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，c＝1，，所以b＝1，……（2分） 曲線C的方程為

24、：，……………………………………………（2分） 當(dāng)y0＝0時(shí)，直線l與x軸重合，不合題意， 當(dāng)x0＝0時(shí)，直線l與y軸重合，點(diǎn)Q是原點(diǎn)，Q（0，0），………………………（1分） 當(dāng)x0≠0，y0≠0時(shí)，由題意得：，直線l的方程：2y0x﹣x0y﹣x0y0＝0，…（2分） 得，……………………………………………………………………（1分） 綜上所述，點(diǎn)．…………………………………………………………（1分） （Ⅱ）點(diǎn)P（x0，y0）滿足方程：，……………（1分） ，………………………………………………（1分） 將代入整理得：，………（2分），……………………………………………………（

25、1分） 所以，＝．…………………………………………………………（1分） 【點(diǎn)評】本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查分析問題解決問題的能力，是難題． 20．（15分）已知函數(shù)（a∈R）． （Ⅰ）若曲線y＝f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍； （Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，+∞）上存在極大值M，證明：M＜． 【分析】（Ⅰ）f′（x）＝ex﹣ax，由題意得：f′（x）＝ex﹣ax≥0?a≤，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出結(jié)論． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)a≤e時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞增，無極大值，于是a＞e．設(shè)h（x）＝f′（x）＝ex﹣ax

26、，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值，進(jìn)而得出結(jié)論． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝ex﹣ax…………………………………………（1分） 由題意得：f′（x）＝ex﹣ax≥0?a≤………………………………（1分） 設(shè)，求導(dǎo)得：g′（x）＝………………………………（1分） g（x）在區(qū)間（0，1）上減，在區(qū)間（1，+∞）上增， g（x）的最小值為g（1）＝e……（1分） 所以，a≤e………………………………………………………………（1分） （Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，當(dāng)a≤e時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞增，無極大值……1 分 所以，a＞e…………………………………………………………………

27、……（1分） 設(shè)h（x）＝f′（x）＝ex﹣ax，則h′（x）＝ex﹣a＝0?x＝lna…………………………（1分） f′（x）在（0，lna）上減，在（lna，+∞）上增， f′（x）的最小值f′（lna）＝a（1﹣lna）＜0…（1分） 而f′（0）＝1＞0，f′（1）＝e﹣a＜0，f′（lna2）＝a（a﹣2lna）， 設(shè)t（x）＝x﹣2lnx（x＞e）， 求導(dǎo)得：t′（x）＝＞0，t（x）＞t（e）＝e﹣2＞0，所以，f′（lna2）＝a（a﹣2lna）＞0…（2分） 由零點(diǎn)存在定理得：f′（x）在（0，lna），（lna，+∞）上分別有一個(gè)零點(diǎn)x1，x2， 即f′（x

28、1）＝0?＝ax1，f′（x2）＝0?＝ax2，且0＜x1＜1……（1分） f（x）在（0，x1）上增，在（x1，x2）減，在（x2，+∞）上增，f（x）極大值為f（x1）＝M…（1分） ， 由均值不等式得，…（2分） 【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值、方程與不等式的解法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、函數(shù)零點(diǎn)存在定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題． 21．（15分）對于一個(gè)非空集合A，如果集合D滿足如下四個(gè)條件： ①D?{（a，b）|a∈A，b∈A}； ②?a∈A，（a，a）∈D； ③?a，b∈A，若（a，b）∈D且（b，a）∈D，則a＝b； ④?a，b，c∈A，若（a，b

29、）∈D且（b，c）∈D，則（a，c）∈D， 則稱集合D為A的一個(gè)偏序關(guān)系． （Ⅰ）設(shè)A＝{1，2，3}，判斷集合D＝{（1，1），（1，2）（2，2），（2，3），（3，3）}是不是集合A的偏序關(guān)系，請你寫出一個(gè)含有4個(gè)元素且是集合A的偏序關(guān)系的集合D； （Ⅱ）證明：R≤＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}是實(shí)數(shù)集R的一個(gè)偏序關(guān)系： （Ⅲ）設(shè)E為集合A的一個(gè)偏序關(guān)系，a，b∈A．若存在c∈A，使得（c，a）∈E，（c，b）∈E，且?d∈A，若（d，a）∈E，（d，b）∈E，一定有（d，c）∈E，則稱c是a和b的交，記為c＝a∧b．證明：對A中的兩個(gè)給定元素a，b，若a∧b存在，則一

30、定唯一． 【分析】（Ⅰ）集合D滿足①②③，但不滿足④，推導(dǎo)出集合D不是集合A的偏序關(guān)系，由此能求出結(jié)果． （Ⅱ）R≤＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}，滿足①②，推導(dǎo)出a＝b，滿足條件③，（a，c）∈R≤，滿足條件④，由此能證明R≤＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}是實(shí)數(shù)集R的一個(gè)偏序關(guān)系． （Ⅲ）假設(shè)對A中的兩個(gè)給定元素a，b，且a∧b存在，但不唯一．推導(dǎo)出（c2，c1）∈E，（c1，c2）∈E，則c2＝c1，與c1≠c2矛盾．從而對A中的兩個(gè)給定元素a，b，若a∧b存在，則一定唯一． 【解答】解：（Ⅰ）集合D滿足①②③，但不滿足④， 因?yàn)椋?，2）∈D，（2，3）∈D

31、，由題意（1，3）∈D，而（1，3）?D，所以不滿足④， 集合D不是集合A的偏序關(guān)系， 故D＝{（1，1），（1，2），（2，2），（3，3）}（開放性）． （Ⅱ）證明：R≤＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}，滿足①②， ?（a，b）∈D?a≤b，且（b，a）∈D?b≤a，則a＝b，滿足條件③， ?a，b，c∈R，若（a，b）∈R≤且（b，c）∈R≤，則a≤b，b≤c，所以a≤c， 所以（a，c）∈R≤，滿足條件④， 綜上所述，R≤＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}是實(shí)數(shù)集R的一個(gè)偏序關(guān)系． （Ⅲ）證明：用反證法．假設(shè)對A中的兩個(gè)給定元素a，b，且a∧b存在，但不唯一． 設(shè)c1＝a∧b，c2＝a∧b，且c1≠c2，則（c1，a）∈E，（c1，b）∈E，（c2，a）∈E，（c2，b）∈E， 其中E為集合A的一個(gè)偏序關(guān)系． 且?d∈A，若（d，a）∈E，（d，b）∈E，一定有（d，c1）∈E，所以（c2，c1）∈E， 同理（c1，c2）∈E，則c2＝c1，與c1≠c2矛盾． 所以，對A中的兩個(gè)給定元素a，b，若a∧b存在，則一定唯一． 【點(diǎn)評】本題考查滿足條件的集合的求法，考查兩個(gè)集合的偏序關(guān)系的證明，考查反證法、集合間的關(guān)系、元素與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔題．