高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十二章 概率與統(tǒng)計(jì) 12.3 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布課件(理) 新人教B版.ppt

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12.3 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布,高考理數(shù),1.條件概率及其性質(zhì) (1)對于任何兩個(gè)事件A和B,在已知事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率叫做條件概率,用符號 P(B|A)來表示,其公式為P(B|A)= . (2)條件概率具有的性質(zhì): a.0≤P(B|A)≤1; b.如果B和C是兩個(gè)互斥事件,則P(B∪C|A)= P(B|A)+P(C|A) . 2.相互獨(dú)立事件 (1)對于事件A、B,若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響,則稱A、B是 相互獨(dú)立 事件. (2)若A與B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B). (3)若A與B相互獨(dú)立,則A與 , 與B, 與 也都相互獨(dú)立. (4)若P(AB)=P(A)P(B),則 A與B相互獨(dú)立 .,知識(shí)清單,3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布問題 (1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式:關(guān)于Pn(k)= pk(1-p)n-k,它是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的 概率. 說明:公式中n是重復(fù)試驗(yàn)次數(shù),p是一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率,k是在n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A 恰好發(fā)生的次數(shù),需要弄清公式中n,p,k的意義,才能正確運(yùn)用公式. (2)二項(xiàng)分布:如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰 好發(fā)生k次的概率是P(ξ=k)= pkqn-k,其中k=0,1,…,n,q=1-p,于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布列如 下:,我們稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布,記作ξ~B(n,p). 4.正態(tài)曲線及性質(zhì),(1)正態(tài)曲線的定義: 函數(shù)φμ,σ(x)= ,x∈(-∞,+∞),其中實(shí)數(shù)μ和σ(σ0)為參數(shù),我們稱φμ,σ(x)的圖象(如圖) 為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線. (2)正態(tài)曲線的性質(zhì): a.曲線位于x軸 上方 ,與x軸不相交;,b.曲線是單峰的,它關(guān)于直線 x=μ 對稱; c.曲線在 x=μ 處達(dá)到峰值 ; d.曲線與x軸之間的面積為1; e.當(dāng)σ一定時(shí),曲線隨著 μ 的變化而沿x軸平移; f.當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定,σ 越小 ,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ 越大 , 曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散. 5.正態(tài)分布 (1)正態(tài)分布的定義及表示 如果對于任何實(shí)數(shù)a,b(ab),隨機(jī)變量X滿足P(aX≤b)= φμ,σ(x)dx ,則稱X的分布為正態(tài)分布,記作 X~N(μ,σ2) . (2)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù) a.P(μ-σX≤μ+σ)= 0.682 6 ; b.P(μ-2σX≤μ+2σ)= 0.954 4 ;,c.P(μ-3σX≤μ+3σ)= 0.997 4 . 【知識(shí)拓展】 1.“互斥事件”與“相互獨(dú)立事件”的區(qū)別與聯(lián)系 (1)“互斥”與“相互獨(dú)立”描述的都是兩個(gè)事件間的關(guān)系. (2)“互斥”強(qiáng)調(diào)不可能同時(shí)發(fā)生,“相互獨(dú)立”強(qiáng)調(diào)一個(gè)事件的發(fā)生與否對另一個(gè)事件發(fā)生的 概率沒有影響. (3)“互斥”的兩個(gè)事件可以獨(dú)立,“獨(dú)立”的兩個(gè)事件也可以互斥. 2.條件概率 條件概率通常是指在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率.放在總體情況下看:先求P(A),P (AB),再求P(B|A)= .關(guān)鍵是求P(A)和P(AB). 3.正態(tài)曲線的對稱性 正態(tài)曲線函數(shù)φμ,σ(x)= .很顯然,當(dāng)μ=0時(shí),φμ,σ(x)= 是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對 稱;當(dāng)μ≠0時(shí),圖象對稱軸為直線x=μ,所以正態(tài)曲線是一個(gè)軸對稱圖形,很多關(guān)于正態(tài)分布的概率 問題,都是根據(jù)其對稱性求解的.,計(jì)算條件概率的步驟: 注:計(jì)算條件概率的方法:①利用公式P(A|B)= ;②對古典概型:P(A|B)= . 例1 (2016廣西三市聯(lián)考,13,5分)如圖,EFGH是以O(shè)為圓心、半徑為1的圓的內(nèi)接正方形.將一顆 豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi),用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”,B表示事件“豆子落在扇形 OHE(陰影部分)內(nèi)”,則 (1)P(A)= ;(2)P(B|A)= .,突破方法,方法1 條件概率,解析 圓的面積是π,正方形的面積是2,扇形的面積是 ,根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得P(A)= ,P(AB)= = ,根據(jù)條件概率的公式得P(B|A)= = = . 答案 (1) (2) 1-1 (2016陜西西安質(zhì)檢,5,5分)周老師上數(shù)學(xué)課時(shí),給班里同學(xué)出了兩道選擇題,她預(yù)估做對第 一道題的概率為0.80,做對兩道題的概率為0.60,則預(yù)估做對第二道題的概率是 ( ) A.0.80 B.0.75 C.0.60 D.0.48 答案 B 解析 設(shè)事件Ai(i=1,2)表示“做對第i道題”,A1,A2相互獨(dú)立, 由已知得P(A1)=0.8,P(A1A2)=0.6,P(A2|A1)= =0.75.故選B. 1-2 (2016吉林長春二模,13,5分)袋中有三個(gè)白球,兩個(gè)黑球.現(xiàn)每次摸出一個(gè)球,不放回地摸取 兩次,則在第一次摸到黑球的條件下,第二次摸到白球的概率為 .,答案 解析 記事件A為“第一次摸到黑球”,事件B為“第二次摸到白球”,則事件AB為“第一次摸 到黑球,第二次摸到白球”,依題意知P(A)= ,P(AB)= = ,∴在第一次摸到黑球的條件下,第 二次摸到白球的概率是P(B|A)= = .故答案為 .,1.相互獨(dú)立事件概率的求法,2.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法: 例2 (2014河北邢臺(tái)一模,20,12分)甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊,如果兩人射中目標(biāo)的概率都是 0.8,計(jì)算: (1)兩人都射中目標(biāo)的概率;,方法2 相互獨(dú)立事件的概率,(2)其中恰有一人射中目標(biāo)的概率; (3)至少有一人射中目標(biāo)的概率. 解析 記“甲射擊一次,射中目標(biāo)”為事件A,“乙射擊一次,射中目標(biāo)”為事件B. “兩人都射中目標(biāo)”是事件AB;“恰有一人射中目標(biāo)”是A 或 B;“至少有一人射中目標(biāo)” 是AB或A 或 B. (1)顯然,“兩人各射擊一次,都射中目標(biāo)”就是事件AB,又由于事件A與B相互獨(dú)立, ∴P(AB)=P(A)P(B)=0.80.8=0.64. (2)“兩人各射擊一次,恰有一人射中目標(biāo)”包括兩種情況:一種是甲射中乙未射中(即A ),另一 種是甲未射中乙射中(即 B),根據(jù)題意,這兩種情況在兩人各射擊一次時(shí)不可能同時(shí)發(fā)生,即事 件A 與 B是互斥的,所以所求概率為 P=P(A )+P( B) =P(A)P( )+P( )P(B) =0.8(1-0.8)+(1-0.8)0.8 =0.16+0.16=0.32.,(3)解法一:“兩人各射擊一次,至少有一人射中目標(biāo)”的概率為P=P(AB)+[P(A )+P( B)]=0.64+ 0.32=0.96. 解法二:“兩人都未射中目標(biāo)”的概率是 P( )=P( )P( )=(1-0.8)(1-0.8)=0.04. ∴至少有一人射中目標(biāo)的概率為1-P( )=1-0.04=0.96. 2-1 (2016貴州畢節(jié)三模,7,5分)如圖,用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng).當(dāng)K正常工 作且A1、A2至少有一個(gè)正常工作時(shí),系統(tǒng)正常工作,已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、 0.8、0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為 ( ),A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 答案 B 解析 A1、A2同時(shí)不能工作的概率為0.20.2=0.04,所以A1、A2至少有一個(gè)正常工作的概率為1- 0.04=0.96,所以系統(tǒng)正常工作的概率為0.90.96=0.864.故選B.,1.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率求法: n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次可看作 個(gè)互斥事件的和,其中每一個(gè)事件都可看作k個(gè) A事件與(n-k)個(gè) 事件同時(shí)發(fā)生,只是發(fā)生的次序不同,其發(fā)生的概率都是pk(1-p)n-k.因此,n次獨(dú)立 重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率為 pk(1-p)n-k. 2.寫二項(xiàng)分布時(shí),首先確定隨機(jī)變量X的取值,然后用公式P(X=k)計(jì)算概率即可. 例3 (2016河南信陽質(zhì)檢,19,12分)為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長,某市決定新建一批重點(diǎn)工程,分為基礎(chǔ)設(shè)施 工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類.這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的 , , .現(xiàn)有3 名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè). (1)求他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率; (2)記ξ為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù),求ξ的分布列. 解析 記第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Ai,Bi, Ci,i=1,2,3.由題意知A1,A2,A3相互獨(dú)立,B1,B2,B3相互獨(dú)立,C1,C2,C3相互獨(dú)立,Ai,Bj,Ck(i, j,k=1,2,3,且i,j, k互不相同)相互獨(dú)立,且P(Ai)= ,P(Bj)= ,P(Ck)= .,方法3 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布,(1)他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率 P=3!P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3) =6 = . (2)解法一:設(shè)3名工人中選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的人數(shù)為η,由已知,η~B ,且ξ=3-η,所以 P(ξ=0)=P(η=3)= = , P(ξ=1)=P(η=2)= = , P(ξ=2)=P(η=1)= = ,P(ξ=3)=P(η=0)= = . 故ξ的分布列是,解法二:記第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Di,i=1,2,3. 由已知,D1,D2,D3相互獨(dú)立,且P(Di)=P(Ai∪Ci)=P(Ai)+P(Ci)= + = ,所以ξ~B ,即P(ξ=k)= ,k=0,1,2,3. 故ξ的分布列是,3-1 (2015廣東揭陽一中模擬,19,12分)某種有獎(jiǎng)銷售的飲料,瓶蓋內(nèi)印有“再來一瓶”或“謝 謝惠顧”字樣,購買一瓶這種飲料,若其瓶蓋內(nèi)印有“再來一瓶”字樣即為中獎(jiǎng),中獎(jiǎng)概率為 . 甲、乙、丙三位同學(xué)每人購買了一瓶該飲料. (1)求甲、乙都中獎(jiǎng)且丙沒有中獎(jiǎng)的概率; (2)求中獎(jiǎng)人數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ. 解析 (1)設(shè)“甲中獎(jiǎng)”的事件為A,“乙中獎(jiǎng)”的事件為B,“丙中獎(jiǎng)”的事件為C,那么P(A)=P (B)=P(C)= , P(AB )=P(A)P(B)P( )= = ,即甲、乙都中獎(jiǎng)且丙沒有中獎(jiǎng)的概率為 . (2)ξ的所有可能取值為0,1,2,3, P(ξ=k)= (k=0,1,2,3),所以中獎(jiǎng)人數(shù)ξ的分布列為,E(ξ)=0 +1 +2 +3 = .,服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法: (1)利用P(μ-σ4)= ( ) A.0.158 8 B.0.158 7 C.0.158 6 D.0.158 5 解析 由正態(tài)曲線性質(zhì)知,其圖象關(guān)于直線x=3對稱,∴P(X4)=0.5- P(2≤X≤4)=0.5- 0.682 6 =0.158 7.故選B. 答案 B 4-1 已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2).若P(ξ2)=0.023,則P(-2≤ξ≤2)= ( ) A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977 答案 C 解析 ∵μ=0, ∴P(ξ2)=0.023,∴P(-2≤ξ≤2)=1-20.023=0.954,故選C.,方法4 正態(tài)分布及其應(yīng)用,