16章二次根式全章導學案

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1、 16.1 二次根式 (1) 學習目標： 1、了解二次根式的概念，能判斷一個式子是不是二次根式 , 掌握二次根式有意義的條件。 2、掌握二次根式的基本性質(zhì)： a 0(a 0) 和 ( a )2 a(a 0) 預 習 案 （一）復習回顧： （ 1）已知 x2 a ，那么 a 是 x 的 _ ____; x 是 a 的 ___ _, 記為 _ ___, a 一定是 __ __ 數(shù)。 （ 2） 4 的算術平方根為 2，用式子表示為 4=______ ；正數(shù) a 的算術平方根為 _____， 0 的算術平方根為 ____；式子 a 0

2、(a 0) 的意義是 。 思考： 16 ， s , b 3 等式子 . 說一說他們的共同特征 . 定義 : 一般地我們把形如 a （ a 0 ）叫做二次根式， a 叫做 ______?！?”稱為 。 1、判斷下列各式，哪些是二次根式在后面“√” ，哪些不是在后面“”？為什么？ 3 （ ）， 16 （ ）， 3 4 （ ）， 5 （ ）， a (a 0) （ ）， x 2 1 （ ） 3 2、當 a 為正數(shù)時 a 指 a 的

3、 ，而 0 的算術平方根是 ，負數(shù) ，只有 非負數(shù) a 才有算術平方根。所以，在二次根式 a 中，字母 a 必須滿足 , a 才有意義。 3、根據(jù)算術平方根意義計算 ： (1) ( 4) 2 = (2) ( 3) 2 = （ 3） ( 0.5)2 = （4） ( 1 ) 2 = 3 根據(jù)計算結(jié)果，你能得出結(jié)論： ( a)2 ________ （ a 0 ）

4、 4、由公式 ( a )2 a(a 0) ，我們可以得到公式 a =( a) 2 , 利用此公式可以把任意 一個非負數(shù) 寫成一個數(shù)的平方 的形式。如 ( 5 ) 2=5 或 5=( 5 ) 2. 練習： (1) 把下列非負數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式： 6= 0.35= 合 作 探 究 例 ：當 x 是怎樣的實數(shù)時， x 2 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 1

5、 練習 1: x 取何值時，下列各二次根式有意義？ ① 3 x ②2 2 x ③ 1 4x 3 2 1 2x 例 2：在式子 中， x 的取值范圍是什么？ 1 x 練習 2: x 取何值時，下列各二次根式有意義？ ① 1 ② x 3 ③ x 3 ④ x 45 x 2 x x 5 x 5 訓練案 1、計算： ( 3)

6、2 = ( 0.5)2 = ( 1 )2 = ( a )2 = 3 2、二次根式 a 1 中，字母 a 的取值范圍是（ ） A 、 a＜l B 、a≤1 C 、a≥1 D 、a＞1 、已知 x 3 0 則 x 的值為（ ） 3 、 x >-3 B 、x <-3 C 、x =-3 D 、 x 的值

7、不能確定 A 4、若 a 3 3 1 2x a 有意義，則 a 的值為 _______．若 有意義，x 的取值范圍是 ________. 1 x 、當 x = 時，代數(shù)式 4x 5 有最小值，其最小值是 。 5 6、在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解： （ ） x 2 9 x 2 ( ) 2 x + ）

8、 y - ) （ ） 2 3 x 2 ( ) 2 （ x + ） y - ) 1 =（ ( 2 x = ( 16.2 二次根式的性質(zhì) 學習目標 ： 1、掌握二次根式的基本性質(zhì)： a 2 a ，能利用上述性質(zhì)對二次根式進行化簡 . 預習案 一、復習引入： 1 、定義 : 一般地我們把形如 a （ a 0 ）叫 ， a 叫做 ______?！? ”稱為 。

9、 2、二次根式 2 有意義，則 x = 。 5 x 3、在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解： x 2 6 x2 ( ) 2 =（ x + ）( y —) （二）自主學習 1、計算： 42 0.2 2 ( 4 ) 2 20 2

10、 5 觀察其結(jié)果與根號內(nèi)冪底數(shù)的關系，歸納得到：當 a 0時 , a 2 2、計算： ( 4) 2 ( 0.2) 2 ( 4 ) 2 ( 20)2 5 觀察其結(jié)果與根號內(nèi)冪底數(shù)的關系，歸納得到：當 a 0時, a2 3、計算： 02 當 a 0時 , a 2 a a 0

11、歸納總結(jié) ： a2 a0 0 a a 0 練習 1、化簡下列各式： （ 1）、 0.32 （2）、 ( 0.5)2 （3）、 ( 6)2 （ 4）、 2 （ a 0） 2a = 4、討論二次根式的性質(zhì) ( a) 2 a(a 0) 與 a2 a 有什么區(qū)別與聯(lián)系。 練習 2：化簡：（1） 4 2 = (2) x2 (x p 0) = 2 （3） ( 4)2 =

12、 (4) (a 3)2 (a 3) = 注：利用 a2 a 可將二次根式被開方數(shù)中的 完全平方式 “開方”出來，達到化簡的目的，進 行化簡的關鍵是準確 確定“ a”的取值。 探究案 例 1：化簡： （ 1） 2x 3 2 （x＜-2 ） （2）若 0＜ x＜ 1，化簡： ( x 1 )2 4 － ( x 1 )2 4 x x （ 3） 2 4（ ＞ ，＞ ） （ ）、、 為三角形的邊，則化簡 2 2x xy 2 y (a b

13、 c) b a c x x 0 y 0 4 a b c 練習 3： (2x 1) 2 - ( 2 x 3) 2 ( x 2) 練習 ：若 ＜ ＜ ，化簡： (x 2)2 x 3 4 2 x 3 例 2：5、已知 x2 4 + 2 x y ＝0，求 x y 的值 1 3 練習 5：若 2x 1 y 4 0 ，求 22 的值。

14、 xy 訓練案 1、把 2 x 1 2 x 適當變形后移入根號內(nèi)，得（ ） 的根號外的 x 2 A、 2 x B、 x 2 C 、 2 x D 、x 2 2、已知實數(shù) a、b 在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，化簡： b 0 a 16.2 二次根式的乘法 學習目標： 理解 a b ＝ ab （ a≥ 0，b≥0）， ab = a b （a≥0，b≥0），并利用其進行計算化簡

15、 預習案 （一）復習引入 （1） 4 9 =__ __， 4 9 =____； 4 9 _ _ 4 9 （2） 16 25 =____， 16 25 =___； 16 25 _ _ 16 25 （二）、探索新知 交流總結(jié)規(guī)律：一般地，對 二次根式的乘法 規(guī)定為 乘法法則： a b ＝ ab ．（a≥0，b≥0 積的算術平方根 : ab = a b （a≥0，b≥0） 練習 1

16、：（1） 5 7 = （2） 1 9 = （3） x g y g z = （4） 27 g 4 = 3 4 3 （5） 9 16 = （6） 16 81 = （7） 81 100 = （8） 9 27 = 探 究 案 例 1、計算（應用 a b ＝ ab ．（a≥0，b≥ 0 （1）3 6 2 10 （2） 5a 1 ay （3） xyg2 y g( y2 ) 5 x 練習 1：計算： ①5 5

17、 2 15② x g y3 g z ③ 12a3 1 ay 2 zy x 3 例 2、化簡 ( 逆用乘法法則 ab = a b （ a≥0，b≥0） ) （1） 9x 2 y 2 = （ ） 54 = g = (3) 125 = g = 2 2 : 20 = 18 = 24 = 8 = 2 2 練習 ：

18、化簡 12a b = 總結(jié)： 1、當二次根式 前面有系數(shù) 時，可類比 單項式乘以單項式 法則進行計算：即系數(shù)之積作 為積的系數(shù)，被開方數(shù)之積為被開方數(shù)。 2、化簡二次根式達到的要求： （ 1）被開方數(shù)進行 因數(shù)或因式分解 。 （2）分解后把 能開盡方的開出來 。 例 3、 判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正： （1） ( 4) ( 9) 4 9 （2） 4 12 25 =4 12 25 =4 1

19、2 25 =4 12 =8 3 25 25 25 訓 練 案 1、等式 x 1 ? x 1 x 2 1成立的條件是（ ） A ． x≥ 1 B ．x≥-1 C ．-1 ≤x≤1 D ． x≥ 1 或 x≤-1 2、二次根式 ( 2) 2 6 的計算結(jié)果是（ ） A ．2 6 B ．-2 6 C ． 6 D ．12 3、若 a 2 b 2 4b 4 c 2 c 1 0 2 4

20、 ，則 b ? a ? c =（ ） A ．4 B ．2 C ．-2 D ． 1 2、化簡： （ 1） 360 = （2） 2000 = （3） 5 10 = （4） 3a 15 a =（5） 32x4 = 3、計算： （ 1） 18 30 ； （ 2）

21、 2 （ ） 3 3 ； 8 （ -2 6 ）； （4） 8ab 6ab ； 75 3 6 4、不改變式子的值，把根號外的非負因式適當變形后移入根號內(nèi)。 2 (2) 1 (1) -3 2a 3 2a 16.4 二次根式的除法 學習目標 : 掌握二次根式的除法法則和商的算術平方根的性質(zhì)。能熟練進行二次根

22、式的除法運算及化簡。 預習案 （一）復習回顧 1 二次根式的乘法法則： 積的算術平方根的性質(zhì)： 2、計算： （1）3 8 （ -4 6 ） （2） 12ab 6ab3 3、填空： （1） 9 =____， 9 =____； 規(guī)律： 16 16 （2） 16 =____， 16 =____； 36 36 一般地，對二次根式的除法規(guī)定 除法法則： a = a （ a≥0，b>0） 商的算術平方根： b b  9 ______ 9 ； 16 16 16 ______

23、 16 ； 36 36 a = a （a≥0，b>0） b b 練習 1、計算：（1） 12 = （2） 24 = （3） 25 = （4） 225 = 3 6 81 49 探究案 問題： 對于二次根式運算的結(jié)果有什么要求 ? 最簡二次根式 （化簡二次根式的要求） ： 1．被開方數(shù) 中不含能 因數(shù)或因式（如： 8 = ， 27 = ） 2 b

24、 b c bc 1 1 2. 分母中不含有根式（由 aa g a a 與 a g (c 0) ，則 2 g ） a c ac 2 （注：分子分母 同時乘以 的二次根式，化簡 1 = = ） 27 3. 根號內(nèi)不能是 數(shù)或 式（如： 3.2 = = = = 1 ）

25、 a = = a3 == 練習 2：化簡 :(1) 3 5 = (2) x2 y4 x4 y2 = (3) 8x2 y3 = (4) 8 = 12 20 例 1：化簡：（ 1） 5 40 （2） 64b2 （ 3） 54m3 n （ ） 5x 9a2 6mn (m f 0,n f 0

26、) 4 169 y2 練習 3：化簡 （1） 2 48 （2） 2x3 （3） 3 2 （4） 9x 8x 27 64 y2 例 2：計算（ 1） 3 27 （2） 12 5 （3） 11 2 1 1 2 5 125 3 54 3 3 5 練習 4：計算（ 1） 3 (2)

27、1 1 （ 3） 1 2 1 2 12520 1( ) 2 3 1 5 2 6 3 5 （ 4） 1 3 7 1 (5) 3 3 1 ( 1 1 4 ) 1 5 1 4 4 2 2 8 7 4 2 （ 6） 2 ab5 ? ( 3 a3b) 3 b （ a>0, b>0） b 2 a 總結(jié)：

28、1、靈活變形，大小根號可以互換 . 2 、除法變成 （除數(shù)變成 ） 3 、帶分數(shù)要變成 （注意帶分數(shù) 與分數(shù)與根式乘法 的區(qū)別） 4 、注意結(jié)果符號 （同號得 ，異號得 。） 16.5 二次根式的加減學案 學習目標： 理解同類二次根式，并能判定哪些是同類二次根式，理解和掌握二次根式加減的方法． 預習案 （一）、復習引入 1、計算．（1） 2x 3x ；（2） 2x 2 3x2 5x2 ；（3） x 2x 3y ；（4） 3a 2 2a2 a 2 （二）計算下列各式． （1）2 2 +3

29、 2 = （ ） 8 -3 8 +5 8 = （ ） 7 +2 7 +3 7 = 2 2 3 二次根式的 被開方數(shù)相同 也是可以 合并，如 2 2 與 8 表面上看不相同，但它們也可以合并（與 同類項類似 把 3 3 與 2 3 ， 2 a 與 4 a 稱為同類二次根式 （化簡之后，被開方數(shù) ） 練習 1．以下二次根式： ① 12 ；② 22 ；③ 2 ；④ 27 中，與 3 是同類二次根式的是 （ ）．

30、 3 A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 練習 ．若最簡二次根式 3 2x 1 與 3x 1 是同類二次根式，則 x＝ ． 2 ______ 3 2 + 8 =3 2 + = 3 3 + 27 =3 3 + =

31、 所以，二次根式加減 時，先將二次根式化成 ，?再將同類二次根式進行 ． 探究案 例 ．計算 （ ） 16 x + 64x （ ） 48 -9 1 +3 12 （ ）（ 48 + 20 ）（ 12 - 5 ） 1 1 2 3 3 3 + 歸納： 將不是最簡二次根式的項化為 二次根式；將 的最簡二次根式進行． 練習 3：計算 (1) 12 ( 1

32、 1 ) (2) ( 48 20) ( 125 ) 3 27 (3) x 1 x 1 （ ） 2 x 9x ( x 2 1 6x x ) 4 y 2 y 4 x 4 x y 3 2 2 ，求（ 2 x ） - （ x 2 1 -5x y ）的值． 例 2．已知 4x +y -4x-6y+10=0 2 x 9 x +y 3 y3 x x

33、 練習 4. 先化簡，再求值． y 3 xy 3 ) ( 4 x 36 xy ) ，其中 x 3 ，y=27． (6x y x = x y 2 訓練案 1．下列：① 3 3 +3=6 3 ；② 1 ；③ 2 + 6 = 8 =2 2 ；④ 24 =2 2 ，其中錯誤有（ ） 7 7 =1 3

34、 A．3 個 B ．2 個 C ．1 個 D ．0 個 2．在下列各組根式中，是同類二次根式的是 ( ) (A) 3 和 18 (B) 3 和 1 (C) 2 b 和 ab 2 (D) a 1 和 a 1 3 a 3．下列各式的計算中，成立的是 ( ) A． 2 5 2 5 B. 4 5 3 5 1 C.x2 y 2

35、 x y D. 45205 4．計算二次根式 5 a -3 b -7 a +9 b 的最后結(jié)果是 ________． ．若最簡二次根式 3a b 與 a b 2b 是同類二次根式，則 a＝ ，b＝ ． 5 ____ ____ 6．計算：（1） 1 27a 3 a 2 3 3a a a 108a 3 a 3 4 16.6 二次根式的混合運算 學習目標 : 熟練應

36、用二次根式的加減乘除法法則及乘法公式進行二次根式的混合運算。 預習案 （一）復習回顧 （ 1）整式混合運算的順序是： 。 （ 2）二次根式的乘除法法則是： 。 （ 3）二次根式的加減法法則是： 。 （ 4）寫出已經(jīng)學過的乘法公式：① ② 5、計算： （ 1） 6 3a 1 b （ 2） 1 1

37、（ ） 1 1 3 4 16 3 2 3 8 12 50 2 5 探究案 例 1、計算： （ 1）（ 83 ） 6 (4 2 3 6) 2 2 ( 2 3)( 2 5) （4）(2 32) 2 （ 2） （ 3） 練習 1：計算： （1） 1 2 ) 12 （ ） (2 35)( 23) ( 272

38、4 3 3 2 3 注：整式的 運算法則 和乘法公式 適用于二次根式的運算 。 例 2：計算（ 1） (7 4 3)(7 4 3) (3 5 1)2 (2) 1 3 2 3 7 7 (3) 2 2 3) 1 0 2 1 3 1 3 (4) (1 3.14 2 3 總結(jié)： 1、先確定運算順序，再逐步計算

39、 2 、分母帶跟號： ，若分母能構(gòu)成平方直接 3 ，（如 1 2 1 3 ） 、整體平方開根號等于整體的 3 練習 2：（1） (7 2 3)(7 2 3) (2 3 1)2 (2) 1 3 3 3 7 7 (3) 2 2 1 0 5 3 5 3 (4) (1 2) 3.14 2 2)(5 2 2) (5

40、 例 3：觀察： ( 2 1)2 ( 2) 2 2 1 2 12 2 2 2 1 3 2 2 反之， 3 2 2 2 2 2 1 ( 2 1)2 ∴ 3 2 2 ( 2 1)2 ∴ 3 2 2 = 2 -1 仿上求：（1）； 4 2 3 = （ 2） 4 12 = 訓 練 案 1、計算： （ 1） ( 80 90) 5 （ 2） 24 3 6 2 3 （ 3） ( 3 3 3 ) ( ) （ ）

41、 a b ab ab ab a>0, b>0 16.7 《二次根式》復習 學習目標： 1、了解二次根式的定義，掌握二次根式有意義的條件和性質(zhì)。 2、熟練進行二次根式的乘除法運算，熟練進行二次根式的加減法運算和化簡。 自主復習 1．若 a＞ ，a 的平方根可表示為 ________， a 的算術平方根可表示 ________ 0 ．當 a 時， 1 2a 有意義，當 a

42、 時， 3a 5 沒有意義。 2 ______ ______ 3． ( 3)2 ________ ( 3 2)2 ______ 4． 14 48 _______; 72 18 ________ 5． 12 27 _______; 125 20 _______ 6、計算： (1) 2 12 1 3 5 2 (2) 125x3 (3) ( 3 2 2 3) 2 4 9y2

43、 7、精講點撥 ：在二次根式的計算、化簡及求值等問題中，常運用以下幾個式子： （ 1）二次根式性質(zhì)： ( a )2 a(a 0)與 a ( a ) 2 (a 0) a a 0 （ 2）二次根式性質(zhì)： a 2 a 0 a 0 a a 0 （ 3）二次根式的乘法法則： a ? b ab (a

44、 0, b 0)與 ab a ? b (a 0,b 0) （ 4）二次根式除法法則 a a ( a 0,b 0)與 a a (a 0,b 0) b b b b （ 5）完全平方公式與平方差公式： (a b)2 a2 2ab b2與 (a b)( a b) a2 b2 探 究 案（兩類式子簡算） 例 1：（ 1） 1 1 3 1 L L 1 198 (2) (

45、 3) 2009 ( 1 ) 2010 2 2 169 3 練習 1：（1） 1 1 1 L L 1 （ 2） (310) 2009 (3 10) 2009 3 5 3 121 119 總結(jié)：第一類：先將分母 ，再消掉 部分，最后檢查可否簡化。 第二類：先觀察底數(shù)能否相乘是否為 ，再根據(jù)乘方的性質(zhì)把 指數(shù)轉(zhuǎn)變成 ， 底數(shù)先相乘，最后檢查是否可簡化。 訓練案 1

46、、化簡 5 2 的結(jié)果是（ ） A 5 B -5 C 士 5 D 25 2、代數(shù)式 x 4 中， x 的取值范圍是（ ） x 2 A x 4 B x 2 C x 4且 x 2 D x 4且 x 2 3、化簡 3 2 的結(jié)果是（ ） 27 2 B 2 C 6 D 2 A 3 3 3 4、計算． (1) 27 2 3 45 (2) 16 25 (3) ( a 2)( a 2) 64 5 、已知 a 32 , b 3 2 求 1 1 的值 2 2 a b