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高考數(shù)學總復(fù)習 第二章 第14講 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用課件 理.ppt
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第14講,導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用,1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的 單調(diào)性,會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三 次).,2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件;會用 導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三 次);會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一 般不超過三次).,1.函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù) y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則,(1)若 f′(x)0,則 f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增;,(2)若 f′(x)0,則 f(x)在(a,b)內(nèi)__________. 2.函數(shù)的極值,(1)判斷 f(x0)是極值的方法:,一般地,當函數(shù) f(x)在點 x0 處連續(xù)時,,單調(diào)遞減,①如果在 x0 附近的左側(cè) f′(x)>0,右側(cè) f′(x)<0,那么 f(x0) 是極大值; ②如果在 x0 附近的左側(cè)__________,右側(cè)__________,那,么 f(x0)是極小值.,f′(x)<0,f′(x)>0,(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟: ①求 f′(x); ②求方程 f′(x)=0 的根; ③檢查 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根的左、右值的符號.如 果左正右負,那么 f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正, 那么 f(x)在這個根處取得__________;如果左右兩側(cè)符號一樣,,那么這個根不是極值點.,極小值,3.函數(shù)的最值,(1)函數(shù) f(x)在[a,b]上有最值的條件:,如果在區(qū)間[a,b]上,函數(shù) y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷,的曲線,那么它必有最大值和最小值.,(2)①若函數(shù) f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則 f(a)為函數(shù)的最小,值,f(b)為函數(shù)的最大值;,②若函數(shù) f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則 f(a)為函數(shù)的最大值,,f(b)為函數(shù)的最小值.,(3)求 y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步驟: ①求函數(shù) y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值; ②將函數(shù) y=f(x)的各________與端點值比較,其中最大的,一個是最大值,最小的一個是最小值.,極值,1.f(x)=x3-3x2+2 在區(qū)間[-1,1]上的最大值是(,),C,A.-2,B.0,C.2,D.4,2.(2013 年廣州二模)已知e為自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù) y=,),xex 的單調(diào)遞增區(qū)間是( A.[-1,+∞) C.[1,+∞),B.(-∞,-1] D.(-∞,1],A,3.(2013 年河南鄭州模擬)函數(shù) f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b), 導(dǎo)函數(shù) f′(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖 2-14-1,則函數(shù) f(x)在(a,b),內(nèi)的極大值點有(,),圖 2-14-1,A.1 個,B.2 個,C.3 個,D.4 個,4.函數(shù) f(x)=x3-3x2+1 在 x=________處取得極小值.,B,2,考點 1,函數(shù)的單調(diào)性與極值,(1)求 a 的值; (2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.,解得 x=-1(舍)或 x=5. 當 x∈(0,5)時,f′(x)0,函數(shù) f(x)單調(diào)遞增. 因此,函數(shù) f(x)在 x=5 時取得極小值,且極小值為 f(5)=-ln5.,【規(guī)律方法】(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的極值時要養(yǎng)成 列表的習慣,可使問題直觀且有條理,減少失分的可能.如果一 個函數(shù)在給定定義域上的單調(diào)區(qū)間不止一個,這些區(qū)間之間一 般不能用并集符號“∪”連接,只能用“,”或“和”字隔開.,(2)“f′(x)0[或 f′(x)0]”是“函數(shù) f(x)在某區(qū)間上為增函 數(shù)(或減函數(shù))”的充分不必要條件;“f′(x0)=0”是“函數(shù) f(x) 在 x=x0 處取得極值”的必要不充分條件.,【互動探究】 1.函數(shù) f(x)在 x=x0 處的導(dǎo)數(shù)存在,若命題 p:f′(x0)=0,,命題 q:x=x0 是 f(x)的極值點,則 p 是 q 的(,),C,A.充分必要條件 C.必要不充分條件,B.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件,解析:若 x=x0 是 f(x)的極值點,則f′(x0)=0;若f′(x0) =0,而 x=x0 不一定是 f(x)的極值點,如 f(x)=x3,當 x=0 時, f′(0)=0,但 x=0 不是極值點.故 p 是 q 的必要不充分條件. 故選 C.,考點 2,函數(shù)的最值,(1)若 f(x)在 x=2 處的切線與直線 3x-2y+1=0 平行,求 f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)求 f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.,令 f′(x)=0,得 x=1. f(x)與 f′(x)的情況如下表: 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞).,,【規(guī)律方法】求函數(shù)的最值時,不可想當然地認為極值點 就是最值點,要對函數(shù) y=f(x)的各極值與端點值進行比較,其 中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.,【互動探究】,,考點 3,利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)中的恒成立問題,(1)若 a=3,試確定函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若 f(x)在其圖象上任一點(x0,f(x0))處的切線斜率都小于 2a2,求實數(shù) a 的取值范圍.,由 f′(x)3.,所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,3),單調(diào)遞減區(qū)間為,(-∞,-1)和(3,+∞).,(2)因為 f′(x)=-x2+2x+a,,由題意,得 f′(x)=-x2+2x+a2a2 對任意 x∈R 恒成立, 即-x2+2x2a2-a 對任意 x∈R 恒成立,,設(shè) g(x)=-x2+2x,所以 g(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1. 所以當 x=1 時,g(x)有最大值為 1.,因為對任意 x∈R,-x2+2x2a2-a 恒成立,,【規(guī)律方法】若 f(x)在其圖象上任一點處的切線斜率都小于 2a2,即 f′(x)=-x2+2x+a2a2 對任意 x∈R 恒成立,分離變 量得-x2+2x2a2-a 對任意 x∈R 恒成立,求-x2+2x 的最大 值即可.,【互動探究】 3.函數(shù) f(x)=a2lnx-x2+ax,a≠0. (1)求 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若 f(1)≥e-1,求使 f(x)≤e2 對 x∈[1,e]恒成立的實數(shù) a 的值(注:e 為自然對數(shù)的底數(shù)).,(2)由 f(1)=a-1≥e-1,即 a≥e. 由(1)知,f(x)在[1,e]內(nèi)單調(diào)遞增, 要使 f(x)≤e2 對 x∈[1,e]恒成立, 只要 f(e)≤e2,則 a2lne-e2+ae≤e2, 即 a2+ae-2e2≤0,(a+2e)(a-e)≤0,解得 a≤e, 所以 a=e.,●思想與方法●,⊙運用分類討論思想討論函數(shù)的單調(diào)性,例題:(2013 年廣東東莞一模) 已知函數(shù) f(x) =x2 +ax +,blnx(x0,實數(shù) a,b 為常數(shù)).,(1)若 a=1,b=-1,求函數(shù) f(x)的極值; (2)若 a+b=-2,討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性.,下載提示(請認真閱讀)
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