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1、數(shù) 列 求 和 專 題張 明 選 1.公 式 法 ： 等 差 數(shù) 列 的 前 n項(xiàng) 和 公 式 ： 等 比 數(shù) 列 的 前 n項(xiàng) 和 公 式 n即 直 接 用 求 和 公 式 ， 求 數(shù) 列 的 前 n和 S1 1( ) ( 1)2 2nn n a a n nS na d 1 11 ( 1)(1 ) ( 1)1 1nn nna qS a a qa q qq q 2.分 組 求 和 法 ：若 數(shù) 列 的 通 項(xiàng) 可 轉(zhuǎn) 化 為 的 形 式 ， 且 數(shù) 列 可 求 出 前 n項(xiàng) 和 則 1 21 1 2 21 2 1 2( ) ( ) ( )( ) ( )n n n nn nb cs a a ab
2、 c b c b cb b b c c cs s n n na b c nc nb bs cs na 2.分 組 求 和 法 ：例 1.求 下 列 數(shù) 列 的 前 n項(xiàng) 和 11 1 1 12 ,4 ,6 , ,24 8 16 2nn 解 （ 1） ： 該 數(shù) 列 的 通 項(xiàng) 公 式 為 112 2n na n 11 1 1 12 4 6 (2 )4 8 16 2nns n 11 1 1(2 4 6 2 ) ( )4 8 2nn 1 11( 2 2 ) 4 212 1 2 nn n 11 1( 1 ) 2 2 nn n 練 .求 數(shù) 列 的 前 n項(xiàng) 和 cn=an+bn(an、 bn為 等
3、差 或 等 比 數(shù) 列 。 ）項(xiàng) 的 特 征 2 3 n1+2,2+2 ,3+2 n+2， ， 3、倒序相加法如 果 一 個(gè) 數(shù) 列 an， 與 首 末 兩 項(xiàng) 等距 的 兩 項(xiàng) 之 和 等 于 首 末 兩 項(xiàng) 之 和（ 都 相 等 ， 為 定 值 ） ， 可 采 用 把 正著 寫 和 與 倒 著 寫 和 的 兩 個(gè) 和 式 相 加 ，就 得 到 一 個(gè) 常 數(shù) 列 的 和 ， 這 一 求 和的 方 法 稱 為 倒 序 相 加 法 . 類 型 a1+an=a2+an-1=a3+an-2= 例 2、 已 知 lg(xy) 2n n-1 1 n-1 nS=lgx +lg(x y)+.+lg(x y
4、 )+lgy,(x0,y0) 求 S3.倒 序 相 加 法 n n-1 nS=lgx +lg(x y)+.+lgyn n-1 nS=lg +lg( x)+.+lgy y x n n n2S=lg +lg +.+lg(xy) (xy) (xy)= 2n(n+1) S = n(n+1) 解 ： 、錯(cuò)位相減法：如 果 一 個(gè) 數(shù) 列 的 各 項(xiàng) 是 由 一 個(gè)等 差 數(shù) 列 與 一 個(gè) 等 比 數(shù) 列 對(duì) 應(yīng)項(xiàng) 乘 積 組 成 ， 此 時(shí) 求 和 可 采 用錯(cuò) 位 相 減 法 .既 anbn型等 差 等 比 例 、 求 和 Sn =1+2x+3x2+ +nxn-1 (x0,1)解 ： Sn =1 +
5、 2x +3x2 + +nxn-1 xSn = x + 2x2 + + (n-1)xn-1+nxn - ， 得 ：(1-x) Sn =1+x+x2+ + xn-1 - nxn 1-(1+n)xn+nxn+11-x= S n= 1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)2 1-xn1-x= - nxn 錯(cuò) 位 相 減法 、 錯(cuò) 位 相 減 法練 習(xí)1+2 3+3 32+4 33+n 3n-1=？通 項(xiàng) 、裂項(xiàng)相消法：把 數(shù) 列 的 通 項(xiàng) 拆 成 兩 項(xiàng) 之 差 ， 即 數(shù)列 的 每 一 項(xiàng) 都 可 按 此 法 拆 成 兩 項(xiàng) 之差 ， 在 求 和 時(shí) 一 些 正 負(fù) 項(xiàng) 相 互 抵 消 ，于 是
6、 前 n項(xiàng) 的 和 變 成 首 尾 若 干 少 數(shù) 項(xiàng)之 和 ， 這 一 求 和 方 法 稱 為 裂 項(xiàng) 相 消法 .（ 見 到 分 式 型 的 要 往 這 種 方 法 聯(lián)想 ） 例 、 Sn= + +11 3 13 5 1(2n-1) (2n+1)分 析 ： 觀 察 數(shù) 列 的 通 項(xiàng) ：1(2n-1) (2n+1) = （ - ）21 2n-11 2n+11這 時(shí) 我 們 就 能 把 數(shù) 列 的 每 一 項(xiàng) 裂 成兩 項(xiàng) 再 求 和 裂 項(xiàng) 相消 法 例 、 Sn= + +11 3 13 5 1(2n-1) (2n+1)解 ： 由 通 項(xiàng) an= 1(2n-1) (2n+1) = （ -
7、）21 2n-11 2n+11 Sn= （ - + - + - ) 21 3111 5131 2n-11 2n+11= （ 1 - ）21 2n+11 2n+1n=裂 項(xiàng) 相 消 法 的 關(guān) 鍵 就 是 將 數(shù) 列 的 每 一 項(xiàng) 拆 成 二項(xiàng) 或 多 項(xiàng) 使 數(shù) 列 中 的 項(xiàng) 出 現(xiàn) 有 規(guī) 律 的 抵 消 項(xiàng) ，進(jìn) 而 達(dá) 到 求 和 的 目 的 。 先 求 通 項(xiàng)再 處 理 通項(xiàng)練 習(xí) 求 和：1 1 1 1+ + +.+1 1+2 1+2+3 1+2+3+4+.+n 11 2 3na n 解 ： 2( 1)n n 1 12( )1n n 1 1 1 1 12(1 ) ( ) ( )2
8、 2 3 1 nS n n 12 (1 )1n 2 1nn 常 見 的 拆 項(xiàng) 公 式 有 ：111)1( 1.1 nnnn )11(1)( 1.2 knnkknn )12 112 1(21)12)(12( 1.3 nnnn )2)(1( 1)1( 121)2)(1( 1.5 nnnnnnn )(11.4 bababa 6.奇 偶 并 項(xiàng) 法 數(shù) 列 求 和 的 一 般 步 驟 ：等 差 、 等 比 數(shù) 列 直 接 應(yīng) 用 公 式 法 求 和 。非 等 差 、 等 比 的 數(shù) 列 ， 通 過 通 項(xiàng) 化 歸 的 思想 設(shè) 法 轉(zhuǎn) 化 為 等 差 、 等 比 數(shù) 列 ， 常 用 方 法有 分 組 求 和 法 、 倒 序 相 加 法 、 錯(cuò) 位 相 減 法不 能 轉(zhuǎn) 化 為 等 差 、 等 比 的 數(shù) 列 ， 往 往 通 過裂 項(xiàng) 相 消 法 求 和 ,當(dāng) 奇 數(shù) 與 偶 數(shù) 項(xiàng) 合 并 后可 以 構(gòu) 成 新 的 等 差 等 比 數(shù) 列 時(shí) 用 并 項(xiàng) 法 。
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