矩陣論-特征值和特征向量.ppt

機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 陳建華,矩 陣 論,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1.1 特征值和特征向量,一、方陣的特征值和特征向量,二、線性變換的特征值和特征向量,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1、定義,假設(shè) A 是 n 階方陣，如果存在數(shù) 和非零向量 X，使得,AX= X,稱 是矩陣 A 的一個(gè)特征值， X 是對(duì)應(yīng)于 的一個(gè)特征向量。,一、方陣的特征值和特征向量,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,AX = X,非零向量,特征向量,特征值,n階方陣,對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量不唯一。,注：,2、求法,AX = X,(EA)X = 0,|EA| = 0,特征方程,特征多項(xiàng)式,EA,特征矩陣,特征值,特征向量,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,(1) 為A的特征值 |EA| = 0.,(2) X為A的對(duì)應(yīng)于的特征向量, (EA)X = 0, X為非零向量.,求特征值和特征向量的步驟：,(1) 寫出A的特征方程|EA|0;,(2) 求出A的n個(gè)特征值1, 2 n;,(3) 對(duì)每一特征值i，求解對(duì)應(yīng)的方程組,(iEA)X0,方程組的非零解就是i的所有特征向量.,定理1,例1,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解: A的特征多項(xiàng)式為,求矩陣,的特征值和特征向量.,所以A的特征值為 1=2, 2= 3= 1.,對(duì)于1=2,解方程組(2EA)X = 0,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,p1=(0, 0, 1)T.,對(duì)應(yīng)于1=2的特征向量為k1p1 (0k1R).,得基礎(chǔ)解系,對(duì)于2= 3=1,解方程組 (EA)X= 0,得基礎(chǔ)解系,p2=(1, 2, 1)T.,對(duì)應(yīng)于2=3 =1的特征向量為k2p2 (0k2R).,于是，,于是，,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3、性質(zhì),（1）2 是A2 的特征值;,（2）-1 是A-1 的特征值；,（3）a+k 是aE+kA 的特征值（a, k為常數(shù)）。,且 X 仍為 A2 , A-1 , aE+kA 的分別對(duì)應(yīng)于特征值 2 , -1, a+k的特征向量。,設(shè)是方陣A的特征值，X為A 的對(duì)應(yīng)于,性質(zhì)1,的特征向量，則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,特征值為 1=2, 2= 3= 1.,1+2+3= 4,123= 2,= a11+ a22+ a33,= |A|.,觀察例1,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,設(shè)A = (aij)nn的特征值為1, , n, 則 (1) 1 + + n = a11+ann， (2) 1 2 n = |A|, 其中a11+ann 稱為A 的跡，記作tr(A).,性質(zhì)2,證明：,= (- 1) (- n) .,f() = n- (a11+ann )n-1 +(-1)n|A|,f() = n- ( 1+ n )n-1 +(-1)n ( 1 n ),比較上述兩式n-1項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，可得結(jié)論。,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,A 可逆當(dāng)且僅當(dāng)1, , n全不為零.,的確是方陣的一個(gè) 特征 .,推論,由此可知,特征值可以刻畫方陣的可逆性,（3）AT 特征值為1, , n；,（4）AH 特征值為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,設(shè)是方陣A的特征值，X為A 的對(duì)應(yīng)于,性質(zhì)3,的特征向量，,則 對(duì)應(yīng)的特征向量。,P3,定理1.2,例2,已知三階方陣A有特征值1，2，3，求|E+2A|.,例3,（1）m 是Am 的特征值;,（2）|A|/ 是A* 的特征值；,設(shè)是方陣A的特征值，X為A 的對(duì)應(yīng)于,的特征向量，證明：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,性質(zhì)4,設(shè)i是方陣A的特征值，它的代數(shù)重?cái)?shù)是ni,幾何維數(shù)是si，則,其中：,Si 是A的屬于i的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,如果 分別是 A 的屬于互不相同的特征值,的特征向量，則 線性無關(guān).,證：對(duì)k作數(shù)學(xué)歸納法.,性質(zhì)5,推論,特征值 的線性無關(guān)的特征向量，,則向量 線性無關(guān).,是 A 的不同特征值，而 是屬于,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4,對(duì)于n階方陣A,B, 證明：,思考題,對(duì)于n階方陣A,B, 等式 AB-BA=E 是否成立？,二、線性變換的特征值和特征向量,設(shè) 是數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)線性變換，,則稱 為 的一個(gè)特征值，稱 為 的屬于特征值,二、線性變換的特征值與特征向量,1. 定義,若對(duì)于P中的一個(gè)數(shù) 存在一個(gè)V的非零向量,使得,的特征向量., 幾何意義：特征向量經(jīng)線性變換后方向保持,由此知，特征向量不是被特征值所唯一確定的，,注, 若 是 的屬于特征值 的特征向量，則,也是 的屬于 的特征向量.,但是特征值卻是被特征向量所唯一確定的，即,若 且 ，則,設(shè) 是V的一組基，,線性變換 在這組基下的矩陣為A.,下的坐標(biāo)記為,2.特征值與特征向量的求法,分析：,設(shè) 是 的特征值，它的一個(gè)特征向量 在基,則 在基 下的坐標(biāo)為,而 的坐標(biāo)是,于是,又,從而,又,即 是線性方程組 的解，, 有非零解.,所以它的系數(shù)行列式,以上分析說明：,若 是 的特征值，則,反之，若 滿足,則齊次線性方程組 有非零解.,若 是 一個(gè)非零解，,特征向量.,則向量 就是 的屬于 的一個(gè),設(shè) 是一個(gè)文字，矩陣 稱為,稱為A的特征多項(xiàng)式.,3. 特征多項(xiàng)式,A的特征矩陣，它的行列式,（ 是數(shù)域P上的一個(gè)n次多項(xiàng)式）, 矩陣A的特征多項(xiàng)式的根有時(shí)也稱為A的特征值,注：, 若矩陣A是線性變換 關(guān)于V的一組基的矩陣，,而 是 的一個(gè)特征值，則 是特征多項(xiàng)式,的根，即,的一個(gè)特征值.,反之，若 是A的特征多項(xiàng)式的根，則 就是,（所以，特征值也稱特征根.）,而相應(yīng)的線性方程組 的非零解也就,稱為A的屬于這個(gè)特征值的特征向量.,i) 在V中任取一組基 寫出 在這組基下,就是 的全部特征值.,ii) 求A的特征多項(xiàng)式 在P上的全部根它們,4. 求特征值與特征向量的一般步驟,的矩陣A .,iii) 把所求得的特征值逐個(gè)代入方程組,的全部線性無關(guān)的特征向量在基 下的坐標(biāo).),并求出它的一組基礎(chǔ)解系.(它們就是屬于這個(gè)特征值,則,就是屬于這個(gè)特征值 的全部線性無關(guān)的特征向量.,而,（其中， 不全為零）,就是 的屬于 的全部特征向量.,如果特征值 對(duì)應(yīng)方程組的基礎(chǔ)解系為：,對(duì) 皆有,所以，V中任一非零向量皆為數(shù)乘變換K的特征向量.,例1.在線性空間V中，數(shù)乘變換K在任意一組基下,的矩陣都是數(shù)量矩陣kE，它的特征多項(xiàng)式是,故數(shù)乘法變換K的特征值只有數(shù)k，且,解：A的特征多項(xiàng)式,例2.設(shè)線性變換 在基 下的矩陣是,求 特征值與特征向量.,故 的特征值為： （二重）,把 代入齊次方程組 得,即,它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：,因此，屬于 的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量為,而屬于 的全部特征向量為,不全為零,因此，屬于5的一個(gè)線性無關(guān)的特征向量為,把 代入齊次方程組 得,解得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：,而屬于5的全部特征向量為,5.特征子空間,定義：,再添上零向量所成的集合，即,設(shè) 為n維線性空間V的線性變換， 為,的一個(gè)特征值，令 為 的屬于 的全部特征向量,注：,的解空間的維數(shù)，且由方程組(*)得到的屬于 的,若 在n維線性空間V的某組基下的矩陣為A，則,即特征子空間 的維數(shù)等于齊次線性方程組,(*),全部線性無關(guān)的特征向量就是 的一組基.,線性代數(shù)是一種語(yǔ)言，必須用學(xué)習(xí)外語(yǔ)的方法每天學(xué)習(xí)這種語(yǔ)言 David . C . Lay,