新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)9 三角函數(shù)和解三角形（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題限時(shí)集訓(xùn)(九)三角函數(shù)和解三角形 1(2020·新高考全國(guó)卷)在ac，csinA3，cb這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求c的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由問(wèn)題：是否存在ABC，它的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sin Asin B，C，_？注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按一個(gè)解答計(jì)分解方案一：選條件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.由ac，解得a，bc1.因此，選條件時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)c1.方案二：選條件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc，BC，A.由csin A3，所以cb2，a6.因此，選條件時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)c2.方案三：選條件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.由cb，與bc矛盾因此，選條件時(shí)問(wèn)題中的三角形不存在2.(2019·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.設(shè)(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C(1)求A；(2)若ab2c，求sin C解(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因?yàn)?°A180°，所以A60°.(2)由(1)知B120°C，由題設(shè)及正弦定理得sin Asin(120°C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60°).由于0°C120°，所以sin(C60°)，故sin Csin(C60°60°)sin(C60°)cos 60°cos(C60°)sin 60°.3(2019·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinbsin A(1)求B；(2)若ABC為銳角三角形，且c1，求ABC面積的取值范圍解(1)由題設(shè)及正弦定理得sin Asinsin Bsin A因?yàn)閟in A0，所以sinsin B由ABC180°，可得sincos，故cos2sincos.因?yàn)閏os0，故sin，因此B60°.(2)由題設(shè)及(1)知ABC的面積SABCa.由(1)知AC120°.由正弦定理得a.由于ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.結(jié)合AC120°，所以30°C<90°，故a2，從而SABC.因此，ABC面積的取值范圍是.4(2018·全國(guó)卷)在平面四邊形ABCD中，ADC90°，A45°，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC解(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sinADB.由題設(shè)知，ADB90°，所以cosADB.(2)由題設(shè)及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BD·DC·cosBDC2582×5×2×25.所以BC5.5(2017·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知ABC的面積為.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周長(zhǎng)解(1)由題設(shè)得acsin B，即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由題設(shè)得bcsin A，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9，得bc.故ABC的周長(zhǎng)為3.1(2020·四省八校聯(lián)盟高三聯(lián)考)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知tan A，tan B，a5.(1)求tan C；(2)求ABC的最長(zhǎng)邊解(1)由題意知，tan Ctan(AB)3.(2)由(1)知C為鈍角，所以C為最大角，因?yàn)閠an A，所以sin A，又tan C3，所以sin C.由正弦定理得，所以c，即ABC的最長(zhǎng)邊為.2(2020·江西紅色七校第一次聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知acos Ccb.(1)求角A的值；(2)若b4，c6，求cos B的值解(1)由條件acos Ccb，得sin Acos Csin Csin B，又由sin Bsin(AC)，得sin Acos Csin Csin Acos Ccos Asin C由sin C0，得cos A，故A.(2)在ABC中，由余弦定理a2b2c22bccos A及b4，c6，A，得a228，故a2，法一：cos B.法二：由得sin B，因?yàn)閎a，所以BA，B，故cos B.3(2020·貴陽(yáng)模擬)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2bcos Bacos Cccos A(1)求角B的大小；(2)若b2，求ABC面積的最大值解(1)2bcos Bacos Cccos A，由正弦定理得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A，2sin Bcos Bsin(AC)，又sin B0，sin(AC)sin B，2cos B1.cos B，又B(0，)，B.(2)b2，B，由余弦定理得4a2c22accos Ba2c2ac2acacac，即ac4(當(dāng)且僅當(dāng)ac2時(shí)“”成立)，SABCacsin Bac×4，當(dāng)且僅當(dāng)ac2時(shí)，ABC的面積取得最大值.4(2020·濟(jì)寧模擬)在ABC中，A90°，點(diǎn)D在BC邊上在平面ABC內(nèi)，過(guò)D作DFBC且DFAC(1)若D為BC的中點(diǎn)，且CDF的面積等于ABC的面積，求ABC；(2)若ABC45°，且BD3CD，求cosCFB解(1)因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以CDBC由題設(shè)知，DFAC，×CD×DF×AB×AC，因此CDAB所以ABBC，因此ABC60°.(2)不妨設(shè)AB1，由題設(shè)知BC.由BD3CD得BD，CD.由勾股定理得CF，BF.由余弦定理得cosCFB.5(2020·煙臺(tái)模擬)在f (x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，f (x)在上單調(diào)遞增這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，若問(wèn)題中的正實(shí)數(shù)a存在，求出a的值；若a不存在，說(shuō)明理由已知函數(shù)f (x)4sina(N*)的最小正周期不小于，且_，是否存在正實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f (x)在上有最大值3?解由于函數(shù)f (x)的最小正周期不小于，所以，所以16，N*.若選擇，即f (x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，則有k(kZ)，解得k(kZ)，由于16，N*，kZ，所以k3，4.此時(shí)，f (x)4sina.由x，得4x，因此當(dāng)4x，即x時(shí)，f (x)取得最大值4a，令4a3，解得a1，不符合題意故不存在正實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f (x)在上有最大值3.若選擇，即f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則有k(kZ)，解得k(kZ)，由于16，N*，kZ，所以k1，3.此時(shí)，f (x)4sina.由x，得3x，因此當(dāng)3x，即x時(shí)，f (x)取得最大值4sinaa，令a3，解得a3，不符合題意故不存在正實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f (x)在上有最大值3.若選擇，即f (x)在上單調(diào)遞增，則有(kZ)，解得由于16，N*，kZ，所以1.此時(shí)，f (x)4sina.由x，得x，因此當(dāng)x，即x時(shí)，f (x)取得最大值2a，令2a3，解得a32，符合題意故存在正實(shí)數(shù)a32，使得函數(shù)f (x)在上有最大值3.6(2020·青島模擬)在ABC中，已知a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，bcos Cccos B4，B.請(qǐng)?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件(abc)(sin Asin Bsin C)3asin B，b4，csin Bbcos C中任意選擇一個(gè)，添加到題目的條件中，求ABC的面積注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分解因?yàn)閎cos Cccos B4，所以由余弦定理得b·c·4，解得a4.若選擇條件，即(abc)(sin Asin Bsin C)3asin B，在ABC中，由正弦定理得(abc)(abc)3ab，所以(ab)2c23ab，整理得a2b2c2ab，所以由余弦定理得cos C，又C(0，)，故C.又B，所以A.由，得b4(1)，故ABC的面積Sabsin C×4×4(1)×sin4(3)若選擇條件，即b4，因?yàn)锽，所以由，得sin A.因?yàn)锳(0，)，所以A或A.由于ba，所以BA，因此A不合題意，舍去，故A，則C，故ABC的面積Sabsin C×4×4×sin4(1)若選擇條件，即csin Bbcos C，在ABC中，由正弦定理可得sin Csin Bsin Bcos C，易知sin B0，所以tan C.因?yàn)镃(0，)，所以C，又B，所以A，由，得b4(1)，故ABC的面積Sabsin C×4×4(1)×sin4(1)7(2020·濱州模擬)已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且其面積為S.，|2·，S.(1)請(qǐng)從以上三個(gè)條件中任選2個(gè)，并求角B；(2)在(1)的基礎(chǔ)上，點(diǎn)D在AB邊上，若sinCADsinACD，求sinCDB注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分解對(duì)于條件，由正弦定理得，則tan Atan B，可得AB對(duì)于條件，由|2·可得|2·0，即·()·0，則C.對(duì)于條件，易得×bcsin A，即4×sin A×，即sin Acos A，得tan A，故A.若選，(1)易得ABC是以角C為直角的等腰直角三角形，所以B.(2)由sinCADsinACD，可得CDAD，不妨設(shè)AD1，則CD，設(shè)ACx，由余弦定理可得，得x，所以BCAC.在BCD中，所以sinCDB.若選，(1)易得ABC是以角C為直角的直角三角形，又A，所以B.(2)由sinCADsinACD，可得CDAD，不妨設(shè)AD1，則CD，設(shè)ACx，由余弦定理可得cos，得x2.故由勾股定理的逆定理可得CDAD，所以sinCDB1.若選，(1)則易知ABC為正三角形，可得B.(2)因?yàn)锳BC為正三角形，所以A，又sinCADsinACD，所以sinACD，所以ACD，所以CDAB，所以sinCDB1.8(2020·威海模擬)在(2ab)sin A(2ba)sin B2csin C，acsin Aacos C，ABC的面積SABC(a2b2c2)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，作為問(wèn)題的條件，再解答這個(gè)問(wèn)題在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若c，且_，探究ABC的周長(zhǎng)l是否存在最大值？若存在，求出l的最大值；若不存在，說(shuō)明理由注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分解若選，因?yàn)?2ab)sin A(2ba)sin B2csin C，所以由正弦定理可得(2ab)a(2ba)b2c2，即a2b2c2ab，所以cos C，因?yàn)镃(0，)，所以C.又c，所以由正弦定理可得2，所以a2sin A，b2sin B，則labc2sin A2sin B2sin A2sinsin Acos A2sin，因?yàn)?A，所以22sin2.即ABC的周長(zhǎng)l存在最大值，且最大值為2.若選，因?yàn)閍csin Aacos C，所以由正弦定理可得sin Asin Csin Asin Acos C，因?yàn)閟in A0，所以sin Ccos C1，所以sin，又0C，故C，又c，所以由正弦定理可得2，所以a2sin A，b2sin B，則labc2sin A2sin B2sin A2sin3sin Acos A2sin，因?yàn)?A，所以22sin3，即ABC的周長(zhǎng)l存在最大值，且最大值為3.若選，因?yàn)锳BC的面積SABC(a2b2c2)，所以absin C(a2b2c2)，所以sin C×，由余弦定理可得sin Ccos C，即tan C，又因?yàn)?C，故C，又c，所以由正弦定理可得2，所以a2sin A，b2sin B，則labc2sin A2sin B2sin A2sin2sin，因?yàn)?A，所以22sin3，即ABC的周長(zhǎng)l存在最大值，且最大值為3.