第1節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖

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1、1.認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、錐、棱柱等簡易組合）的三視圖，能識別上述三視圖棱柱等簡易組合）的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖直觀圖.3.會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同間圖形的三視圖與直

2、觀圖，了解空間圖形的不同表示形式表示形式.4.會畫某些建筑物的三視圖與直觀圖會畫某些建筑物的三視圖與直觀圖.（在不影響圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征2.空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖三視圖：用三視圖：用得到，這種投影下與投影面得到，這種投影下與投影面的的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是的的.三視圖包括三視圖包括、.正投影正投影平行平行相同相同完全完全正視圖正視圖側(cè)視圖側(cè)視圖俯視圖俯視圖3.空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖空

3、間幾何體的直觀圖常用空間幾何體的直觀圖常用畫法來畫，基本規(guī)則是：畫法來畫，基本規(guī)則是：(1)原圖形中原圖形中x軸、軸、y軸、軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、軸、y軸的夾角為軸的夾角為，z軸與軸與x軸和軸和y軸所軸所在平面在平面.斜二測斜二測45(或或135)垂直垂直(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中.平行于平行于x軸和軸和z軸的線段長度在直觀圖中軸的線段長度在直觀圖中，平，平行于行于y軸的線段長度在直觀圖中軸的線段長度在直觀圖中.還是線段還是線段保持不變保持不變變?yōu)樵瓉淼囊话胱優(yōu)樵瓉淼囊话?.下列有關(guān)棱柱的命題中正確的是下列有

4、關(guān)棱柱的命題中正確的是()A.有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱棱柱C.一個(gè)棱柱至少有五個(gè)面、六個(gè)頂點(diǎn)、九條棱一個(gè)棱柱至少有五個(gè)面、六個(gè)頂點(diǎn)、九條棱D.棱柱的側(cè)棱長有的都相等，有的不都相等棱柱的側(cè)棱長有的都相等，有的不都相等解析：解析：A、B都不能保證側(cè)棱平行這個(gè)結(jié)構(gòu)特征，對于都不能保證側(cè)棱平行這個(gè)結(jié)構(gòu)特征，對于D，由棱柱的結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱都相等，一個(gè)最簡單的棱柱，由棱柱的結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱都相等，一個(gè)最簡單的棱柱是三棱柱，有五個(gè)面、六個(gè)頂點(diǎn)、

5、九條棱是三棱柱，有五個(gè)面、六個(gè)頂點(diǎn)、九條棱.答案：答案：C2.用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓，則這用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓，則這個(gè)幾何體一定是個(gè)幾何體一定是()A.圓柱圓柱B.圓錐圓錐C.球體球體D.圓柱，圓錐，球體的組合體圓柱，圓錐，球體的組合體解析：解析：由球的性質(zhì)可知用平面截球所得的截面都是圓面由球的性質(zhì)可知用平面截球所得的截面都是圓面.答案：答案：C3.如圖所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩如圖所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是個(gè)視圖相同的是()A.B.C.D.解析：解析：正方體的正視、側(cè)視、俯視圖都是正方形；圓錐正方體的正視

6、、側(cè)視、俯視圖都是正方形；圓錐的正視、側(cè)視、俯視圖依次為：三角形、三角形、圓及的正視、側(cè)視、俯視圖依次為：三角形、三角形、圓及圓心；圓心；三棱臺的正視、側(cè)視、俯視圖依次為：梯形、梯形三棱臺的正視、側(cè)視、俯視圖依次為：梯形、梯形(與正與正視圖可能不相同視圖可能不相同)、三角形、三角形(內(nèi)外兩個(gè)三角形且對應(yīng)頂點(diǎn)內(nèi)外兩個(gè)三角形且對應(yīng)頂點(diǎn)相連相連)；正四棱錐的正視、側(cè)視、俯視圖依次為：三角形、三角正四棱錐的正視、側(cè)視、俯視圖依次為：三角形、三角形、正方形形、正方形.答案：答案：D4.一個(gè)平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個(gè)邊長一個(gè)平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個(gè)邊長為為a的正方形，則原平面四邊形的

7、面積等于的正方形，則原平面四邊形的面積等于.解析：解析：如圖所示如圖所示.原平面四邊形面積為原平面四邊形面積為a22.答案：答案：25.如圖所示，圖如圖所示，圖、是圖是圖表示的幾何體的表示的幾何體的三視三視圖，其中圖圖，其中圖是是，圖，圖是是，圖，圖是是(說出視圖名稱說出視圖名稱).解析：解析：結(jié)合三視圖的有關(guān)概念知，圖結(jié)合三視圖的有關(guān)概念知，圖是正視圖，圖是正視圖，圖是側(cè)視圖，圖是側(cè)視圖，圖是俯視圖是俯視圖.答案：答案：正視圖側(cè)視圖俯視圖正視圖側(cè)視圖俯視圖1.幾種常見的多面體的結(jié)構(gòu)特征幾種常見的多面體的結(jié)構(gòu)特征(1)直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱.特別地，當(dāng)?shù)酌媸钦?/p>

8、特別地，當(dāng)?shù)酌媸钦噙呅螘r(shí)，叫正棱柱多邊形時(shí)，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱如正三棱柱，正四棱柱).(2)正棱錐：指的是底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的正棱錐：指的是底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的棱錐射影是底面中心的棱錐.特別地，各條棱均相等的正特別地，各條棱均相等的正三棱錐又叫正四面體三棱錐又叫正四面體.2.理解并掌握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，對培養(yǎng)空間想象理解并掌握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，對培養(yǎng)空間想象能力，進(jìn)一步研究幾何體中的線面位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)能力，進(jìn)一步研究幾何體中的線面位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系非常重要，每種幾何體的定義都是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，注系非常重要，每種幾何體的定義都是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模?/p>

9、注意對比記憶意對比記憶.下面有四個(gè)命題：下面有四個(gè)命題：(1)各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；(2)三條側(cè)棱都相等的棱錐是正三棱錐；三條側(cè)棱都相等的棱錐是正三棱錐；(3)底面是正三角形的棱錐是正三棱錐；底面是正三角形的棱錐是正三棱錐；(4)頂點(diǎn)在底面上的射影是底面多邊形的內(nèi)心，又是外心頂點(diǎn)在底面上的射影是底面多邊形的內(nèi)心，又是外心的棱錐必是正棱錐的棱錐必是正棱錐.其中正確命題的個(gè)數(shù)是其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記命題命題(1)不正確；正棱錐必須具備兩點(diǎn)，一不正確；正棱錐必須具備兩點(diǎn)，一是：底面為正多邊

10、形，二是：頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底是：底面為正多邊形，二是：頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心；命題面的中心；命題(2)缺少第一個(gè)條件；命題缺少第一個(gè)條件；命題(3)缺少第二缺少第二個(gè)條件；而命題個(gè)條件；而命題(4)可推出以上兩個(gè)條件都具備可推出以上兩個(gè)條件都具備.答案答案A1.幾何體的三視圖的排列規(guī)則：幾何體的三視圖的排列規(guī)則：俯視圖放在正視圖的下面，長度與正視圖一樣，側(cè)視圖俯視圖放在正視圖的下面，長度與正視圖一樣，側(cè)視圖放在正視圖右面，高度與正視圖一樣，寬度與俯視圖一放在正視圖右面，高度與正視圖一樣，寬度與俯視圖一樣，即樣，即“長對正，高平齊，寬相等長對正，高平齊，寬相等”，如圖所示，如圖所示(

11、以長方以長方體三視圖為例體三視圖為例)：特別警示特別警示畫幾何體的三視圖時(shí)，能看到的輪廓線畫成畫幾何體的三視圖時(shí)，能看到的輪廓線畫成實(shí)線，看不到的輪廓線畫成虛線實(shí)線，看不到的輪廓線畫成虛線.2.應(yīng)用：在解題的過程中，可以根據(jù)三視圖的形狀及圖應(yīng)用：在解題的過程中，可以根據(jù)三視圖的形狀及圖中所涉及到的線段的長度，推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、中所涉及到的線段的長度，推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系及圖中的一些線段的長度，這樣我線、面之間的關(guān)系及圖中的一些線段的長度，這樣我們就可以解出有關(guān)的問題們就可以解出有關(guān)的問題.(2009山東高考山東高考)一空間幾何一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的

12、體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為體積為()A.22B.42C.2D.4思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記由幾何體的三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)底面直徑和高都是底面直徑和高都是2的圓柱和一個(gè)底面邊長為的圓柱和一個(gè)底面邊長為，側(cè)棱長，側(cè)棱長為為2的正四棱錐疊放而成的正四棱錐疊放而成.故該幾何體的體積為故該幾何體的體積為V122()22.答案答案C1.注意原圖與直觀圖中的注意原圖與直觀圖中的“三變、三不變?nèi)儭⑷蛔儭保骸叭內(nèi)儭弊鴺?biāo)軸的夾角改變，坐標(biāo)軸的夾角改變，與與y軸平行線段的長度改變（減半），軸平行線段的長度改變（減半），圖形改變圖形改變.“三不變

13、三不變”平行性不變平行性不變,與與x軸平行的線段長度不變軸平行的線段長度不變,相對位置不變相對位置不變.2.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系：原圖形的面積有以下關(guān)系：S直觀圖直觀圖S原圖形原圖形，S原圖形原圖形2直觀圖直觀圖.已知已知 ABC的直觀圖的直觀圖ABC是邊長為是邊長為a的正三角形，的正三角形，求原三角形求原三角形ABC的面積的面積.思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記建立如圖所示的建立如圖所示的xOy坐標(biāo)系，坐標(biāo)系，ABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)C在在y軸上，軸上，AB邊在邊在x軸上，軸上，OC為為ABC的高的高.把

14、把y軸繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)軸繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45得得y軸，軸，則點(diǎn)則點(diǎn)C變?yōu)辄c(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)C，且，且OC2OC，A、B點(diǎn)即為點(diǎn)即為A、B點(diǎn)，長度不變點(diǎn)，長度不變.已知已知ABACa，在，在OAC中，中，由正弦定理得由正弦定理得，所以所以O(shè)Caa，所以原三角形所以原三角形ABC的高的高OC，所以所以SABCaaa2.若若 ABC是邊長為是邊長為a的正三角形，則其直觀圖的正三角形，則其直觀圖 ABC的面積是多少？的面積是多少？解：法一：解：法一：由于直觀圖的面積由于直觀圖的面積S與原圖形的面積與原圖形的面積S間滿足間滿足)，易知易知 ABC的面積為的面積為.法二：法二：如圖如圖(1)(2)所示的實(shí)際圖形和直

15、觀圖所示的實(shí)際圖形和直觀圖.由由(2)可知：可知：ABABa，OCOCa，在圖在圖(2)中作中作CDAB于于D，則則CDOCa，SABCABCD三視圖是新課標(biāo)新增的內(nèi)容，是一個(gè)知識交匯三視圖是新課標(biāo)新增的內(nèi)容，是一個(gè)知識交匯的載體，因而是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一的載體，因而是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一.但新課標(biāo)對這但新課標(biāo)對這部分內(nèi)容的要求較低，經(jīng)常與立體幾何中有關(guān)的計(jì)部分內(nèi)容的要求較低，經(jīng)常與立體幾何中有關(guān)的計(jì)算問題融合在一起考查算問題融合在一起考查.2009年廣東高考將三視圖與年廣東高考將三視圖與幾何體的體積計(jì)算、空間位置關(guān)系融為一體，考查幾何體的體積計(jì)算、空間位置關(guān)系融為一體，考查了學(xué)生的空間想象能力

16、，是一個(gè)新的考查方向了學(xué)生的空間想象能力，是一個(gè)新的考查方向.考題印證考題印證(2009廣東高考廣東高考)(12分分)某高速公路收費(fèi)站入口處的某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識墩如圖安全標(biāo)識墩如圖1所示所示.墩的上半部分是正四棱錐墩的上半部分是正四棱錐PEFGH，下半部分是長方體，下半部分是長方體ABCDEFGH.圖圖2、圖、圖3分別是分別是該標(biāo)識墩的正視圖和俯視圖該標(biāo)識墩的正視圖和俯視圖.(1)請畫出該安全標(biāo)識墩的側(cè)視圖；請畫出該安全標(biāo)識墩的側(cè)視圖；(2)求該安全標(biāo)識墩的體積；求該安全標(biāo)識墩的體積；(3)證明：直線證明：直線BD 平面平面PEG.【解解】(1)該安全標(biāo)識墩側(cè)視圖如下圖所示該安全

17、標(biāo)識墩側(cè)視圖如下圖所示.(4分分)(2)該安全標(biāo)識墩的體積該安全標(biāo)識墩的體積VVPEFGHVABCDEFGH40406040402064000(cm3).(6分分)(3)由題設(shè)知四邊形由題設(shè)知四邊形ABCD和四邊和四邊形形EFGH均為正方形，均為正方形，F(xiàn)HEG，又又ABCDEFGH為長方體，為長方體，BDFH.(8分分)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)O是是EFGH的對稱中心，的對稱中心，PEFGH是正四棱錐，是正四棱錐，PO平面平面EFGH，而，而FH平面平面EFGH，POFH.(9分分)FHPO，F(xiàn)HEG，POEGO，PO平面平面PEG，EG平面平面PEG，HF平面平面PEG.(11分分)而而BDFH，故故BD

18、平面平面PEG.(12分分)自主體驗(yàn)自主體驗(yàn)一個(gè)多面體的直觀圖及正視圖、側(cè)視圖、俯視圖一個(gè)多面體的直觀圖及正視圖、側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，如圖所示，M、N分別為分別為A1B、B1C1的中點(diǎn)的中點(diǎn).(1)求證：求證：MN平面平面ACC1A1；(2)求證：求證：MN平面平面A1BC.證明：證明：由題意可知，這個(gè)幾何體是直三由題意可知，這個(gè)幾何體是直三棱柱，且棱柱，且ACBC，ACBCCC1a.(1)連結(jié)連結(jié)AC1、AB1.由直三棱柱的性質(zhì)得由直三棱柱的性質(zhì)得AA1平面平面A1B1C1，所以所以AA1A1B1，則四邊形，則四邊形ABB1A1為矩形為矩形.由矩形性質(zhì)得由矩形性質(zhì)得AB1過過A1B的中點(diǎn)

19、的中點(diǎn)M.在在AB1C1中，由中位線性質(zhì)得中，由中位線性質(zhì)得MNAC1.又又AC1平面平面ACC1A1，MN 平面平面ACC1A1，所以所以MN平面平面ACC1A1.(2)因?yàn)橐驗(yàn)锽C平面平面ACC1A1，AC1平面平面ACC1A1，所以所以BCAC1.在正方形在正方形ACC1A1中，中，A1CAC1.又因?yàn)橛忠驗(yàn)锽CA1CC，所以所以AC1平面平面A1BC.由由MNAC1，得，得MN平面平面A1BC.1.對于斜二測畫法敘述正確的是對于斜二測畫法敘述正確的是()A.三角形的直觀圖是三角形三角形的直觀圖是三角形B.正方形的直觀圖是正方形正方形的直觀圖是正方形C.矩形的直觀圖是矩形矩形的直觀圖是矩

20、形D.圓的直觀圖一定是圓圓的直觀圖一定是圓解析：解析：正方形、矩形的直觀圖都是平行四邊形，正方形、矩形的直觀圖都是平行四邊形，故故B、C錯(cuò)誤；圓的直觀圖是橢圓，故錯(cuò)誤；圓的直觀圖是橢圓，故D錯(cuò)誤錯(cuò)誤.答案：答案：A2.將正三棱柱截去三個(gè)角將正三棱柱截去三個(gè)角(如圖如圖(1)所示所示A、B、C分別是分別是GHI三邊的中點(diǎn)三邊的中點(diǎn))得到幾何體如圖得到幾何體如圖(2)，則該幾何體按，則該幾何體按圖圖(2)所示方向的側(cè)視圖為所示方向的側(cè)視圖為()解析：解析：由正三棱柱的性質(zhì)得側(cè)面由正三棱柱的性質(zhì)得側(cè)面AED底面底面EFD，則側(cè)，則側(cè)視圖必為直角梯形，又線段視圖必為直角梯形，又線段BE在梯形內(nèi)部在梯形

21、內(nèi)部.答案：答案：A3.下圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的下圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的()解析：解析：圖中給出的組合體是一個(gè)圓臺上接一個(gè)圓錐，因圖中給出的組合體是一個(gè)圓臺上接一個(gè)圓錐，因此平面圖形應(yīng)由一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形構(gòu)成，此平面圖形應(yīng)由一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形構(gòu)成，并且上面應(yīng)是直角三角形，下面應(yīng)是直角梯形并且上面應(yīng)是直角三角形，下面應(yīng)是直角梯形.答案：答案：A4.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可得如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是該幾何體的表面積是.解析：解析：由幾何體的三視圖可知此幾何體是圓柱與球體的組由幾何體的三視圖可知此幾何體是圓柱

22、與球體的組合體，合體，S表表4R22r22rh42612.答案：答案：125.(2010廣州模擬廣州模擬)已知一幾何體的三視圖如下，正視圖已知一幾何體的三視圖如下，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖為正方形，在該幾何體上和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖為正方形，在該幾何體上任意選擇任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何形體的個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何形體的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何形體是個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何形體是(寫出所有正確結(jié)論的編號寫出所有正確結(jié)論的編號).矩形；矩形；不是矩形的平行四邊形；不是矩形的平行四邊形；有三個(gè)面為直角三角形，有一個(gè)面為等腰三角形有三個(gè)面為直角三角形，有一個(gè)面為等腰三角形的四面體；的

23、四面體；每個(gè)面都是等腰三角形的四面體；每個(gè)面都是等腰三角形的四面體；每個(gè)面都是直角三角形的四面體每個(gè)面都是直角三角形的四面體.解析：解析：由該幾何體的三視圖可知該幾何體為底面邊長為由該幾何體的三視圖可知該幾何體為底面邊長為a，高為，高為b的長方體，這四個(gè)頂點(diǎn)的幾何形體若是平行四的長方體，這四個(gè)頂點(diǎn)的幾何形體若是平行四邊形，則其一定是矩形邊形，則其一定是矩形.答案：答案：6.用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截該圓錐，截得圓臺用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截該圓錐，截得圓臺上、下底面半徑的比是上、下底面半徑的比是1 4，截去的小圓錐的母線，截去的小圓錐的母線長是長是3cm，求圓臺的母線長，求圓臺的母線長.解：解：如圖，設(shè)圓臺的母線長為如圖，設(shè)圓臺的母線長為y，小圓錐底面與被截的圓，小圓錐底面與被截的圓錐底面半徑分別是錐底面半徑分別是x、4x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，解此方程得，解此方程得y9.所以圓臺的母線長為所以圓臺的母線長為9cm.