結(jié)構(gòu)力學(xué)第七章力法

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1、第 七 章 力 法 7-1 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 組 成 和 超 靜 定 次 數(shù) 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 有 如 下 特 征 ： 1) 從 幾 何 構(gòu) 造 分 析 的 觀 點 來 看 ， 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 是有 多 余 約 束 的 幾 何 不 變 體 系 。 2) 若 只 考 慮 靜 力 平 衡 條 件 ， 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 內(nèi) 力和 支 座 反 力 不 能 夠 由 平 衡 方 程 唯 一 確 定 ， 還 要補 充 位 移 條 件 。一 、 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 組 成 若 只 滿 足 平 衡 條 件 ， 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 內(nèi) 力 和 支 座 反力 可 以 有 無 窮 多 組 解

2、 答 。 如 下 圖 超 靜 定 梁 ， 若 只 滿 足 平 衡 條 件 ， 支座 B的 豎 向 反 力 可 以 是 任 意 值 。A BEI , l ql83q 二 、 超 靜 定 次 數(shù)超 靜 定 次 數(shù) n = 結(jié) 構(gòu) 多 余 約 束 數(shù) 目 。 為 了 確 定 超 靜 定 次 數(shù) ， 通 常 使 用 的 方 法 是 拆 除多 余 約 束 ， 使 原 結(jié) 構(gòu) 變 成 靜 定 結(jié) 構(gòu) ， 則 n等 于 拆除 的 多 余 約 束 數(shù) 。規(guī) 則 ：1） 去 掉 或 切 斷 一 根 鏈 桿 ， 相 當(dāng) 于 去 掉 一 個 約 束 ；2） 去 掉 一 個 簡 單 鉸 ， 相 當(dāng) 于 去 掉 兩 個

3、 約 束 ； 3） 去 掉 一 個 固 定 支 座 或 切 斷 一 根 梁 式 桿 ， 相 當(dāng)于 去 掉 三 個 約 束 ；4） 在 梁 式 桿 上 加 一 個 簡 單 鉸 ， 相 當(dāng) 于 去 掉 一 個約 束 。例 ：a) 1X 2X n=2原 結(jié) 構(gòu) n=21X 2X b) n=2 1X 2X 1X 2Xn=2n=21X 2X原 結(jié) 構(gòu) c) n=31X2X3X原 結(jié) 構(gòu)d) 1X2X n=2原 結(jié) 構(gòu) 1X 2X e) 1X 2X n=1f) 1X 2Xn=3 3X 不 要 把 原 結(jié) 構(gòu) 拆 成 幾 何可 變 體 系 。 此 外 ， 要 把 超靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 多 余 約 束 全 部

4、拆 除 。原 結(jié) 構(gòu) 原 結(jié) 構(gòu) 7-2 力 法 基 本 原 理 解 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) ， 除 應(yīng) 滿 足 平 衡 條 件 外 ， 還 必須 滿 足 位 移 協(xié) 調(diào) 條 件 。一 、 一 次 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 力 法 計 算1. 力 法 的 基 本 體 系 和 基 本 未 知 量 如 下 圖 示 超 靜 定 梁 ， 去 掉 支 座 B的 鏈 桿 ， 用 相應(yīng) 的 未 知 力 X1代 替 ， X1稱 為 力 法 基 本 未 知 量 。 去掉 B支 座 的 多 余 約 束 后 得 到 的 靜 定 結(jié) 構(gòu) 稱 為 力 法基 本 結(jié) 構(gòu) 。 EI F PA Bl/2 l/2 1PEI FP（

5、BV=0）A Bl/2 l/2原 結(jié) 構(gòu) FPA B基 本 體 系 1XA B 1X 11+ FPA BA B 1 1X 11 ） A B( X1 基 本 結(jié) 構(gòu) 2. 力 法 方 程力 法 方 程 為 11 1 0P BV 基 本 體 系 的 位 移 =原 結(jié) 構(gòu) 的 位 移BV 原 結(jié) 構(gòu) B截 面 豎 向 位 移因 為 11111 X方 程 可 寫 為 11 1 1 0PX 討 論 ：1） 力 法 方 程 是 位 移 方 程 ；2） 方 程 的 物 理 意 義 ： 基 本 結(jié) 構(gòu) 在 荷 載 FP和 未 知量 X1共 同 作 用 下 沿 X1方 向 的 位 移 等 于 原 結(jié) 構(gòu) B支座

6、 豎 向 位 移 ；3） 系 數(shù) 的 物 理 意 義 ： 11 基 本 結(jié) 構(gòu) 在 X1=1作 用 下 沿 X1方 向 的 位 移 ；1P 基 本 結(jié) 構(gòu) 在 FP作 用 下 沿 X1方 向 的 位 移 。 3. 力 法 計 算 EIllllEI 332211 311 1 2 31 1 2 1( )2 2 2 3 3 251 58 6 48Pp P PFl l llEI Fl FllEI EI l A B 11 Xl/2M圖FPA BMP圖2lFP1) 求 系 數(shù) 及 自 由 項 3) 作 內(nèi) 力 圖 1 PM MX M M圖FQ圖31 1 11 35 3/ 485 ( )16 PPP F l

7、 EIX EI lF 2) 求 未 知 力 X1A BlFP163 lFP325 PF1611 PF165 15 二 、 多 次 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 力 法 計 算 下 面 給 出 多 次 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 基 本 結(jié) 構(gòu) 在 荷 載 和未 知 力 X分 別 作 用 下 的 位 移 圖 。原 結(jié) 構(gòu) 基 本 體 系A(chǔ) BFP qC DBH=0BV=0 B=0 A BFP qC DX1X3X2 AFPA BqC D 2P1P3PBC D 221232X2=1 A BC D21 1131 X1=1A BC D23 1333 X3=1 力 法 方 程 為 根 據(jù) 前 面 給 出 的 位 移

8、 圖 討 論 力 法 方 程 和 系 數(shù) 的物 理 意 義 。主 系 數(shù) ： 11、 22、 33恒 大 于 零 。副 系 數(shù) ： ij (ij)可 能 大 于 、 等 于 或 小 于 零 。 01313212111 BHPXXX 02323222121 BVPXXX 03333232131 BPXXX i 表 示 位 移 的 方 位 ； j 表 示 產(chǎn) 生 位 移 的 原 因 。 由 位 移 互 等 定 理 ： ij= ji， 即 12= 21， 23= 32， 31= 13。 作 圖 及 MP圖 ， 求 出 力 法 方 程 的 系 數(shù) 和自 由 項 ， 解 方 程 求 出 力 法 未 知

9、量 ， 然 后 根 據(jù) 下 式 求內(nèi) 力 ： M PMXMXMXMM 332211 QPQQQQ FXFXFXFF 332211 NPNNNN FXFXFXFF 332211 三 、 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 支 座 移 動 時 的 力 法 計 算 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 產(chǎn) 生 支 座 移 動 時 的 力 法 計 算 對 理 解力 法 的 解 題 思 路 很 有 幫 助 。 與 靜 定 結(jié) 構(gòu) 不 同 ， 超靜 定 結(jié) 構(gòu) 產(chǎn) 生 支 座 移 動 時 ， 結(jié) 構(gòu) 不 僅 產(chǎn) 生 變 形 ，而 且 有 內(nèi) 力 。 下 面 討 論 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 產(chǎn) 生 支 座 移 動時 力 法 的 解 題 思 路

10、。 原 結(jié) 構(gòu)（ 受 X 1及 支 座 轉(zhuǎn) 角 共 同作 用 ） （ 只 有 X1作 用 ， 支 座 轉(zhuǎn) 角 對 桿 端 A無 影 響 ）A BEI lA BEI l 基 本 體 系 I X1 B 基 本 體 系 IIX1A EI l （ 受 X1及 支 座 轉(zhuǎn) 角 共同 作 用 ）解 ：1） 選 兩 種 基 本 體 系 如 下 圖 示2） 力 法 基 本 方 程位 移 條 件 0BV力 法 方 程 01111 CX A 111X（ 只 有 X1作 用 ， 支 座 轉(zhuǎn) 角 對 桿 端 A無 影 響 ）A BEI l 基 本 體 系 I X1 B 基 本 體 系 IIX1A EI l EIlll

11、lEI 332211 311 EIllEI 332121111 1 1 11 3 2 3/3 ( )C EIX l lEIl 1C RK KF C l 3） 求 系 數(shù) 和 自 由 項4） 求 未 知 力 X1A BM圖lFR 1 X1=1 A BM圖X1=11l 1 11 3/3 ( ) EIX lEIl 5） 作 內(nèi) 力 圖 在 基 本 體 系 II中 ， 若 X1為 逆 時 針 方 向 ， 如 下 圖示 ， 則 力 法 方 程 成 為 ： 111XA BX1=1 M圖lEI3 FQ圖BA 23lEI 23lEIBA 小 結(jié) ：1） 當(dāng) 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 有 支 座 位 移 時 ， 所

12、取 的 基 本 體系 上 可 能 保 留 有 支 座 移 動 ， 也 可 能 沒 有 支 座 移動 。 應(yīng) 當(dāng) 盡 量 取 無 支 座 移 動 的 基 本 體 系 。2） 當(dāng) 基 本 體 系 有 支 座 移 動 時 ， 自 由 項 按 下 式 求解 ： 1C RK KF C RKF 為 基 本 體 系 由 X=1產(chǎn) 生 的 支 座 反 力 ；KC 為 基 本 體 系 的 支 座 位 移 。3） 當(dāng) 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 有 支 座 移 動 時 ， 其 內(nèi) 力 與 桿 件的 抗 彎 剛 度 EI成 正 比 ， EI越 大 ， 內(nèi) 力 越 大 。 例 7-2-1 寫 出 圖 示 剛 架 的 力 法

13、方 程 并 求 出 系 數(shù) iC。解 :1） 取 兩 種 基 本 體 系 如 下 圖 示A CEI lEI l ba 原 結(jié) 構(gòu) 基 本 體 系 I 基 本 體 系 IICAB bX1 X2 AH=-aA= 2） 建 立 力 法 方 程 01212111 CXX 02222121 CXX aXX C 1212111 CXX 2222121討 論 方 程 及 系 數(shù) 的 物 理 意 義 。CAB b CH=0CV=0X1X2a lB C X1=1l1 0 1M 圖基 本 體 系 IA3） 求 自 由 項 lalaC )1(1 本 例 主 要 討 論 自 由 項 的 求 法 ， 其 余 計 算 略

14、 去 。 )()1(2 lblbC lB CX2=1l0 1 2M 圖基 本 體 系 IlA l lbblC )1(2 AB CX2=1 基 本 體 系 II2M 圖l11 1AB C1X1=1 1M 圖基 本 體 系 IIl bbC )1(1 7-3 力 法 舉 例一 、 連 續(xù) 梁 用 力 法 解 連 續(xù) 梁 時 ， 其 基 本 體 系 是 將 桿 在 中 間支 座 處 變 為 鉸 ， 如 下 圖 所 示 。原 結(jié) 構(gòu) B=0 C=0A Bq C Dl l lEI EI EIA Bq C D基 本 體 系X 1 X2 B=0 B左 右 截 面 相 對 轉(zhuǎn) 角 等 于 零 。C=0 C左 右

15、 截 面 相 對 轉(zhuǎn) 角 等 于 零 。位 移 方 程A Bq C D1PA B C DX1=1 11 21A B C DX 2=112 22 1. 力 法 方 程 01212111 BPXX 02222121 CPXX 方 程 各 系 數(shù) 示 于 上 頁 圖 中 。 討 論 方 程 和 系數(shù) 的 物 理 意 義 。2. 方 程 求 解 圖 、 圖 及 MP圖 見 下 頁 圖 示 。 上 述 彎 矩圖 的 一 個 特 征 是 ： 彎 矩 圖 局 部 化 。 1M 2M 02 PEIqlqllEIP 242181321 321 EIllEI 3232121211 EIl3222 EIllEI 6

16、3112112112 A Bq C D82ql MP圖A B C DX1=11 1M 圖A B C DX2=11 2M 圖 31 21 22 03 6 242 06 3l l qlX XEI EI EIl lX XEI EI 21 21 24 044 0qlX XX X 將 系 數(shù) 代 入 力 法 方 程 就 得 到 ：解 方 程 得 ：3. 作 內(nèi) 力 圖 PMXMXMM 22111) 根 據(jù) 下 式 求 各 截 面 M值 ， 然 后 畫 M圖 。21 1 ( )15X ql 22 1 ( )60X ql 2) 根 據(jù) M圖 求 各 桿 剪 力 并 畫 FQ圖 。A B 2151 qlqFQ

17、AB FQBAl0 BM qlqlqllFQAB 3013)152(1 22 qlFQBA 3017A B C D25.5 60ql 2 15ql 2 60ql M圖 0 CM qlqlqllFQBC 121)6015(1 22 qlFQCB 121 B C2151 qlFQBC FQCBl 2601 ql很 容 易 求 得 CD桿 剪 力 為 : qlFF QDCQCD 601A B C D 17 30ql13 30ql 60ql FQ圖12ql 二 、 超 靜 定 剛 架例 7-3-1 求 圖 示 剛 架 M圖 。1. 力 法 方 程 11 1 12 2 121 1 22 2 2 00P

18、BP AX XX X A B CE1I1 lE2I2 l 原 結(jié) 構(gòu)q kIE IE 22 11 AB CX2 基 本 體 系qX1 A=0B=0 kIEqlIEql qllIEP 223113 2111 2424 2181321 02 P2. 方 程 求 解 A B CX1=1 11 1M 圖E1I1 lE2I2 lAB Cq 82qlMP圖 AB CX2=1 1E1I1 lE2I2 l 2M 圖 11 1 1 2 21 1 2 21 1 2 2 1 1 2 2 2 21 1 2 1 1 21 12 3 2 3 13 3 3 3l lEI E IEI E Il l l l kEI E I E

19、IE I E I k 1 12 2( )EI kE I 2222 3 IEl22222112 6311211 IEllIE A B C X1=1 11 1M 圖E1I1 lE2I2 l AB CX2=1 1E1I1 lE2I2 l 2M 圖 21 21 22( 1) 1 042 0k qlX Xk kX X 31 22 2 2 2 2 21 22 2 2 21( ) 03 6 24 06 3l k l qlX XE I k E I E I kl lX XE I E I 將 求 得 的 系 數(shù) 代 入 力 法 方 程 就 得 到 ：解 方 程 得 ： 2 1 1 1 ( )2 3 4X ql k

20、 22 1 1 ( )4 3 4X ql k 3. 討 論1） 當(dāng) k=0， 即 E1I1很 小 或 E2I2很 大 ， 則2 21 28 16ql qlX X 剛 架 彎 矩 圖 為 ： 可 見 ， 柱 AB相 當(dāng) 于 在 橫 梁BC的 B端 提 供 了 固 定 約 束 。M圖A B C 281ql 2161 ql2161 ql B C281ql 2161 ql 2） 當(dāng) k=1， 剛 架 彎 矩 圖 如 圖 a)示 。3） 當(dāng) k=， 即 E1I1很 大 或 E2I2很 小 。 由 于 柱 AB抗彎 剛 度 趨 近 于 零 ， 只 提 供 軸 向 支 撐 ， 故 梁 BC相 當(dāng)于 簡 支

21、梁 ， M圖 見 圖 b)。A B C2141 ql 2565 ql 2281 ql a) M圖 AB C281qlb) M圖 結(jié) 論 ： 在 荷 載 作 用 下 ， 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 內(nèi) 力 只 與 各 桿 抗彎 剛 度 EI的 比 值 k 相 關(guān) ， 而 與 桿 件 抗 彎 剛 度 EI的 絕對 值 無 關(guān) 。 若 荷 載 不 變 ， 只 要 k 不 變 ， 結(jié) 構(gòu) 內(nèi) 力也 不 變 。 三 、 超 靜 定 桁 架 以 下 圖 示 桁 架 為 例 討 論 兩 種 基 本 體 系 的 處 理方 法 。 除 注 明 者 外 ， 其 余 各 桿 剛 度 為 EA。E1A1原 結(jié) 構(gòu)FP a

22、 a 基 本 體 系 I：力 法 方 程 ： 01111 PX 力 法 方 程 的 物 理 意 義 是 ：基 本 結(jié) 構(gòu) 在 荷 載 和 X1共 同 作用 下 ， 桿 AB切 口 左 右 截 面相 對 于 水 平 位 移 等 于 零 。 基本 結(jié) 構(gòu) 中 包 括 AB桿 。 基 本 體 系 IFP A BX1a aX1X1 基 本 體 系 II：力 法 方 程 ：/11 1 1 11 1/ 11 1 11 1( ) 0P PaX XEAa XEA 力 法 方 程 的 物 理 意 義 是 ： 基 本 結(jié) 構(gòu) 在 荷 載 和 X1共 同 作 用 下 ， 結(jié) 點 A、 B相 對 水 平 位 移 等

23、于 桿 AB的 伸 長 ， 但 符 號 相 反 。 基 本 結(jié) 構(gòu) 中 不 包 括 AB桿 。A B基 本 體 系 IIX1FP a a X1X1 例 7-3-2 求 上 圖 示 桁 架 各 桿 軸 力 ， 各 桿 EA相 同 。根 據(jù) 上 述 基 本 體 系 I求 得 各 桿 FNP及 標(biāo) 于 圖 中 。1NFA BFP a aFPFP 00 0 PF2 FNP圖 A Ba a11 1 12 X1=1 2圖1NF解 : 01111 PX 2111 1 2 ( 2) ( 2) 2 4 1 11 4 (1 2)4 4 2 NF l a aEA EA aa aEA EA 11 1 ( 2 ) (

24、2) 2 2 1 2 (1 2)N NPP P PPF F l F a F aEA EAF aEA 1 1 11 2 (1 2)/ 4 (1 2)1 ( )2 PP P F a EAX EA aF 壓 求 得 未 知 量 后 ， 桁 架 各 桿 軸 力 按 下 式 計 算 ：NPNN FXFF 11 PF22 PF21PF21 PF22PF21 PF21FN圖 四 、 排 架 E1I1E2I2 E1I1E2I2EA 例 7-3-3 求 圖 示 排 架 M圖 。EI EI原 結(jié) 構(gòu)5kN/m EA EIEA 6m2m 排 架 結(jié) 構(gòu) 求 解 時 ， 通 常 切 斷 鏈 桿 以 得 到 力 法 基

25、 本結(jié) 構(gòu) 。 這 樣 ， MP圖 和 圖 局 部 化 ， 求 解 力 法 方 程系 數(shù) 比 較 簡 單 。 1M 解 ：1） 基 本 體 系 和 力 法 方 程11 1 12 2 121 1 22 2 2 00PPX XX X 基 本 體 系5kN/m X2X1MP圖90kN.m2） 求 系 數(shù) 和 自 由 項 方 程 物 理 意 義 ：橫 梁 切 口 左 右 截 面相 對 水 平 位 移 等 于零 。 EIEIP 8106439063111 EIEI 144)63266212(111 X1=16 X2=1286 1M 圖 2M 圖 2 8EIEI 108)231832(66211 2112

26、 EIEI 31024)382(1 322 2 0P 1 7.375 ( )X kN 2 2.334 ( )X kN 4） 作 M圖 M圖 (kN.m)1.475m45.75 25.58 18.674.675.443） 求 多 余 未 知 力1 21 2144 108 810 0108 1024 03X XEI EI EIX XEI EI 1 21 2144 108 810 0324 1024 0X XX X 五 、 單 跨 超 靜 定 梁 有 支 座 移 動 時 的 彎 矩 圖 桿 件 抗 彎 剛 度 EI與 桿 長 l的 比 值 稱 為 線 剛 度 ， 用符 號 i表 示 。 /i EI

27、l AX 11111 1 1 212 3 3llEI EI 1) A Bi lAA BM圖X1=11 i l A BMAB=3iA M圖FQ圖li A3A B 1 3 3 ( )A AEIX il 2) 111X 311 3lEI 1 3 23 3 ( )EI iX l l A Bi l A BM圖 X1=1l A BM圖FQ圖23il A B liMAB 3 0222121 212111 XX XX A EIl32211 EIl62112 02 62 21 21 XX lEIXX A3) A BMBA=2iAM圖FQ圖 6 Ail A BMAB=4iA12 4 ( )2 ( )AAX iX

28、iA Bi lAA BX1 i l X2 A BX1=11 1M 圖A B1X2=12M 圖 222121 212111 0XX XX 311 22 3l lEI EI EIl2 22112 1 21 2 32 03 62X Xl EIX Xl l 4)A Bi l A BX2 =1lA BX1 X2i l 2M 圖A BX1=1 11M 圖1 22 3 26 6 ( )12 12 ( )EI iX l lEI iX l l A BM圖 FQ圖 212l iA B liMAB 6 liMAB 6依 據(jù) 3)， 很 容 易 得 到右 圖 示 內(nèi) 力 圖 。 A BMBA=4iBM圖F Q圖6 B

29、ilA BMAB=2iB5)A Bi l B 11 1 11A lX EI 6) A BM圖 Ai1 ( )AX i 1M 圖A Bi lX1=1A Bi lA 7-4 力 法 簡 化 計 算一 、 力 法 簡 化 計 算 的 思 路 若 一 個 結(jié) 構(gòu) 的 超 靜 定 次 數(shù) 為 n， 則 在 荷 載 作 用下 其 力 法 方 程 為 ： 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2 . 0. 0. 0n n Pn n Pn n nn n nPX X XX X XX X X 在 上 列 方 程 中 ， 主 系 數(shù) ii恒 大 于 零 ， 副 系 數(shù) ij（ ij） 則

30、可 能 大 于 零 、 等 于 零 或 小 于 零 。 若 能 使 全 部 副 系 數(shù) ij等 于 零 ， 則 方 程 組 解 耦 ，力 法 方 程 變 為 ： 0.00 11 2121 1111 nPn PPXXX 即 使 不 能 使 全 部 副 系 數(shù) 等 于 零 ， 若 能 使 大 部分 副 系 數(shù) 等 于 零 ， 則 力 法 計 算 也 將 大 大 簡 化 。所 以 ， 力 法 簡 化 計 算 的 目 的 ： 使 盡 可 能 多 的 副系 數(shù) 等 于 零 。 二 、 非 對 稱 結(jié) 構(gòu) 的 簡 化 計 算 對 于 非 對 稱 結(jié) 構(gòu) ， 為 簡 化 計 算 ， 應(yīng) 盡 量 使 圖及 M

31、P圖 局 部 化 ， 以 簡 化 方 程 系 數(shù) 的 計 算 。 所 以 ，取 基 本 結(jié) 構(gòu) 時 應(yīng) 考 慮 這 一 因 素 。 MA Bq C D連 續(xù) 梁 基 本 體 系X2 X3X1 排 架 結(jié) 構(gòu)基 本 體 系X2X1EA EA 多 跨 剛 架基 本 體 系2X 3X1X 6X 5X 4X7X 8X 9X 三 、 對 稱 結(jié) 構(gòu) 的 簡 化 計 算 對 稱 結(jié) 構(gòu) ： 結(jié) 構(gòu) 的 幾 何 形 狀 、 支 承 條 件 、 桿 件的 材 料 性 質(zhì) 及 桿 件 的 剛 度 均 關(guān) 于 某 軸 對 稱 就 稱 為對 稱 結(jié) 構(gòu) 。 用 力 法 解 對 稱 結(jié) 構(gòu) ， 應(yīng) 取 對 稱 的 基

32、 本結(jié) 構(gòu) ， 只 有 這 樣 才 能 簡 化 計 算 。1. 對 稱 結(jié) 構(gòu) 在 對 稱 荷 載 作 用 下 的 簡 化 計 算 FPaal/2 aFP FPl/2EI 1 h EI1 h原 結(jié) 構(gòu) 3X 1X2XFP FP基 本 體 系 FP FP對 稱FPa MP圖EI2 l/2X1， X2 對 稱 未 知 力 X3 反 對 稱 未 知 力根 據(jù) ， MP圖 的 對 稱 性 或 反 對 稱 性 可 知 ：M 0,0,0 332233113 P于 是 ， 原 力 法 方 程 變 為 ：11 1 12 2 121 1 22 2 233 3 000PPX XX X X 03 X對 稱 1 11

33、 X11M 圖 對 稱h h12 X2M 圖 反 對 稱l/2 3M 圖 13 X 結(jié) 論 ： 對 稱 結(jié) 構(gòu) 在 對 稱 荷 載 作 用 下 ， 其 反 對 稱 未知 力 為 零 ， 只 有 對 稱 未 知 力 。2. 對 稱 結(jié) 構(gòu) 在 反 對 稱 荷 載 作 用 下 的 簡 化 計 算al/2 aFP FPl/2EI1 h EI1 h原 結(jié) 構(gòu) 3X 1X2XFP FP基 本 體 系 FP FP反 對 稱 FPaFPa MP圖EI2 根 據(jù) ， MP圖 的 對 稱 性 或 反 對 稱 性 可 知 ：M 0,0,0,0 2132233113 PP于 是 ， 原 力 法 方 程 變 為 ：1

34、1 1 12 221 1 22 2 33 3 3 000PX XX XX 3333 /PX 對 稱1 11 X11M 圖 對 稱 12 X2M 圖 反 對 稱l/2 13 X l/2h h 對 于 前 兩 個 方 程 組 成 的 方 程 組 ， 因 其 右 端 項 為零 ， 且 系 數(shù) 行 列 式 的 值 通 常 不 等 于 零 ， 即11 1221 22 0 結(jié) 論 ： 對 稱 結(jié) 構(gòu) 在 反 對 稱 荷 載 作 用 下 ， 其 對 稱 未知 力 為 零 ， 只 有 反 對 稱 未 知 力 。于 是 ， 方 程 組 只 有 零 解 ： X1=0， X2=0。 3. 奇 數(shù) 跨 或 偶 數(shù) 跨

35、 對 稱 結(jié) 構(gòu) 的 處 理 若 對 稱 結(jié) 構(gòu) 是 奇 數(shù) 跨 ， 則 有 與 對 稱 軸 相 交 之 截面 。 切 開 該 截 面 ， 則 該 截 面 的 未 知 力 分 為 兩 組 ：對 稱 未 知 力 和 反 對 稱 未 知 力 。 若 荷 載 對 稱 或 反 對稱 ， 則 按 前 述 方 法 處 理 。 3X 1X2X 3X2X 1XX1, X2為 對 稱 未 知 力 ; X3為 反 對 稱 未 知 力 。 若 對 稱 結(jié) 構(gòu) 是 偶 數(shù) 跨 ， 則 不 存 在 與 對 稱 軸 相 交之 截 面 ， 此 時 應(yīng) 根 據(jù) 荷 載 情 況 分 別 處 理 ：1） 對 稱 荷 載 。 對

36、稱 結(jié) 構(gòu) 在 該 對 稱 荷 載 作 用 下 ， 其內(nèi) 力 和 位 移 均 對 稱 。 FPFP FP原 結(jié) 構(gòu) FP 基 本 體 系 2X 3X1X 2X3X1X 2） 反 對 稱 荷 載 。 對 稱 結(jié) 構(gòu) 在 反 對 稱 荷 載 作 用 下 ，其 內(nèi) 力 和 位 移 均 反 對 稱 。FP FP原 結(jié) 構(gòu) FP 基 本 體 系 2X 3X1X 2X3X1X FP 4. 非 對 稱 荷 載 的 處 理對 稱 結(jié) 構(gòu) 通 常 作 用 有 非 對 稱 荷 載 ， 處 理 方 法 為 ：1） 非 對 稱 荷 載 分 解 為 對 稱 荷 載 和 反 對 稱 荷 載 分別 計 算 ， 然 后 疊

37、加 兩 種 情 況 的 結(jié) 果 。a aEI1 EI1對 稱 荷 載 a aFP/2 FP /2EI1 EI1反 對 稱 荷 載EI2al/2FP l/2EI1 EI1原 結(jié) 構(gòu) FP/2 FP /2= +EI2EI2 2） 荷 載 不 分 解 ， 只 取 對 稱 基 本 體 系 。al/2FP l/2EI1 EI1原 結(jié) 構(gòu) 3X 1X2XFP 基 本 體 系 FPFpa MP圖EI2 對 稱 根 據(jù) ， MP圖 的 對 稱 性 或 反 對 稱 性 可 知 ：M 0,0 32233113 于 是 ， 原 力 法 方 程 變 為 ：11 1 12 2 121 1 22 2 233 3 3 00

38、0PPPX XX XX l/2對 稱1 11 X11M 圖 對 稱 12 X2M 圖 反 對 稱l/2 13 X3M 圖 5. 組 合 未 知 力 （ 廣 義 未 知 力 ）結(jié) 合 下 圖 示 剛 架 進 行 說 明 。EI1原 結(jié) 構(gòu)q EI2EI1 hl/2l/2 EI1基 本 體 系q EI2EI1X1X2 X1X2 02112 力 法 方 程 為 ： 002222 1111 PPXX 2222 1111 /PPXX q X1=1 l221qlMP圖 X1=1對 稱1M 圖X 2=1 2l X2=1ll2M 圖 反 對 稱 在 上 題 中 ， X1實 質(zhì) 上 是 對 稱 結(jié) 構(gòu) 在 對

39、稱 荷 載 作 用下 產(chǎn) 生 的 未 知 力 ， 而 X2則 是 反 對 稱 荷 載 產(chǎn) 生 的 未 知力 。 EI1對 稱 荷 載EI2EI1 l/2l/2X1 X1q/2 EI1反 對 稱 荷 載EI2EI1 l/2l/2X2 X2q/2 q/2 四 、 舉 例例 7-4-1 右 圖 示 結(jié) 構(gòu) ，討 論 用 力 法 簡 化 計 算 。 將 荷 載 分 解 為 對 稱 荷載 和 反 對 稱 荷 載 。 在 對稱 結(jié) 點 荷 載 作 用 下 ， 由于 不 考 慮 桿 件 的 軸 向 變形 ， 其 M等 于 零 。 在 反對 稱 結(jié) 點 荷 載 作 用 下 ，只 有 一 個 未 知 量 X 1

40、。 FP EI EI原 結(jié) 構(gòu)EI EI2EI2EI FP/2EI EI對 稱 荷 載EI EI2EI2EI EI EI反 對 稱 荷 載EI EI2EI2EIFP/2A BFN= -FP/2 FP/2FP/2 X2=0X1=0X 40X3=0 FP/2FP/20M 圖 示 對 稱 結(jié) 構(gòu) ， 各桿 EI相 同 ， 討 論 力法 的 簡 化 計 算 。解 ：將 荷 載 分 為 兩 組 ：第 一 組 荷 載 關(guān) 于 x和 y 軸 都 對 稱 ， 見圖 b)。 第 二 組 荷 載關(guān) 于 y 軸 對 稱 ， 關(guān)于 x 軸 反 對 稱 ， 見下 頁 圖 c)。 ya a aA B0 4FP2FP 2F

41、Pa） 2FPF P FPb） 2FP FPFP xFN= -FP FN= -2FP FN= -FPM=0 例 7-4-2 由 于 不 考 慮 桿 件 的 軸向 變 形 ， 圖 b) 荷 載作 用 下 各 桿 彎 矩 等 于零 。 圖 c) 荷 載 關(guān) 于 x軸 反 對 稱 ， 切 開 與 x軸 相 交 的 截 面 ， 未 知力 分 為 兩 組 ： 對 稱 未知 力 X1， X2以 及 反 對稱 未 知 力 X3。 所 以 對稱 未 知 力 X1， X2等 于零 ， 只 有 反 對 稱 未 知力 X 3， 如 圖 d)所 示 。 y X 1=0X1=0 2FPFP FPc） 2FP FPFP

42、x2FPF P FPd） 2FP FPFP y xX30X2=0 X30X2=0 7-5 溫 度 變 化 及 有 彈 簧 支 座 結(jié) 構(gòu) 的計 算一 、 溫 度 變 化 時 的 計 算下 面 通 過 例 題 進 行 說 明 。例 7-5-1 圖 示 剛 架 ， 混 凝土 澆 筑 時 溫 度 為 15。 ，到 冬 季 時 室 外 溫 度 為 -35 。 ， 室 內(nèi) 保 持 不 變 ， 求 M圖 。 各 桿 EI相 同 ， 線 膨 脹系 數(shù) 為 。 原 結(jié) 構(gòu)8m 6mC50 C0 C 0C0C50 C500.6m0.4m X1=11) 溫 度 改 變 值 ： Ct 5015351 Ct 0151

43、52 所 以 Ct 50|050| Ct 252/)050(0 2) 力 法 方 程 01111 tX11 1 1 2(2 6 6 62 31 4326 8 6) (144 288)EI EI EI 基 本 體 系C50 C0 C0C0C50 C50X166 1NF 1M 圖 解 ：3) 求 未 知 力 1 0( )50 1 (2 6 6 6 8) ( 25) ( 1) 80.6 2( 7000 200) 6800t Nt Mdx t F dxh 1 1 11/ 6800 43215.74 ( )t EIX EI 4) 作 彎 矩 圖 1XMM 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 在 溫 度 變 化 或 支座

44、 移 動 作 用 下 ， 桿 件 內(nèi) 力 與桿 件 抗 彎 剛 度 EI成 正 比 。 94.4EI 94.4EIM圖 二 、 具 有 彈 簧 支 座 結(jié) 構(gòu) 的 力 法 求 解 彈 簧 支 座 分 為 拉 壓 彈 簧 支 座 和 轉(zhuǎn) 動 彈 簧 支 座 兩類 ， 如 下 圖 示 。 FP PFk拉 壓 彈 簧 支 座 M Mk 轉(zhuǎn) 動 彈 簧 支 座 解 ： 1) 將 拉 壓 彈 簧 與 桿 端 C分開 ， 取 基 本 體 系 如 圖 示 。01111 PX2) 力 法 方 程 111111 111 311 1 2M dxEIlk EI 3) 求 系 數(shù) 和 自 由 項 例 7-5-2 求

45、下 圖 示 剛 架 M圖 。 AB CEI lEI l 原 結(jié) 構(gòu)q 32lEIk EI lAB CEI lq 32lEIk 基 本 體 系 X1 EIl llllllEI34 )3221(1311 EIlk 21 311 11 11 113 3 34 113 2 6l l lEI EI EI EIql llqlllqlEIP 85 )21432131(1 4 221 AB CqMP圖212ql AB C 32EIk lX1=1k11M 圖l l 4) 求 未 知 量 并 作 彎 矩 圖 若 基 本 體 系 保 留 有 彈 簧 支 座 ， 則 求 方 程 的 系數(shù) 比 較 繁 瑣 ， 應(yīng) 盡

46、量 避 免 。 詳 見 下 面 的 例 。AB Cq0.159 0.0455(ql2)M圖41 1 11 35 6/ 8 1115 0.341 ( )44 P ql EIX EI lql ql 01111 PX 111111 111 PPP 例 7-5-3 求 下 圖 示 具 有 彈 簧 支 座 梁 的 M圖 。解 ： 1) 基 本 體 系 見 圖 b)。2) 力 法 方 程 ：3) 求 系 數(shù) 和 自 由 項 ：A BEI lq 32EIk la) 原 結(jié) 構(gòu) A BEI lq 32EIk lb) 基 本 體 系X1 4 31 ( )/4 4P ql qllEI EI EIldxEIM 31

47、11 211 12 2l lEI l EI EIlEIlEIl 653211 A BX1=1產(chǎn) 生 的 變 形 圖X1=1 EIlkl 2/1 211 1111A Bq 1P1PP1 EIqlkql 4/2 4荷 載 產(chǎn) 生 的 變 形 圖 A BX1=1 1 1M 圖 4 31 ( )/4 4P ql qllEI EI EIqlqllEIP 242181321 321 EIqlEIqlEIqlP 247424 3331 4） 求 未 知 力 并 作 M圖 31 1 112 7 6/ 24 57 ( )20 P ql EIX EI lql A B q 82qlMp圖A B207 2ql 202

48、ql 8009 2qlM圖A BX1=11 1M 圖 7-6 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 位 移 計 算 及 力 法計 算 校 核一 、 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 位 移 計 算 用 力 法 求 出 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 內(nèi) 力 后 ， 欲 求 某 截面 的 位 移 ， 則 單 位 荷 載 可 以 加 在 任 選 的 基 本 體系 上 ， 即 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 位 移 計 算 可 以 在 任 選 的基 本 體 系 上 進 行 。 對 于 某 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) ， 所 選 取 的 各 種 基 本 體 系在 外 因 （ 荷 載 、 溫 度 變 化 、 支 座 移 動 ） 以 及 未知 力 X共

49、 同 作 用 下 ， 其 內(nèi) 力 和 變 形 與 原 結(jié) 構(gòu) 完 全相 同 。 所 以 求 原 結(jié) 構(gòu) 的 位 移 就 轉(zhuǎn) 化 為 求 基 本 體系 的 位 移 。 02 y例 7-6-1 求 梁 中 點 豎 向 位 移 CV， EI為 常 數(shù) 。解 ：1) 單 位 荷 載 加 在 原 結(jié) 構(gòu) 上2 3 2 31 223 2 8 24 2 12 24l ql ql l ql ql 32 8838851 l lly )(384322422 4311 EIqllqlEIyEICV 原 結(jié) 構(gòu)A Bql/2 l/2C l/8CA B 122ql122ql 242qlCA B1l/8 l/8M圖M圖1

50、2 y1y2 基 本 體 系 I2) 單 位 荷 載 加 在 基 本 體 系 I上8421 248232 22 321 lll qlqll 12325 221 qly ly 3 2 2 4 1 1 2 21 1 52 2 ( )24 32 8 12 384CV ql l l ql qly yEI EI EI （ ） （ ） A BqC 1221 qlX 1221 qlX CA B122ql122ql 242qlCA B1l/4 M圖M圖1 2y1 y2 基 本 體 系 II3） 單 位 荷 載 加 在 基 本 體 系 II上248232 24122 322 321 qlqll qlqll 16

51、3283421 lly ly 3 3 1 1 2 2 4 4 41 1 324 4 24 161 3( ) ( )96 384 384CV ql l ql ly yEI EI ql ql qlEI EI （ ） （ ） A BqC 1221 qlX 22 qlX CA B 122ql122ql 242qlCA B1l/2 M圖M圖21 y2y1 例 7-6-2 求 圖 示 剛 架 結(jié) 點 水 平 位 移 DH， 各 桿EI如 圖 示 。解 ： 單 位 荷 載 分 別 加 在 四 種 基 本 體 系 上 ， 顯 然 基本 體 系 1的 計 算 最 簡 單 （ 見 下 頁 圖 ） 。 )(4.11

52、34.23316.3032(662121 EIEI DH ）2EI 2EI7kN/m 3EI 6m6mAC DB AC DB14.431.557.6 30.6 23.4M圖(kN.m) X1 67kN/m AC DB基 本 體 系 1 AC DB 11M 圖67kN/m C DB基 本 體 系 2X 1 X2X3X2 X3 C DBA A 12M 圖 3M 圖 4M 圖 37kN/m C DB基 本 體 系 3X3X2 X1 C DBA A 13 367kN/m C DB基 本 體 系 4X 3X1 X2 C DBA A 16 二 、 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 內(nèi) 力 圖 的 校 核 超 靜 定 結(jié)

53、 構(gòu) 內(nèi) 力 圖 的 校 核 ， 除 了 校 核 求 得 的M、 FQ、 FN是 否 滿 足 平 衡 條 件 外 ， 最 主 要 的 是 變形 條 件 的 校 核 。 只 有 既 滿 足 平 衡 條 件 又 滿 足 變 形協(xié) 調(diào) 條 件 的 解 答 才 是 超 靜 定 結(jié) 構(gòu) 正 確 的 解 答 。 在 進 行 變 形 條 件 的 校 核 時 ， 通 常 選 擇 原 結(jié) 構(gòu) 位移 等 于 零 的 截 面 進 行 校 核 ， 也 就 是 進 行 超 靜 定 結(jié)構(gòu) 的 位 移 計 算 。 如 下 圖 連 續(xù) 梁 ， 可 以 校 核 BV 、 CV、 DV是否 等 于 零 ， 也 可 以 校 核 A

54、、 B、 C是 否 等 于零 。 校 核 A1M 圖3M 圖校 核 DVA B C D1A B C D1 2M 圖校 核 BA B C D1 M圖A B C D 100 對 于 如 下 圖 示 封 閉 型 剛 架 ， 可 以 得 到 位 移 校 核的 簡 單 公 式 。 梁 、 柱 長 均 為 6m。 M圖 上 圖 封 閉 剛 架 已 求 得 彎 矩 圖 ， 為 驗 算 E左 右 截面 相 對 轉(zhuǎn) 角 E是 否 等 于 零 ， 切 開 E截 面 ， 加 上 一對 單 位 集 中 力 偶 ， 得 到 圖 ， 則MAC DB14.431.557.6 30.6 23.4M圖(kN.m) AC DB1

55、11 1E2EI 2EI3EI 0dxEIMdxEIMME 由 上 式 得 出 結(jié) 論 ， 當(dāng) 結(jié) 構(gòu) 只 受 荷 載 作 用 時 ，沿 封 閉 剛 架 M/EI圖 形 的 面 積 之 和 等 于 零 。 在 計 算 M/EI的 面 積 之 和 時 ， 規(guī) 定 剛 架 外 側(cè) 的面 積 為 正 ， 剛 架 內(nèi) 側(cè) 的 面 積 為 負 ， 或 者 相 反 。 1 1 1( 6 57.6 6 14.42 2 22 6 31.5)31 1 1( 6 23.4 6 14.43 2 21 1 1( 6 23.4 6 30.62 2 21 27 21.6(172.8 43.2 126)2 3 21.8 9

56、 10.8 0E EIEIEIEI EI EIEI EI EI ） M圖 (kN.m)AC DB14.431.557.6 30.6 23.42EI 2EI3EI 例 7-6-3 判 斷 如 下 圖 a)所 示 彎 矩 圖 是 否 正 確 。顯 然 ， ， 可 知 M圖 有 錯 誤 。0 DBC dxEIMM A B C D M圖a)A B C D M圖b) 1 例 7-6-4 判 斷 如 下 圖 a)所 示 結(jié) 構(gòu) 結(jié) 點 D水 平 位 移 的方 向 。解 ： 取 圖 b)所 示 基 本 體 系 ， 在 結(jié) 點 D加 單 位 水 平 荷載 ， 作 圖 。M 1 0( )2DH yEI 可 見 ， 結(jié) 點 D水 平 位 移 方 向 向 右 。AC DB14.431.557.6 30.6 23.4a) M圖 (kN.m)2EI 2EI3EI AC DB 16Mb) 圖 y