（江蘇專用）高考數學總復習 第九篇 解析幾何初步《第57講　直線與圓、圓與圓的位置關系綜合運用 》理（含解析） 蘇教版

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1、 A級　基礎達標演練 (時間：45分鐘　滿分：80分) 一、填空題(每小題5分，共35分) 1．直線y＝x繞原點按逆時針方向旋轉30°，則所得直線與圓(x－2)2＋y2＝3的位置關系是________． 解析　由題意可得旋轉30°后所得直線方程為y＝x，由圓心到直線距離可知是相切關系． 答案　相切 2．曲線y＝與直線y＝x＋b有公共點，則實數b的取值范圍是________． 答案　[－3,1] 3．已知實數x，y滿足則點(x，y)到圓(x＋2)2＋(y－6)2＝1上點的距離的最小值是________． 答案　4－1 4．已知直線ax＋by＋c＝0與圓O：x2＋y2＝1相

2、交于A，B兩點，且AB＝，則·＝________. 解析　由題可知∠AOB＝120°，所以·＝||·||·cos 120°＝－. 答案?。? 5．已知x，y滿足x2＋y2－4x－6y＋12＝0，則x2＋y2最小值為________． 解析　法一　點(x，y)在圓(x－2)2＋(y－3)2＝1上，故點(x，y)到原點距離的平方即x2＋y2最小值為(－1)2＝14－2. 法二　設圓的參數方程為則x2＋y2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x2＋y2的最小值為14－＝14－2. 答案　14－2 6．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有兩個點到直線4x－3y－2＝0的距離等

3、于1，則半徑r的取值范圍為________． 解析　由圓心(3，－5)到直線的距離d＝＝5，可得4＜r＜6. 答案　(4,6) 7．已知曲線C：(x－1)2＋y2＝1，點A(－2,0)及點B(3，a)，從點A觀察點B，要使視線不被曲線C擋住，則實數a的取值范圍是________． 解析　設過A點的⊙C的切線是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0. 由＝1，得k＝±. 當x＝3時，y＝5k＝±. 答案　∪ 二、解答題(每小題15分，共45分) 8．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0. (1)若此方程表示圓，求實數m的取值范圍； (2)若(1)中的圓與直線x＋2y－

4、4＝0相交于M，N兩點，且OM⊥ON(O為坐標原點)，求實數m的值； (3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程． 解　(1)原圓的方程可化為(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，所以m＜5. (2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，則x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2. 因為OM⊥ON，所以x1x2＋y1y2＝0， 所以16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0， ① 由 得5y2－16y＋m＋8＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝，代入①得m＝. (3)以MN為直徑的圓的方程為 (x－x1)(x－x2)＋

5、(y－y1)(y－y2)＝0， 即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0. 所以所求圓的方程為x2＋y2－x－y＝0. 9．(2010·南京調研)已知以點C(t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點． (1)求證：△OAB的面積為定值； (2)設直線y＝－2x＋4與圓C交于點M，N，若OM＝ON，求圓C的方程． (1)證明　∵圓C過原點O，∴OC2＝t2＋. 設圓C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋， 令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t. ∴S△OAB＝OA·OB＝××|2t|＝4， 即△OAB的面

6、積為定值． (2)解　∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分線段MN. ∵kMN＝－2，∴kOC＝， ∴直線OC的方程是y＝. ∴＝t，解得t＝2或t＝－2. 當t＝2時，圓心C的坐標為(2,1)，OC＝，此時圓心C到直線y＝－2x＋4的距離d＝＜，圓C與直線y＝－2x＋4相交于兩點． 當t＝－2時，圓心C的坐標為(－2，－1)，OC＝，此時圓心C到直線y＝－2x＋4的距離d＝＞，圓C與直線y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合題意舍去． ∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5. 10．如圖，已知圓心坐標為(，1)的圓M與x軸及直線y＝x分別相切于A、B兩點，另一圓N與

7、圓M外切，且與x軸及直線y＝x分別相切于C、D兩點． (1)求圓M和圓N的方程； (2)過點B作直線MN的平行線l，求直線l被圓N截得的弦的長度． 解　(1)由于⊙M與∠BOA的兩邊均相切，故M到OA及OB的距離均為⊙M的半徑，則M在∠BOA的平分線上，同理，N也在∠BOA的平分線上，即O，M，N三點共線，且OMN為∠BOA的平分線． ∵M的坐標為(，1)，∴M到x軸的距離為1，即⊙M的半徑為1，則⊙M的方程為(x－)2＋(y－1)2＝1， 設⊙N的半徑為r，其與x軸的切點為C，連接MA、NC， 由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM∶ON＝MA∶NC， 即＝?r＝3，則OC

8、＝3， 故⊙N的方程為(x－3)2＋(y－3)2＝9. (2)由對稱性可知，所求的弦長等于點過A的直線MN的平行線被⊙N截得的弦長，此弦的方程是y＝(x－)，即x－y－＝0，圓心N到該直線的距離d＝， 則弦長為2＝. B級　綜合創(chuàng)新備選 (時間：30分鐘　滿分：60分) 一、填空題(每小題5分，共30分) 1．(2011·濟寧模擬)過點(－2,0)且傾斜角為的直線l與圓x2＋y2＝5相交于M，N兩點，則線段MN的長為________． 解析　l方程為x－y＋2＝0，圓心到l距離為d＝＝，所以MN＝2＝2. 答案　2 2．圓C：x2＋y2＋2x－2y－2＝0的圓心到直線3x＋

9、4y＋14＝0的距離是________． 解析　圓心為(－1,1)，它到直線3x＋4y＋14＝0的距離d＝＝3. 答案　3 3．若過點A(0，－1)的直線l與曲線x2＋(y－3)2＝12有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為________． 解析　該直線l的方程為y＝kx－1，即kx－y－1＝0，則由題意，得d＝≤2，即k2≥，解得k≤－或k≥. 答案　∪ 4．若直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有公共點，則過點(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點個數為________． 解析　由題意可知，圓心O到直線mx＋ny＝4的距離大于半徑，即得m2＋n2<4，所以點(m，n)在圓O

10、內，而圓O是以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓，故點(m，n)在橢圓內，因此過點(m，n)的直線與橢圓必有2個交點． 答案　2 5．如果圓C：(x＋a)2＋(y－a)2＝18上總存在兩個點到原點的距離為，則實數a的取值范圍是________． 解析　由題意，圓C上總存在兩個點到原點的距離，即圓C與以O為圓心，半徑為的圓總有兩個交點，即兩圓相交，所以有|3－|＜|CO|＜3＋，即2＜|a|＜4，解得－4＜a＜－2或2＜a＜4. 答案　(－4，－2)∪(2,4) 6．直線l：ax－by＋8＝0與圓C：x2＋y2＋ax－by＋4＝0(a，b為非零實數)的位置關系是________．

11、解析　圓的標準方程為2＋2＝－4，且－4＞0，即a2＋b2＞16，圓心C到直線ax－by＋8＝0的距離d＝＝＜＝＝r(r是圓C的半徑，則直線與圓相交)． 答案　相交 二、填空題(每小題15分，共30分) 7．(2011·鹽城調研)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C由圓弧C1和圓弧C2相接而成，兩相接點M、N均在直線x＝5上，圓弧C1的圓心是坐標原點O，半徑為13，圓弧C2過點A(29,0)． (1)求圓弧C2的方程； (2)曲線C上是否存在點P，滿足PA＝PO？若存在，指出有幾個這樣的點；若不存在，請說明理由； (3)已知直線l：x－my－14＝0與曲線C交于E、F兩點

12、，當EF＝33時，求坐標原點O到直線l的距離． 解　(1)圓弧C1所在圓的方程為x2＋y2＝169. 令x＝5，解得M(5,12)，N(5，－12)． 則線段AM的中垂線的方程為y－6＝2(x－17)． 令y＝0，得圓弧C2所在圓的圓心為O2(14,0)， 又圓弧C2所在圓的半徑為r2＝29－14＝15，所以圓弧C2的方程為(x－14)2＋y2＝225(x≥5)． (2)假設存在這樣的點P(x，y)，則由PA＝PO，得x2＋y2＋2x－29＝0. 由解得x＝－70(舍)． 由解得x＝0(舍)． 綜上知這樣的點P不存在． (3)因為EF＞2r2，EF＞2r1，所以E、F兩點分

13、別在兩個圓弧上． 設點O到直線l的距離為d. 因為直線l恒過圓弧C2所在圓的圓心(14,0)， 所以EF＝15＋＋， 即＋＝18，解得d2＝. 所以點O到直線l的距離為. 8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知F1(－4,0)，F2(4,0)，A(0,8)，直線y＝t(0＜t＜8)與線段AF1，AF2分別交于點P，Q. (1)當t＝3時，求以F1，F2為焦點，且過PQ中點的橢圓的標準方程； (2)過點Q作直線QR∥AF1交F1F2于點R，記△PRF1的外接圓為圓C. 求證：圓心C在定直線7x＋4y＋8＝0上． (1)解　當t＝3時，PQ中點為(0,3)，所以b＝3，又橢圓焦點為F1(－4,0)，F2(4,0)，所以c＝4，a2＝b2＋c2＝25，所以橢圓的標準方程為＋＝1. (2)證明　因為Q在直線AF2：＋＝1上，所以Q. 由P與Q關于y軸對稱，得P，又由QR∥AF1，得R(4－t,0)． 設△PRF1的外接圓方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則有 解得 所以該圓的圓心C滿足7×＋4＋8＝8－8＝0，即圓心C在直線7x＋4y＋8＝0上．