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1、考綱要求考綱研讀1.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題2會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.近幾年的高考試題增強了對密切聯(lián)系生產和生活實際的應用性問題的考查力度主要有兩種方式：(1)線性規(guī)劃問題：求給定可行域的面積；求給定可行域的最優(yōu)解；求目標函數(shù)中參數(shù)的范圍(2)基本不等式的應用：一是側重“正”、“定”、“等”條件的滿足條件；二是用于求函數(shù)或數(shù)列的最值.第5講不等式的應用1如果 a，bR，那么 a2b2_(當且僅當 ab 時取“”號)2ab2如果 a，b 是正數(shù)，那么ab2_(當且僅當 ab 時取“”號)3可以將兩個字母的重要不等式推廣：_.以上不等式從左至右
2、分別為：調和平均數(shù)(記作 H)，幾何平均數(shù)(記作 G)，算術平均數(shù)(記作 A)，平方平均數(shù)(記作 Q)，即HGAQ，各不等式中等號成立的條件都是 ab.4常用不等式還有：abbcca(1)a，b，cR，a2b2c2_(當且僅當 abc 時，取等號)1某債券市場常年發(fā)行三種債券，A 種面值為 1 000 元，一年到期本息和為 1 040 元；B 種貼水債券面值為 1 000 元，但買入價為 960 元，一年到期本息和為 1 000 元；C 種面值為 1 000 元，半年到期本息和為 1 020 元設這三種債券的年收益率分別為 a，b，c，則 a，b，c 的大小關系是()CAac 且 abCacb
3、BabcDcab33建造一個容積為 8 m3，深為 2 m 的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為 180 元和 80 元，那么水池的最低總造價為_.2 0005一批貨物隨 17 列貨車從 A 市以 v 千米/小時勻速直達 B 市，已知兩地路線長 400 千米，為了安全兩輛貨車最小間距不得小于 千米，那么物資運到 B 市的時間關于貨車速度的函數(shù)關系式應為_4已知函數(shù) f(x)xax2(x2)的圖象過點 A(3,7)，則此函數(shù)的最小值是_.6考點1利用不等式進行優(yōu)化設計例1：設計一幅宣傳畫，要求畫面面積 4 840 cm2，畫面的上，下各留 8 cm 的空白，左右各留 5 cm 的
4、空白怎樣確定畫面的高與寬的尺寸，能使宣傳畫所用紙張最?。坷貌坏仁浇鈱嶋H問題時，首先要認真審題，分析題意，建立合理的不等式模型，最后通過基本不等式解題注意最常用的兩種題型：積一定，和最??；和一定，積最大【互動探究】1某村計劃建造一個室內面積為 800 m2 的矩形蔬菜溫室在溫室內，沿左、右兩側與后側內墻各保留 1 m 寬的通道，沿前側)D內墻保留 3 m 寬的空地則最大種植面積是(A218 m2B388 m2C468 m2D648 m2考點2 線性規(guī)劃進行優(yōu)化設計例2：央視為改版后的非常 61欄目播放兩套宣傳片其中宣傳片甲播映時間為 3 分 30 秒，廣告時間為 30 秒，收視觀眾為 60 萬
5、，宣傳片乙播映時間為 1 分鐘，廣告時間為 1 分鐘，收視觀眾為 20 萬廣告公司規(guī)定每周至少有 3.5 分鐘廣告，而電視臺每周只能為該欄目宣傳片提供不多于 16 分鐘的節(jié)目時間電視臺每周應播映兩套宣傳片各多少次，才能使得收視觀眾最多？解析：設電視臺每周應播映宣傳片甲x 次，宣傳片乙y 次，4x2y16，總收視觀眾為z 萬人則有如下條件：0.5xy3.5，x，yN.目標函數(shù)z60 x20y，作出滿足條件的區(qū)域：如圖D10.圖D10由圖解法可得：當x3，y2 時，zmax220.答：電視臺每周應播映宣傳片甲3 次，宣傳片乙2 次才能使得收視觀眾最多利用線性規(guī)劃研究實際問題的基本步驟是：應準確建立
6、數(shù)學模型，即根據題意找出約束條件，確定線性目標函數(shù)；用圖解法求得數(shù)學模型的解，即畫出可行域，在可行域內求得使目標函數(shù)取得最值的解；還要根據實際意義將數(shù)學模型的解轉化為實際問題的解，即結合實際情況求得最優(yōu)解本題完全利用圖象，對作圖的準確性和精確度要求很高，在現(xiàn)實中很難做到，為了得到準確的答案，建議求出所有邊界的交點代入檢驗【互動探究】4考點3 用基本不等式處理實際問題例3：(2011 年湖北3月模擬)某企業(yè)用49萬元引進一條年產值 25 萬元的生產線，為維護該生產線正常運轉，第一年需要各種費用 6 萬元，從第二年起，每年所需各種費用均比上一年增加 2萬元(1)該生產線投產后第幾年開始盈利(即投產
7、以來總收入減去成本及各年所需費用之差為正值)?(2)該生產線生產若干年后，處理方案有兩種：方案：年平均盈利達到最大值時，以 18 萬元的價格賣出；方案：盈利總額達到最大值時，以 9 萬元的價格賣出問：哪一種方案較為合算？請說明理由解題思路：根據題意建立函數(shù)模型，利用基本不等式求解當n7 時，年平均盈利最大若此時賣出，共獲利671860(萬元)方案：yn220n49(n10)251.當且僅當n10 時，即該生產線投產后第10 年盈利總額最大，若此時賣出，共獲利51960(萬元)兩種方案獲利相等，但方案所需的時間長，方案較合算【互動探究】3(2011 年北京)某車間分批生產某種產品，每批的生產準備
8、產品每天的倉儲費用為 1 元為使平均每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品()A60 件B80 件C100 件D120 件答案：B易錯、易混、易漏10利用基本不等式時忽略等號成立的條件例題：某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為 162 平方米的三級污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖 551)，如果池四周圍墻建造單價為 400 元/米，中間兩道隔墻建造單價為 248元/米，池底建造單價為 80 元/米2，水池所有墻的厚度忽略不計圖 551(1)試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過 16 米，試設計污水池的長和
9、寬，使總造價最低，并求出最低總造價【失誤與防范】利用均值不等式時要注意符號成立的條件及題目的限制條件數(shù)學應用問題，就是指用數(shù)學的方法將一個表面上非數(shù)學問題或非完全的數(shù)學問題轉化成完全形式化的數(shù)學問題隨著新課程標準的改革和素質教育的進一步推進，要求學生應用所學知識解決實際問題的趨勢日益明顯，近幾年的高考試題增強了對密切聯(lián)系生產和生活實際的應用性問題的考察力度而以不等式為模型的應用題是最常見的題型之一，有關統(tǒng)籌安排、最佳決策、最優(yōu)化問題以及涉及最值等的實際問題，常常建立不等式模型求解應用基本不等式應遵循“一正”、“二定”、“三相等”三項基本原則，尤其等號能否成立最容易忽視，如果等號不能成立則考慮利用函數(shù)的單調性求解
第五章 第5講 不等式的應用
