高三數(shù)學一輪復習第十章計數(shù)原理與概率隨機變量及其分布第七節(jié)n次獨立重復試驗與二項分布課件理.ppt

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理數(shù) 課標版,第七節(jié) n次獨立重復試驗與二項分布,1.條件概率及其性質 (1)對于任何兩個事件A和B,在已知事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概 率叫做① 條件概率 ,用符號② P(B|A) 來表示,其公式為P(B|A)= ③ (P(A)0).在古典概型中,若用n(A)表示事件A中基本事件,教材研讀,的個數(shù),則P(B|A)= . (2)條件概率具有的性質: (i)④ 0≤P(B|A)≤1 ; (ii)如果B和C是兩個互斥事件,那么P(B∪C|A)=⑤ P(B|A)+P(C|A) .,2.相互獨立事件 (1)對于事件A、B,若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響,則稱⑥ A、B是相 互獨立事件 . (2)若A與B相互獨立,則P(B|A)=⑦ P(B) , P(AB)=P(B|A)P(A)=⑧ P(A)P(B) . (3)若A與B相互獨立,則⑨ A與 ,⑩ 與B , 與 也都相 互獨立. (4)若P(AB)=P(A)P(B),則 A與B相互獨立 .,3.獨立重復試驗與二項分布 (1)獨立重復試驗是指在相同條件下可重復進行的,各次之間相互獨立 的一種試驗,在這種試驗中每一次試驗只有 兩 種結果,即要么發(fā) 生,要么不發(fā)生,且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的. (2)在n次獨立重復試驗中,用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設每次試驗中事 件A發(fā)生的概率為p,則P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n) ,此時稱隨 機變量X服從 二項分布 ,記為 X~B(n,p) ,并稱p為成功概率.,判斷下面結論是否正確.(請在括號中打“√”或“”) (1)相互獨立事件就是互斥事件. () (2)若事件A,B相互獨立,則P(B|A)=P(B). (√) (3)P(BA)表示事件A,B同時發(fā)生的概率,一定有P(AB)=P(A)P(B). (),1.已知P(B|A)= ,P(AB)= ,則P(A)等于 ( ) A. B. C. D. 答案 C 由P(AB)=P(A)P(B|A),可得P(A)= .,2.若事件E與F相互獨立,且P(E)=P(F)= ,則P(E∩F)的值等于 ( ) A.0 B. C. D. 答案 B E∩F代表E與F同時發(fā)生,∴P(E∩F)=P(E)P(F)= .故選B.,,,3.設隨機變量X~B ,則P(X=3)等于 ( ) A. B. C. D. 答案 A ∵X~B ,∴P(X=3)= = .,4.某人射擊,一次擊中目標的概率為0.6,經過3次射擊,此人至少有兩次擊 中目標的概率為 . 答案 解析 可看作3次獨立重復試驗,則P= 0.620.4+0.63= .,,,5.加工某一零件需經過三道工序,設第一、二、三道工序的次品率分別 為 , , ,且各道工序互不影響,則加工出來的零件的次品率為 . 答案 解析 依題意得,加工出來的零件的正品率是 = ,因此加工出來的零件的次品率是1- = .,,考點一 條件概率 典例1 (2016課標全國Ⅱ,18(1)(2))某險種的基本保費為a(單位:元),繼 續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出 險次數(shù)的關聯(lián)如下:,考點突破,設該險種一續(xù)保人一年內出險次數(shù)與相應概率如下:,(1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率; (2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出60%的概率.,解析 (1)設A表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”,則 事件A發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05= 0.55. (2)設B表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”,則事 件B發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB),=P(B),故P(B|A)= = = = .因此所求概率為 .,方法技巧 條件概率的求法 (1)利用條件概率公式,分別求P(A)和P(AB),再利用P(B|A)= 求解, 這是通用的求條件概率的方法. (2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再在事件 A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)= .,1-1 甲、乙兩地都位于長江下游,根據(jù)天氣預報的記錄知,一年中下雨 天甲市占20%,乙市占18%,兩市同時下雨占12%.則在甲市為雨天的條件 下,乙市也為雨天的概率為 ( ) A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.66,答案 A 將“甲市為雨天”記為事件A,“乙市為雨天”記為事件B, 則P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,故P(B|A)= = =0.6.,,1-2 (2016甘肅張掖診斷)某盒中裝有10只乒乓球,其中6只新球,4只舊 球,不放回地依次摸出2個球使用,在第一次摸出新球的條件下,第二次也 摸出新球的概率為 ( ) A. B. C. D. 答案 B “第一次摸出新球”記為事件A,則P(A)= ,“第二次摸出新 球”記為事件B,則P(AB)= = ,∴P(B|A)= = = ,故選B.,,考點二 相互獨立事件的概率 典例2 在一場娛樂晚會上,有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱,由現(xiàn)場數(shù) 百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3 名歌手,其中觀眾甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,不選2號,另在3至5號 中隨機選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號中 隨機選3名歌手. (1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率; (2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求“X≥2”的概率. 解析 (1)設A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”,B表示事件“觀眾乙選 中3號歌手”,則P(A)= = ,P(B)= = . ∵事件A與B相互獨立,,,∴觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為 P(A )=P(A)P( )=P(A)[1-P(B)] = = . (2)設C表示事件“觀眾丙選中3號歌手”, 則P(C)= = , 依題意,A,B,C相互獨立, , , 相互獨立,且AB ,A C, BC,ABC彼此互斥. P(X=2)=P(AB )+P(A C)+P( BC) = + + = ,,P(X=3)=P(ABC)= = , ∴P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)= + = .,方法技巧 求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法 (1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解; (2)正面計算較復雜或難以入手時,可從對立事件入手計算. 2-1 甲、乙兩人進行圍棋比賽,約定先連勝兩局者直接贏得比賽,若賽 完5局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽.假設每局甲獲勝的 概率為 ,乙獲勝的概率為 ,各局比賽結果相互獨立. (1)求甲在4局以內(含4局)贏得比賽的概率; (2)記X為比賽決出勝負時的總局數(shù),求X的分布列.,解析 用A表示“甲在4局以內(含4局)贏得比賽”,Ak表示“第k局甲獲 勝”,Bk表示“第k局乙獲勝”, 則P(Ak)= ,P(Bk)= ,k=1,2,3,4,5. (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) = + + = . 所以甲在4局以內(含4局)贏得比賽的概率為 . (2)X的可能取值為2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)= , P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3),=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)= , P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)= , P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= . 故X的分布列為,考點三 n次獨立重復試驗與二項分布 典例3 (2016晉中四校1月聯(lián)考)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每輪游戲 都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂,要么不出現(xiàn)音樂;每輪游戲 擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂獲得20分,出現(xiàn)三次 音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得-200分).設每次擊鼓 出現(xiàn)音樂的概率為 ,且各次擊鼓是否出現(xiàn)音樂相互獨立. (1)設每輪游戲獲得的分數(shù)為X,求X的分布列; (2)玩三輪游戲,至少有一輪出現(xiàn)音樂的概率是多少?,解析 (1)X可能的取值為10,20,100,-200. 根據(jù)題意,有P(X=10)= = , P(X=20)= = ,,P(X=100)= = , P(X=-200)= = . 所以X的分布列為,(2)設“第i輪游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i=1,2,3), 則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)= . 所以,“三輪游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為 1-P(A1A2A3)=1- =1- = . 因此,玩三輪游戲至少有一輪出現(xiàn)音樂的概率是 .,易錯警示 利用n次獨立重復試驗的概率公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)可以 簡化求概率的過程,但需要注意檢驗該概率模型是否滿足兩個條件:(1) 在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p;(2)n次試驗不僅是在完 全相同的情況下進行的重復試驗,而且各次試驗的結果是相互獨立的. 另外,要注意利用公式求得的是n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次(X=k)的 概率. 3-1 在一次數(shù)學考試中,第21題和第22題為選做題.規(guī)定每位考生必須 且只需在其中選做一題.設4名學生選做每一道題的概率均為 . (1)求其中甲、乙兩名學生選做同一道題的概率; (2)設這4名學生中選做第22題的學生個數(shù)為ξ,求ξ的分布列.,解析 (1)設事件A表示“甲選做第21題”,事件B表示“乙選做第21 題”,則甲、乙兩名學生選做同一道題的事件為“AB+ ”,且事 件A、B相互獨立. 故P(AB+ )=P(A)P(B)+P( )P( )= + = . (2)隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4,且ξ~B , 則P(ξ=k)= = (k=0,1,2,3,4). 故ξ的分布列為,