（考前大通關(guān)）高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 第一部分專題突破方略專題六《第二講 空間角與距離》題針對(duì)訓(xùn)練 理

一、選擇題1若直線l與平面所成的角為，則直線l與平面內(nèi)與l不相交的直線所成角中最大，最小的角分別為()A.，B.，C.，0 D.，0解析：選B.直線和平面內(nèi)直線所成角最大為，而直線和平面所成角即為直線和平面內(nèi)所有直線所成角中的最小角，故最小角為.2(2011年高考大綱全國(guó)卷)已知平面截一球面得圓M，過圓心M且與成60°二面角的平面截該球面得圓N.若該球面的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為()A7 B9C11 D13解析：選D.如圖，由題意可知AMN60°，設(shè)球心為O，連接ON、OM、OB、OC，則ONCD，OMAB，且OB4，OC4.在圓M中，·MB24，MB2.在OMB中，OB4，OM2.在MNO中，OM2，NMO90°60°30°，ON.在CNO中，ON，OC4，CN，S·CN213.3在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離是()A. B.C. D.解析：選C.設(shè)A1C1B1D1O1，B1D1A1O1，B1D1AA1，B1D1平面AA1O1，故平面AA1O1平面AB1D1，交線為AO1，在平面AA1O1內(nèi)過A1作A1HAO1于點(diǎn)H，則易知A1H的長(zhǎng)即是點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離在RtA1O1A中，A1O1，AO1，由A1O1·A1AA1H·AO1，可得A1H.4正方體ABCDA1B1C1D1的棱上到異面直線AB，CC1的距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為() A2 B3C4 D5解析：選C.如圖所示，則BC中點(diǎn)、A1D1中點(diǎn)、B1、D分別到兩異面直線的距離相等，即滿足條件的點(diǎn)有四個(gè)，故選C項(xiàng)5設(shè)C是AOB所在平面外的一點(diǎn)，若AOBBOCAOC，其中是銳角，而OC與平面AOB所成角的余弦值等于，則的值為()A30° B45°C60° D75°解析：選C.作CC1平面AOB于點(diǎn)C1，CA1OA于點(diǎn)A1，CB1OB于點(diǎn)B1，連接OC1(圖略)，則COC1為直線OC與平面AOB所成的角，則OC1是AOB的平分線，設(shè)OA1x，則OC，OC1，易求得cosCOC1，即2cos2cos10，解之得cos或cos(舍去)，故30°，所以60°.二、填空題6在正方體ABCDA1B1C1D1中，若M為棱BB1的中點(diǎn)，則異面直線B1D與AM所成角的余弦值是_解析：取AA1的中點(diǎn)N，連結(jié)B1N，DN(圖略)，則AMB1N，DB1N即為所求，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，在B1DN中，求出各邊長(zhǎng)，利用余弦定理可求出DB1N的余弦值為.答案：7已知點(diǎn)O在二面角AB的棱上，點(diǎn)P在內(nèi)，且POB45°.若對(duì)于內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有POQ45°，則二面角AB的大小是_解析：由已知POB是PO和平面所成角中的最小角由最小角定理，POB是PO和面所成的角即BO是PO在內(nèi)的射影，故.即二面角AB的大小為90°.答案：90°8將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角ABDC，有如下四個(gè)結(jié)論：ACBD；ACD是等邊三角形；AB與平面BCD所成的角為60°；AB與CD所成的角為60°.其中正確的序號(hào)是_(寫出你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào))解析：取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO、CO，則AOBD，COBD，BD面AOC，ACBD.又ACAOADCD，ACD是等邊三角形而ABD是AB與平面BCD所成的角，應(yīng)為45°.又AABD(設(shè)ABa)，則a2a22a2a22·a·a·()2·a·a·()2a2cosA，D，cosA，D，AB與CD所成角為60°.答案：三、解答題9.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中點(diǎn)(1)求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)證明：平面ABM平面A1B1M.解：(1)因?yàn)镃1D1B1A1，所以MA1B1為異面直線A1M與C1D1所成的角因?yàn)锳1B1平面BCC1B1，所以A1B1M90°.而A1B11，B1M，故tanMA1B1， 即異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值為.(2)證明：由A1B1平面BCC1B1，BM平面BCC1B1，得A1B1BM.由(1)知，B1M，又BM，B1B2，所以B1M2BM2B1B2，從而BMB1M.又A1B1B1MB1，再由得BM平面A1B1M，而BM平面ABM，因此平面ABM平面A1B1M.10如圖，在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PDDC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)(1)求證：EFCD；(2)求DB與平面DEF所成角的正弦值解：以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)設(shè)ADa，則D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E(a，0)，P(0,0，a)，F(xiàn)(，)(1)證明：·(，0，)·(0，a,0)0，EFCD.(2)設(shè)平面DEF的法向量為n(x，y，z)，則得即取x1，則y2，z1，n(1，2,1)，cos，n.設(shè)DB與平面DEF所成角為，則sin.11.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知BC1，BB12，AB平面BB1C1C.(1)求直線C1B與底面ABC所成角的正切值；(2)在棱CC1(不包括端點(diǎn)C、C1)上確定一點(diǎn)E的位置，使EAEB1(要求說明理由)；(3)在(2)的條件下，若AB，求二面角AEB1A1的大小解：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC、BB1、AB所在的直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，C1(1,2,0)，B1(0,2,0)(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC的一個(gè)法向量為(0,2,0)，又(1,2,0)，設(shè)BC1與平面ABC所成的角為，則sin|cos，|，tan2，即直線C1B與底面ABC所成角的正切值為2.(2)設(shè)E(1，y,0)，A(0,0，z)，則1(1,2y,0)，(1，y，z)，EAEB1，·11y(2y)0，y1，即E(1,1,0)，E為CC1的中點(diǎn)(3)由題知A(0,0，)，則(1,1，)，且由(2)知(1，1,0)設(shè)平面AEB1的一個(gè)法向量為n(x1，y1，z1)，則，令x11，則n(1,1，)(1,1,0)，·110，BEB1E.又BEA1B1，BE平面A1B1E，平面A1B1E的一個(gè)法向量為(1,1,0)cosn，二面角AEB1A1的大小為45°.