（課標(biāo)通用版）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第4講 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 第2課時(shí) 利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題檢測(cè) 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

第2課時(shí) 利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題 基礎(chǔ)題組練1已知函數(shù)f(x)x22x1，g(x)xf(x)bx2a，若g(x)0在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A(1，2)B(1，2)C1，2) D(0，2解析：選D.易知g(x)x3(b2)x2xa，則g(x)3x22(b2)x1，因?yàn)間(x)0在區(qū)間上有解，所以4(b2)2120，即b2或b2，同時(shí)2(b2)(4，2，所以0b2，從而實(shí)數(shù)b的取值范圍為(0，22已知函數(shù)f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x00，則a的取值范圍是()A(2，) B(，2)C(1，) D(，1)解析：選B.f(x)3ax26x，當(dāng)a3時(shí)，f(x)9x26x3x(3x2)，則當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)>0；x時(shí)，f(x)<0；x時(shí)，f(x)>0，注意f(0)1，f>0，則f(x)的大致圖象如圖(1)所示：不符合題意，排除A，C.當(dāng)a時(shí)，f(x)4x26x2x(2x3)，則當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，x時(shí)，f(x)>0，x(0，)時(shí)，f(x)<0，注意f(0)1，f，則f(x)的大致圖象如圖(2)所示不符合題意，排除D.故選B.3設(shè)函數(shù)f(x)x3bxc(b，cR)(1)若曲線f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為y2x1，求b，c的值；(2)若b1，c，求證：f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)解：(1)由題意得f(x)x2b，所以f(1)1b2，得b1.又因?yàn)閒(1)213，所以bc3，得c.故b1，c.(2)證明：若b1，c，則f(x)x3x.因?yàn)閒(1)f(2)×10，所以f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)存在零點(diǎn)又當(dāng)x(1，2)時(shí)，f(x)x210，所以f(x)在(1，2)上單調(diào)遞增所以f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)4已知函數(shù)f(x)aln x(aR)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)試判斷f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解：(1)函數(shù)f(x)的定義域是(0，)，f(x)()ln x·，令f(x)0，解得xe2，令f(x)<0，解得0<x<e2，所以f(x)在(0，e2)上單調(diào)遞減，在(e2，)上單調(diào)遞增(2)由(1)得f(x)minf(e2)a，顯然a時(shí)，f(x)0，無(wú)零點(diǎn)，a時(shí)，f(x)0，有1個(gè)零點(diǎn)，a<時(shí)，f(x)<0，有2個(gè)零點(diǎn)綜合題組練1(2019·貴陽(yáng)摸底考試)已知函數(shù)f(x)kxln x(k0)(1)若k1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值；解：(1)k1，f(x)xln x，定義域?yàn)?0，)，則f(x)1，由f(x)0得x1，由f(x)0得0x1，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)(2)法一：由題意知方程kxln x0僅有一個(gè)實(shí)根，由kxln x0得k(x0)，令g(x)(x0)，則g(x)，當(dāng)xe時(shí)，g(x)0；當(dāng)0xe時(shí)，g(x)0；當(dāng)xe時(shí)，g(x)0.所以g(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減，所以g(x)maxg(e).當(dāng)x時(shí)，g(x)0.又k0，所以要使f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則k.法二：f(x)kxln x，f(x)k(x0，k0)當(dāng)x時(shí)，f(x)0；當(dāng)0x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0.所以f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f(x)minf1ln，因?yàn)閒(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以1ln0，即k.2已知函數(shù)f(x)aln xbx1.(1)當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的極小值為5，求負(fù)數(shù)b的值；(2)若b1，F(xiàn)(x)f(x)，且當(dāng)a4時(shí)，不等式F(x)2在區(qū)間1，4上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)當(dāng)a0時(shí)，f(x)bx1(b0)，令f(x)b0，得x1，x2(舍去)當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下：xf(x)0f(x)極小值所以函數(shù)f(x)的極小值為f5，即15，解得b4.(2)由題意知，當(dāng)a4時(shí)，F(xiàn)(x)在1，4上的最大值M2.當(dāng)b1時(shí)，F(xiàn)(x)f(x)xaln x1，則F(x).當(dāng)4a4時(shí)，在x1，4上，F(xiàn)(x)0，故F(x)在1，4上單調(diào)遞增，MF(4)當(dāng)a4時(shí)，設(shè)x2ax40(a2160)的兩根分別為x1，x2，則故x10，x20，所以在x1，4上，F(xiàn)(x)0，故F(x)在1，4上單調(diào)遞增，MF(4)綜上，當(dāng)a4時(shí)，F(xiàn)(x)在1，4上的最大值MF(4)41aln 412，解得a，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.3(2019·遼寧錦州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)exaxa(aR且a0)(1)若函數(shù)f(x)在x0處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；并求此時(shí)f(x)在2，1上的最大值；(2)若函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)由f(x)exaxa，得f(x)exa.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x0處取得極值，所以f(0)e0a0，所以a1.經(jīng)檢驗(yàn)，a1，符合題意，所以f(x)ex1.所以當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增易知f(x)在2，0)上單調(diào)遞減，在(0，1上單調(diào)遞增，且f(2)3，f(1)e，f(2)>f(1)，所以f(x)在2，1上的最大值為3.(2)f(x)exa，由于ex>0，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)>0，f(x)是增函數(shù)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)exa(x1)>0.當(dāng)x<0時(shí)，取x，則f<1aa<0，所以函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)，不滿足題意當(dāng)a<0時(shí)，令f(x)exa0，xln(a)當(dāng)x(，ln(a)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(ln(a)，)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以xln(a)時(shí)，f(x)取得最小值函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，等價(jià)于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)>0，解得e2<a<0.綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e2，0)4已知函數(shù)f(x)xln xx2x(aR)(1)若曲線yf(x)在xe處切線的斜率為1，求此切線的方程；(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，求a的取值范圍；證明：x1x2>x1x2.解：(1)因?yàn)閒(x)ln xax，所以f(e)1ae1，解得a，所以f(e)e，故切點(diǎn)為(e，e)，所以曲線yf(x)在xe處的切線方程為xy0.(2)f(x)ln xax，令f(x)0，得a.令g(x)，則g(x)，且當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)<0；當(dāng)x1時(shí)，g(x)0；當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0.令g(x)0，得xe，且當(dāng)0<x<e時(shí)，g(x)>0；當(dāng)x>e時(shí)，g(x)<0.故g(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減，所以g(x)maxg(e).所以當(dāng)a0時(shí)，f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)0<a<時(shí)，f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)a時(shí)，f(x)沒(méi)有極值點(diǎn)綜上，a的取值范圍是(0，)證明：因?yàn)閤1，x2是f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，即，不妨設(shè)x1<x2，則1<x1<e，x2>e，因?yàn)間(x)在(e，)上單調(diào)遞減，且x1x2>x2>e，所以<，即<a.由可得ln x1ln x2a(x1x2)，即a，結(jié)合可得<，所以x1x2>x1x2.