(課標(biāo)通用版)高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第1講 坐標(biāo)系檢測 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題
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(課標(biāo)通用版)高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第1講 坐標(biāo)系檢測 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題
第1講 坐標(biāo)系 基礎(chǔ)題組練1在同一平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過伸縮變換后,曲線C:x2y236變?yōu)楹畏N曲線,并求曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)解:設(shè)圓x2y236上任一點(diǎn)為P(x,y),伸縮變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x,y),則所以4x29y236,即1.所以曲線C在伸縮變換后得橢圓1,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±,0)2在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線C的極坐標(biāo)方程為cos1,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點(diǎn)(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程,并求點(diǎn)M,N的極坐標(biāo);(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P,求直線OP的極坐標(biāo)方程解:(1)由cos1,得1,從而曲線C的直角坐標(biāo)方程為xy1,即xy2.0時(shí),2,所以M(2,0)時(shí),所以N.(2)由(1)得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)N的直角坐標(biāo)為.所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為,則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,所以直線OP的極坐標(biāo)方程為,(,)3在極坐標(biāo)系中,圓C是以點(diǎn)C為圓心,2為半徑的圓(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;(2)求圓C被直線l:(R)所截得的弦長解:法一:(1)設(shè)所求圓上任意一點(diǎn)M(,),如圖,在RtOAM中,OMA90°,AOM2,|OA|4.因?yàn)閏osAOM,所以|OM|OA|·cosAOM,即4cos4cos,驗(yàn)證可知,極點(diǎn)O與A的極坐標(biāo)也滿足方程,故4cos 為所求(2)設(shè)l:(R)交圓C于點(diǎn)P,在RtOAP中,OPA90°,易得AOP,所以|OP|OA|cosAOP2.法二:(1)圓C是將圓4cos 繞極點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到的圓,所以圓C的極坐標(biāo)方程是4cos.(2)將代入圓C的極坐標(biāo)方程4cos,得2,所以圓C被直線l:(R)所截得的弦長為2.4(2019·南昌市第一次模擬測試卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;(2)若直線l1,l2的極坐標(biāo)方程分別為1(1R),2(2R),設(shè)直線l1,l2與曲線C的交點(diǎn)分別為O,M和O,N,求OMN的面積解:(1)由參數(shù)方程得普通方程為x2(y2)24,把代入x2(y2)24,得24sin 0.所以曲線C的極坐標(biāo)方程為4sin .(2)由直線l1:1(1R)與曲線C的交點(diǎn)為O,M,得|OM|4sin2.由直線l2:2(2R)與曲線C的交點(diǎn)為O,N,得|ON|4sin2.易知MON,所以SOMN|OM|×|ON|×2×22.綜合題組練1(2019·沈陽質(zhì)量檢測(一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2(y2)24.以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,射線l的極坐標(biāo)方程為,0<<.(1)求曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)A,B分別為射線l與曲線C1,C2除原點(diǎn)之外的交點(diǎn),求|AB|的最大值解:(1)由曲線C1的參數(shù)方程(t為參數(shù)),消去參數(shù)t得x2(y1)21,即x2y22y0,所以曲線C1的極坐標(biāo)方程為2sin .由曲線C2的直角坐標(biāo)方程x2(y2)24,得x2y24y0,所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為4sin .(2)聯(lián)立得A(2sin ,),所以|OA|2sin ,聯(lián)立得B(4sin ,),所以|OB|4sin ,所以|AB|OB|OA|2sin ,因?yàn)?<<,所以當(dāng)時(shí),|AB|有最大值,最大值為2.2(2019·湖北八校聯(lián)考)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為2,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)A,B為曲線C上兩點(diǎn),若OAOB,求的值解:(1)由2得2cos292sin29,將xcos ,ysin 代入得到曲線C的直角坐標(biāo)方程是y21.(2)因?yàn)?,所以sin2,由OAOB,設(shè)A(1,),則點(diǎn)B的坐標(biāo)可設(shè)為,所以sin2cos21.3(綜合型)(2019·河南名校聯(lián)盟4月聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的直角坐標(biāo)方程為x2(y1)21.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為(cos sin )5.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;(2)在圓上找一點(diǎn)A,使它到直線l的距離最小,并求點(diǎn)A的極坐標(biāo)解:(1)x2(y1)21即x2y22y0,因?yàn)閤2y2,sin y,所以圓C的極坐標(biāo)方程為22sin ,即2sin .(cos sin )5即cos sin 5,因?yàn)閏os x,sin y,所以直線l的直角坐標(biāo)方程為yx5.(2)曲線C:x2(y1)21是以C(0,1)為圓心,1為半徑的圓設(shè)圓上點(diǎn)A(x0,y0)到直線l:yx5的距離最短,所以圓C在點(diǎn)A處的切線與直線l:yx5平行即直線CA與l的斜率的乘積等于1,即×()1.因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上,所以x(y01)21,聯(lián)立可解得x0,y0或x0,y0.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.又由于圓上點(diǎn)A到直線l:yx5的距離最小,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)A的極徑為 ,極角滿足tan 且為第一象限角,則可取.所以點(diǎn)A的極坐標(biāo)為.4(2018·高考全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為yk|x|2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為22cos 30.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程;(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求C1的方程解:(1)由xcos ,ysin 得C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圓心為A(1,0),半徑為2的圓由題設(shè)知,C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn),或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l1所在直線的距離為2,所以2,故k或k0.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn);當(dāng)k時(shí),l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l2所在直線的距離為2,所以2,故k0或k.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn);當(dāng)k時(shí),l2與C2沒有公共點(diǎn)綜上,所求C1的方程為y|x|2.