2019-2020年高中數(shù)學(xué) 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用（1）教案 蘇教版必修5.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用（1）教案 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo) （1）綜合運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決與測量學(xué)、航海問題等有關(guān)的實際問題； （2）體會數(shù)學(xué)建摸的基本思想，掌握求解實際問題的一般步驟； （3）能夠從閱讀理解、信息遷移、數(shù)學(xué)化方法、創(chuàng)造性思維等方面，多角度培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力． 教學(xué)重點，難點 （1）綜合運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些實際問題； （2）掌握求解實際問題的一般步驟． 教學(xué)過程 一．問題情境 1．復(fù)習(xí)引入 復(fù)習(xí)：正弦定理、余弦定理及其變形形式， （1）正弦定理、三角形面積公式： ； ． （2）正弦定理的變形： ①； ②； ③． （3）余弦定理：． 二．學(xué)生活動 引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧上兩節(jié)所學(xué)內(nèi)容，然后思考生活中有那些問題會用到這兩個定理，舉例說明. 三．建構(gòu)數(shù)學(xué) 正弦定理、余弦定理體現(xiàn)了三角形中邊角之間的相互關(guān)系，在測量學(xué)、運動學(xué)、力學(xué)、電學(xué)等許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用. 1．下面給出測量問題中的一些術(shù)語的解釋： （1）朝上看時，視線與水平面夾角為仰角；朝下看時，視線與水平面夾角為俯角. （2）從某點的指北方向線起,依順時針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角,叫方位角. （3）坡度是指路線縱斷面上同一坡段兩點間的高度差與其水平距離的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以這樣理解：坡面與水平面的夾角為45度.45度幾乎跟墻壁一樣的感覺了. （4）科學(xué)家為了精確地表明各地在地球上的位置，給地球表面假設(shè)了一個坐標(biāo)系，這就是經(jīng)緯度線. 2．應(yīng)用解三角形知識解決實際問題的解題步驟：①根據(jù)題意作出示意圖；②確定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③選用合適的定理進行求解；④給出答案. 四．?dāng)?shù)學(xué)運用 1．例題： 例1．如圖1-3-1，為了測量河對岸兩點之間的距離，在河岸這邊取點，測得，，，，.設(shè)在同一平面內(nèi)，試求之間的距離（精確到）. 解：在中，，，則.又，由正弦定理，得 圖1-3-1 . 在中，，， 則.又，由正弦定理，得 . 在中，由余弦定理，得 ， 所以 答兩點之間的距離約為. 本例中看成或的一邊，為此需求出，或，，所以可考察和，根據(jù)已知條件和正弦定理來求，，再由余弦定理求. 引申：如果，兩點在河的兩岸（不可到達），試設(shè)計一種測量，兩點間距離的方法.可見習(xí)題1.3 探究拓展 第8題. 例2．如圖1-3-2，某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在處獲悉后，測出該漁輪在方位角為，距離為的處，并測得漁輪正沿方位角為的方向，以的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以的速度前去營救.求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間（角度精確到，時間精確到）. 解：設(shè)艦艇收到信號后在處靠攏漁輪，則，，又，. 由余弦定理，得 ， 即 . 化簡，得 圖1-3-2 ， 解得（負值舍去）. 由正弦定理，得 ， 所以，方位角為. 答 艦艇應(yīng)沿著方向角的方向航行，經(jīng)過就可靠近漁輪. 本例是正弦定理、余弦定理在航海問題中的綜合應(yīng)用.因為艦艇從到與漁輪從到的時間相同，所以根據(jù)余弦定理可求出該時間，從而求出和；再根據(jù)正弦定理求出. 例3．如圖，某海島上一觀察哨在上午時測得一輪船在海島北偏東的處，時分測得輪船在海島北偏西的處，時分輪船到達海島正西方的港口.如果輪船始終勻速前進，求船速. 解：設(shè)，船的速度為，則，. （例3） 在中，，. 在中，， . 在中，， ，， 船的速度. 2．練習(xí)：書上P20 練習(xí)1，3，4題. 五．回顧小結(jié)： 1．測量的主要內(nèi)容是求角和距離，教學(xué)中要注意讓學(xué)生分清仰角、俯角、張角、視角和方位角及坡度、經(jīng)緯度等概念，將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題. 2．解決有關(guān)測量、航海等問題時，首先要搞清題中有關(guān)術(shù)語的準(zhǔn)確含義，再用數(shù)學(xué)語言（符號語言、圖形語言）表示已知條件、未知條件及其關(guān)系，最后用正弦定理、余弦定理予以解決. 六．課外作業(yè)： 書上P21頁習(xí)題1.3 第2，3，4題. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書—數(shù)學(xué)必修五[蘇教版] 1.3 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用(2) 教學(xué)目標(biāo) （1）能熟練應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決三角形等一些幾何中的問題和物理問題； （2）能把一些簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并能應(yīng)用正弦、余弦定理及相關(guān)的三角公式解決這些問題； （3）通過復(fù)習(xí)、小結(jié)，使學(xué)生牢固掌握兩個定理，應(yīng)用自如. 教學(xué)重點，難點 能熟練應(yīng)用正弦定理、余弦定理及相關(guān)公式解決三角形的有關(guān)問題。 教學(xué)過程 一．問題情境 1．復(fù)習(xí)引入 總結(jié)解斜三角形的要求和常用方法. （1）．利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解決以下兩類解斜三角形問題： ①已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角； ②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，從而進一步求其它的邊和角. （2） 應(yīng)用余弦定理解以下兩類三角形問題： ①已知三邊求三內(nèi)角； ②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個內(nèi)角. 二．學(xué)生活動 引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課內(nèi)容，總結(jié)利用兩個定理解決實際問題的一般步驟.想一想可以用這兩個定理來解決有關(guān)物理問題和幾何問題嗎？ 三．?dāng)?shù)學(xué)運用 1．例題： 例1．如圖，在四邊形中，已知,， , , ，求的長. 解：在中，設(shè)， 則， 即， 圖1-3-3 ∴， ∴，（舍去）， 由正弦定理：， ∴． 例2．作用在同一點的三個力平衡.已知， ，與之間的夾角是，求的大小與方向 （精確到）. 解：應(yīng)和合力平衡，所以和在同一直線上， 并且大小相等，方向相反. 如圖1-3-3，在中，由余弦定理，得 . 再由正弦定理，得 ， 所以，從而. 答 為，與之間的夾角是. 本例是正弦定理、余弦定理在力學(xué)問題中的應(yīng)用，教學(xué)時可作如下分析： 由圖根據(jù)余弦定理可求出，再根據(jù)正弦定理求出. 例3．如圖1-3-4，半圓的直徑為，為直徑延長線上的一點，，為半圓上任意一點，以為一邊作等邊三角形.問：點在什么位置時，四邊形面積最大？ 分析：四邊形的面積由點的位置唯一確定，而點由唯一確定，因此可設(shè)，再用的三角函數(shù)來表示四邊形的面積. 解：設(shè).在中，由余弦定理，得 . 于是，四邊形的面積為 圖1-3-4 . 因為，所以當(dāng)時，，即時，四邊形的面積最大. 對于本例，教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生分析得到四邊形的面積隨著的變化而變化.這樣將四邊形的面積表示成的函數(shù)，利用三角形的有界性求出四邊形面積的最大值. 例4．中，若已知三邊為連續(xù)正整數(shù)，最大角為鈍角，①求最大角的余弦值； ②求以此最大角為內(nèi)角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積. 解：①設(shè)三邊， 且， ∵為鈍角， ∴，解得， ∵， ∴或，但時不能構(gòu)成三角形應(yīng)舍去， 當(dāng)時，； ②設(shè)夾角的兩邊為，， 所以，，當(dāng)時，． 2．練習(xí)： 1．書上P20頁練習(xí)第2題，習(xí)題1.3第1題. 2．在中，已知，求的最大內(nèi)角； 第4題 3．已知的兩邊是方程的兩個根，的面積是，周長是 ，試求及的值； 4．如圖，，，， ，， 求的長. （答案：） 四．回顧小結(jié)： 1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要區(qū)別兩個定理的不同作用，在解題時正確選用； 2．由于有三角形面積公式，解題時要時刻與三角形面積與三角形外接圓直徑聯(lián)系在一起； 3．應(yīng)用正弦、余弦定理可以實現(xiàn)將“邊、角相混合”的等式轉(zhuǎn)化為“邊和角的單一”形式； 4．在較為復(fù)雜的圖形中求邊或角，首先要找出有關(guān)的三角形，再合理使用正弦定理或余弦定理解決. 五．課外作業(yè)：書上P21習(xí)題1.3，第5，6，7題，P24復(fù)習(xí)題第6題.