必修5第一章解三角形

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1、奎屯市第一高級中學(xué) 人教 A版 數(shù)學(xué)教案◆必修5◆第一章 解三角形 王新敞 第一章 解三角形章節(jié)總體設(shè)計(jì) （一）課標(biāo)要求 本章的中心內(nèi)容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實(shí)在解三角形的應(yīng)用上．通過本章學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)達(dá)到以下學(xué)習(xí)目標(biāo)： （1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題． （2）能夠熟練運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的生活實(shí)際問題． （二）編寫意圖與特色 1．?dāng)?shù)學(xué)思想方法的重要性 數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部

2、分，有利于學(xué)生加深數(shù)學(xué)知識的理解和掌握． 本章重視與內(nèi)容密切相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，并且在提出問題、思考解決問題的策略等方面對學(xué)生進(jìn)行具體示范、引導(dǎo)．本章的兩個主要數(shù)學(xué)結(jié)論是正弦定理和余弦定理，它們都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論．在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的知識，就是“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個三角形的兩條對應(yīng)邊及其所夾的角相等,那么這兩個三角形全”等． 教科書在引入正弦定理內(nèi)容時，讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題：“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內(nèi)

3、容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個角的問題．”設(shè)置這些問題，都是為了加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)． 2．注意加強(qiáng)前后知識的聯(lián)系 加強(qiáng)與前后各章教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，注意復(fù)習(xí)和應(yīng)用已學(xué)內(nèi)容，并為后續(xù)章節(jié)教學(xué)內(nèi)容做好準(zhǔn)備，能使整套教科書成為一個有機(jī)整體，提高教學(xué)效益，并有利于學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和鞏固． 本章內(nèi)容處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系，已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識

4、有著密切聯(lián)系．教科書在引入正弦定理內(nèi)容時，讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內(nèi)容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個角的問題．”這樣，從聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對于過去的知識有了新的認(rèn)識，同時使新知識建立在已有知識的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)． 《課程標(biāo)準(zhǔn)》和教科

5、書把“解三角形”這部分內(nèi)容安排在數(shù)學(xué)五的第一部分內(nèi)容，位置相對靠后，在此內(nèi)容之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識聯(lián)系密切的內(nèi)容，這使這部分內(nèi)容的處理有了比較多的工具，某些內(nèi)容可以處理得更加簡潔．比如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對于三角形進(jìn)行討論，方法不夠簡潔，教科書則用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力． 在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個思考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？”，并進(jìn)而指出，

6、“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.從上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.” 3．重視加強(qiáng)意識和數(shù)學(xué)實(shí)踐能力 學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的是應(yīng)用數(shù)學(xué)，而如今比較突出的兩個問題是，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識不強(qiáng)，創(chuàng)造能力較弱．學(xué)生往往不能把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，不能把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實(shí)際問題中去，對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的實(shí)際背景了解不多，雖然學(xué)生機(jī)械地模仿一些常見數(shù)學(xué)問題解法的能力較強(qiáng)，但當(dāng)面臨一種新的問題時卻辦法不多，對于諸如觀察、分析、歸納、類比、

7、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的科學(xué)思維方法了解不夠．針對這些實(shí)際情況，本章重視從實(shí)際問題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際問題． （三）教學(xué)內(nèi)容及課時安排建議 1.1正弦定理和余弦定理（約3課時） 1.2應(yīng)用舉例（約4課時） 1.3實(shí)習(xí)作業(yè)（約1課時） （四）評價建議 1．要在本章的教學(xué)中，應(yīng)該根據(jù)教學(xué)實(shí)際，啟發(fā)學(xué)生不斷提出問題，研究問題．在對于正弦定理和余弦定理的證明的探究過程中，應(yīng)該因勢利導(dǎo)，根據(jù)具體教學(xué)過程中學(xué)生思考問題的方向來啟發(fā)學(xué)生得到自己對于定理的證明．如對于正弦定理，可以啟發(fā)得到有應(yīng)用向量方法的證明，對于余弦定理則可以啟發(fā)得到三角方法和解析的方法．在

8、應(yīng)用兩個定理解決有關(guān)的解三角形和測量問題的過程中，一個問題也常常有多種不同的解決方案，應(yīng)該鼓勵學(xué)生提出自己的解決辦法，并對于不同的方法進(jìn)行必要的分析和比較．對于一些常見的測量問題甚至可以鼓勵學(xué)生設(shè)計(jì)應(yīng)用的程序，得到在實(shí)際中可以直接應(yīng)用的算法． 2．適當(dāng)安排一些實(shí)習(xí)作業(yè)，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識，提高學(xué)生分析問題的解決實(shí)際問題的能力、動手操作的能力以及用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)習(xí)過程和實(shí)習(xí)結(jié)果能力，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和數(shù)學(xué)實(shí)踐能力．教師要注意對于學(xué)生實(shí)習(xí)作業(yè)的指導(dǎo)，包括對于實(shí)際測量問題的選擇，及時糾正實(shí)際操作中的錯誤，解決測量中出現(xiàn)的一些問題． 課題:

9、1．1．1正弦定理 ●教學(xué)目標(biāo) 知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題． 過程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作． 情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一． ●教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基

10、本應(yīng)用． ●教學(xué)難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)． (圖1．1-1) ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 如圖1．1-1，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動． 思考：C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 顯然，邊AB的長度隨著其對角C的大小的增大而增大．能否用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？ Ⅱ.講授新課 (圖1．1-2) [探索研究] 在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系．如圖1．1-2，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函

11、數(shù)的定義，有，，又, 則 ，從而在直角三角形ABC中， 思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析） 可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： (圖1．1-3) 如圖1．1-3，當(dāng)ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=, 則， 同理可得， 從而 思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題． （證法二）：過點(diǎn)A作， 由向量的加法可得 則 ∴ ∴，即 同理，過點(diǎn)C作，可得 ，從而 類似可推出，當(dāng)ABC是鈍角三角形時，

12、以上關(guān)系式仍然成立．（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)） 從上面的研探過程，可得以下定理 正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 [理解定理] （1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，，； （2）等價于，， 從而知正弦定理的基本作用為： ①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如； ②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如． 一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形． [例題分析] 例1．在中，已知，，cm，解三角形． 解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， ； 根據(jù)

13、正弦定理，； 根據(jù)正弦定理， 評述：對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器． 例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）． 解：根據(jù)正弦定理，因?yàn)椋迹?，所以，? ⑴ 當(dāng)時，， ⑵ 當(dāng)時， ， 評述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形． Ⅲ.課堂練習(xí)第5頁練習(xí)第1（1）、2（1）題． [補(bǔ)充練習(xí)]已知ABC中，，求（答案：1：2：3） Ⅳ.課時小結(jié)（由學(xué)生歸納總結(jié)） （1）定理的表示形式： ；或，， （2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角． Ⅴ.課后作業(yè)

14、 第10頁[習(xí)題1.1]A組第1（1）、2（1）題． 課題: 1.1.2余弦定理 ●教學(xué)目標(biāo) 知識與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題． 過程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題 情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一． ●教學(xué)重點(diǎn) (圖1．1-4) 余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用； ●教學(xué)難點(diǎn) 勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)

15、和證明過程中的作用． ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 如圖1．1-4，在ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C，求邊c Ⅱ.講授新課 [探索研究] 聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c．由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題． (圖1．1-5) 如圖1．1-5，設(shè)，，，那么，則 從而 同理可證， 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即

16、 ，， 思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？ （由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論： ，， [理解定理] 從而知余弦定理及其推論的基本作用為： ①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊； ②已知三角形的三條邊就可以求出其它角． 思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？ （由學(xué)生總結(jié)）若ABC中，C=，則，這時 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例． [例題分析] 例1．在ABC中，已知

17、，，，求b及A ⑴解：∵ =cos == ∴ 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： ⑵解法一：∵cos ∴ 解法二：∵sin 又∵＞ ＜ ∴＜，即＜＜ ∴ 評述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍． 例2．在ABC中，已知，，，解三角形 （見課本第8頁例4，可由學(xué)生通過閱讀進(jìn)行理解） 解：由余弦定理的推論得： cos ； cos ； Ⅲ.課堂練習(xí)第8頁練習(xí)第1（1）、2（1）題． [補(bǔ)充練習(xí)]在ABC中，若，求角A（答案：A=120） Ⅳ.課時小結(jié) （1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定

18、理的應(yīng)用范圍：①．已知三邊求三角；②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊． Ⅴ.課后作業(yè) ①課后閱讀：課本第9頁[探究與發(fā)現(xiàn)] ②課時作業(yè)：第11頁[習(xí)題1.1]A組第3（1），4（1）題． ●板書設(shè)計(jì) ●授后記 課題: 1．1．3解三角形的進(jìn)一步討論 ●教學(xué)目標(biāo) 知識與技能：掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用． 過程與方法：通過引導(dǎo)學(xué)生分析，解答三個典型例子，使學(xué)生學(xué)會綜合運(yùn)用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問題． 情感態(tài)度與價值觀：通過正、余弦定理，在解三角形問題

19、時溝通了三角形的有關(guān)性質(zhì)和三角函數(shù)的關(guān)系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系． ●教學(xué)重點(diǎn) 在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形； 三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用． ●教學(xué)難點(diǎn) 正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用． ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 [創(chuàng)設(shè)情景] 思考：在ABC中，已知，，，解三角形． （由學(xué)生閱讀課本第9頁解答過程） 從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)無解的情形．下面進(jìn)一步來研究這種情形下解三角形的問題

20、． Ⅱ.講授新課 [探索研究] 例1．在ABC中，已知，討論三角形解的情況 分析：先由可進(jìn)一步求出B；則 從而 1．當(dāng)A為鈍角或直角時，必須才能有且只有一解；否則無解． 2．當(dāng)A為銳角時， 如果≥，那么只有一解； 如果，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若，則有兩解；（2）若，則只有一解；（3）若，則無解． （以上解答過程詳見課本第910頁） 評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當(dāng)A為銳角且 時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解． [隨堂練習(xí)1] （1）在ABC中，已知，，，試判斷此三角形的解的情況． （2）在ABC中，若，，，則符合

21、題意的b的值有_____個． （3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍． （答案：（1）有兩解；（2）0；（3）） 例2．在ABC中，已知，，，判斷ABC的類型． 分析：由余弦定理可知 （注意：） 解：，即， ∴． [隨堂練習(xí)2] （1）在ABC中，已知，判斷ABC的類型． （2）已知ABC滿足條件，判斷ABC的類型． （答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形） 例3．在ABC中，，，面積為，求的值 分析：可利用三角形面積定理以及正弦定理 解：由得， 則=3，即，從而 Ⅲ.課堂練習(xí) （1）在ABC中，若，，且此三角形

22、的面積，求角C （2）在ABC中，其三邊分別為a、b、c，且三角形的面積，求角C （答案：（1）或；（2）） Ⅳ.課時小結(jié) （1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形； （2）三角形各種類型的判定方法； （3）三角形面積定理的應(yīng)用． Ⅴ.課后作業(yè) （1）在ABC中，已知，，，試判斷此三角形的解的情況． （2）設(shè)x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長，求實(shí)數(shù)x的取值范圍． （3）在ABC中，，，，判斷ABC的形狀． （4）三角形的兩邊分別為3cm，5cm,它們所夾的角的余弦為方程的根， 求這個三角形的面積． ●板書設(shè)計(jì) ●授后記

23、課題: 1.2.1解三角形應(yīng)用舉例(1) ●教學(xué)目標(biāo) 知識與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實(shí)際問題，了解常用的測量相關(guān)術(shù)語 過程與方法：首先通過巧妙的設(shè)疑，順利地引導(dǎo)新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊．其次結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，采用“提出問題——引發(fā)思考——探索猜想——總結(jié)規(guī)律——反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過程，根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開例題，設(shè)計(jì)變式，同時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學(xué)生掌握解法，能夠類比解決實(shí)際問題．對于例2這樣的開放性題目要鼓勵學(xué)生討論，開放多種思路，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹更c(diǎn)和矯正 情感態(tài)度與價值觀：激發(fā)學(xué)生學(xué)

24、習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；同時培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力 ●重點(diǎn):實(shí)際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實(shí)際問題的解 ●難點(diǎn):根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖 ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 1、[復(fù)習(xí)舊知]復(fù)習(xí)提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？ 2、[設(shè)置情境] 請學(xué)生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的

25、距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測量問題的真實(shí)背景下，某些方法會不能實(shí)施．如因?yàn)闆]有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性．于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的．今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測量距離． Ⅱ.講授新課 解決實(shí)際測量問題的過程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解 [例題講解] 例1.如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測

26、量兩點(diǎn)之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離是55m，BAC=，ACB=．求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m) 啟發(fā)提問1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運(yùn)用哪個定理比較適當(dāng)？ 啟發(fā)提問2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學(xué)生回答． 分析：這是一道關(guān)于測量從一個可到達(dá)的點(diǎn)到一個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊． 解：根據(jù)正弦定理，得 = AB = = = = ≈ 65.7(m) 答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65

27、.7米 變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？ 老師指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立數(shù)學(xué)模型．解略：a km 例2.如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測量A、B兩點(diǎn)間距離的方法． 分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測量問題．首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)．根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離． 解：測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測得CD=a，并且在C、D

28、兩點(diǎn)分別測得BCA=， ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定理得 AC = = BC = = 計(jì)算出AC和BC后，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離 AB = 分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進(jìn)行對比、分析． 變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60(略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20) 評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種

29、解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計(jì)算方式． 學(xué)生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子． Ⅲ.課堂練習(xí) 課本第14頁練習(xí)第1、2題 Ⅳ.課時小結(jié) 解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟： （1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖 （2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解 （4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解 Ⅴ.課后作

30、業(yè) 課本第22頁第1、2、3題 ●板書設(shè)計(jì) ●授后記 課題: 1.2.2解三角形應(yīng)用舉例(2) ●教學(xué)目標(biāo) 知識與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測量的問題 過程與方法：本節(jié)課是解三角形應(yīng)用舉例的延伸．采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學(xué)生在溫故知新中學(xué)會正確識圖、畫圖、想圖，幫助學(xué)生逐步構(gòu)建知識框架．通過3道例題的安排和練習(xí)的訓(xùn)練來鞏固深化解三角形實(shí)際問題的一般方法．教學(xué)形式要堅(jiān)持引導(dǎo)——討論——?dú)w納，目的不在于讓學(xué)生記住結(jié)論，更多的要養(yǎng)成良好的研究、探索習(xí)慣．作業(yè)設(shè)計(jì)思考題，提供學(xué)生更廣闊的思考空間 情感態(tài)度與價值觀：進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)

31、學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力 ●教學(xué)重點(diǎn):結(jié)合實(shí)際測量工具，解決生活中的測量高度問題 ●教學(xué)難點(diǎn):能觀察較復(fù)雜的圖形，從中找到解決問題的關(guān)鍵條件 ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 提問：現(xiàn)實(shí)生活中,人們是怎樣測量底部不可到達(dá)的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨饶?？今天我們就來共同探討這方面的問題 Ⅱ.講授新課 [范例講解] 例1、AB是底部B不可到達(dá)的一個建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測量建筑物高度AB的方法． 分析：求AB長的關(guān)鍵是先求AE，在ACE中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA，再測出由C點(diǎn)觀察A的仰角，就可以計(jì)算

32、出AE的長． 解：選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上．由在H、G兩點(diǎn)用測角儀器測得A的仰角分別是、，CD = a，測角儀器的高是h，那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得AC = AB = AE + h = AC+ h = + h 例2、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A的俯角=54，在塔底C處測得A處的俯角=50．已知鐵塔BC部分的高為27.3 m,求出山高CD(精確到1 m) 師:根據(jù)已知條件,大家能設(shè)計(jì)出解題方案嗎？（給時間給學(xué)生討論思考）若在ABD中求CD，則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢？生：需求出BD邊． 師：那如何求BD邊呢？生：可首先求出AB邊，

33、再根據(jù)BAD=求得． 解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根據(jù)正弦定理, = ,所以 AB == 解RtABD中,得 BD =ABsinBAD= 將測量數(shù)據(jù)代入上式,得 BD = = ≈177 (m) CD =BD -BC≈177-27.3=150(m) 答:山的高度約為150米. 師：有沒有別的解法呢？生：若在ACD中求CD，可先求出AC． 師：分析得很好，請大家接著思考如何求出AC？生：同理，在ABC中，根據(jù)正弦定理求得．（解題過程略） 例3、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時測得公路南側(cè)遠(yuǎn)

34、處一山頂D在東偏南15的方向上,行駛5km后到達(dá)B處,測得此山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,求此山的高度CD. 師：欲求出CD，大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢？ 生：在BCD中 師：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件,易計(jì)算出哪條邊的長？ 生：BC邊 解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根據(jù)正弦定理, = , BC == ≈ 7.4524(km) CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m) 答:山的高度約為1047米 Ⅲ.課堂練習(xí):課本第17頁練習(xí)第1、2、3題 Ⅳ.課時小結(jié):利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學(xué)會審題

35、及根據(jù)題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕? Ⅴ.課后作業(yè) 1、 課本第23頁練習(xí)第6、7、8題 2、 為測某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓的樓頂處測得塔頂A的仰角為30，測得塔基B的俯角為45，則塔AB的高度為多少m？ 答案：20+(m) ●板書設(shè)計(jì) ●授后記 課題: 1.2.3解三角形應(yīng)用舉例(3) ●教學(xué)目標(biāo) 知識與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問題 過程與方法：本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了相關(guān)內(nèi)容后的第三節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)對解法有了基本的了解，這節(jié)課應(yīng)通過綜合訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生的相應(yīng)能力．除了

36、安排課本上的例1，還針對性地選擇了既具典型性有具啟發(fā)性的2道例題，強(qiáng)調(diào)知識的傳授更重能力的滲透．課堂中要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，重過程，重討論，教師通過導(dǎo)疑、導(dǎo)思讓學(xué)生有效、積極、主動地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三． 情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生提出問題、正確分析問題、獨(dú)立解決問題的能力，并在教學(xué)過程中激發(fā)學(xué)生的探索精神． ●教學(xué)重點(diǎn):能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點(diǎn)找到已知條件和所求角的關(guān)系 ●教學(xué)難點(diǎn):靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問題 ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 [創(chuàng)設(shè)情境] 提問：前面我們學(xué)習(xí)了如何測量距離和高度，這些實(shí)際上都可轉(zhuǎn)化已知三角

37、形的一些邊和角求其余邊的問題．然而在實(shí)際的航海生活中,人們又會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測量問題． Ⅱ.講授新課 [范例講解] 例1.如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01n mile) 學(xué)生看圖思考并講述解題思路,教師根據(jù)學(xué)生的回答歸納分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對

38、的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB． 解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根據(jù)余弦定理， AC= = ≈113.15 根據(jù)正弦定理, sinCAB = = ≈0.3255, 所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0 答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15n mile 例2.在某點(diǎn)B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進(jìn)30m，至點(diǎn)C處測得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10m至D點(diǎn)，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高． 師：請大家根據(jù)題意畫出

39、方位圖．生：上臺板演方位圖（上圖） 教師先引導(dǎo)和鼓勵學(xué)生積極思考解題方法，讓學(xué)生動手練習(xí)，請三位同學(xué)用三種不同方法板演，然后教師補(bǔ)充講評． 解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = ． 因?yàn)? sin4=2sin2cos2 cos2=,得 2=30 =15， 在RtADE中，AE=ADsin60=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m 解法二：（設(shè)方程來求解）設(shè)DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=

40、30 在 RtADE中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15 在 RtACE中,tan2== 2=30,=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m 解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8，由題意，得 BAC=， CAD=2， AC = BC =30m , AD = CD =10m 在RtACE中，sin2= --------- ① 在RtADE中，sin4=, --------- ② ②① 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m

41、 例3.某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？ 師：你能根據(jù)題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學(xué)生做圖建立數(shù)學(xué)模型 分析：這道題的關(guān)鍵是計(jì)算出三角形的各邊，即需要引入時間這個參變量． 解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x, AB=14x,AC=9, ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos 化簡得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去

42、) 所以BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因?yàn)閟inBAC === BAC =38,或BAC =141（鈍角不合題意，舍去）， 38+=83 答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83方向去追，經(jīng)過1.4小時才追趕上該走私船. 評注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用題，必須檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解 Ⅲ.課堂練習(xí)　課本第18頁練習(xí) Ⅳ.課時小結(jié)　解三角形的應(yīng)用題時，通常會遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．（2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，

43、這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解． Ⅴ.課后作業(yè) 1、課本第23頁練習(xí)第9、10、11題 2、我艦在敵島A南偏西相距12海里的B處,發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西的方向以10海里/小時的速度航行.問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時追上敵艦？（角度用反三角函數(shù)表示） ●板書設(shè)計(jì) ●授后記 課題: 1.2.3解三角形應(yīng)用舉例(4) ●教學(xué)目標(biāo) 知識與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問題, 掌握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用 過程與方法：本節(jié)課補(bǔ)充了三角形新的面積

44、公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時總結(jié)出該公式的特點(diǎn)，循序漸進(jìn)地具體運(yùn)用于相關(guān)的題型．另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學(xué)知識的生動運(yùn)用，教師要放手讓學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點(diǎn)，能不拘一格，一題多解．只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點(diǎn)，就能很快開闊思維，有利地進(jìn)一步突破難點(diǎn)． 情感態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識，加深對所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉悅的成功體驗(yàn) ●教學(xué)重點(diǎn):推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡單的相關(guān)題目 ●教學(xué)難點(diǎn):利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題 ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 [

45、創(chuàng)設(shè)情境] 師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學(xué)習(xí)它的另一個表達(dá)公式．在 ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h、h、h，那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎荆? 生：h=bsinC=csinB,h=csinA=asinC,h=asinB=bsinaA 師：根據(jù)以前學(xué)過的三角形面積公式S=ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個公式嗎？ 生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB 師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？生：如能知道

46、三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解 Ⅱ.講授新課 [范例講解] 例1.在ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm） （1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5; （2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm; （3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積． 解：（1）應(yīng)用S=acsinB，得 S=14.823.5sin1

47、48.5≈90.9(cm) (2)根據(jù)正弦定理， = c = S = bcsinA = b A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5 S = 3.16≈4.0(cm) (3)根據(jù)余弦定理的推論，得 cosB == ≈0.7697 sinB = ≈≈0.6384 應(yīng)用S=acsinB，得S ≈41.438.70.6384≈511.4(cm) 例2.如圖,在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm）？

48、 師：你能把這一實(shí)際問題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解． 由學(xué)生解答，老師巡視并對學(xué)生解答進(jìn)行講評小結(jié)． 解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論， cosB= =≈0.7532 sinB=0.6578 應(yīng)用S=acsinB S ≈681270.6578≈2840.38(m) 答：這個區(qū)域的面積是2840.38m． 例3.在ABC中，求證： （1）（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC） 分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點(diǎn)，聯(lián)想到

49、用正弦定理來證明 證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè) = = = k 顯然 k0，所以 左邊= ==右邊 （2）根據(jù)余弦定理的推論， 右邊=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c) =a+b+c=左邊 變式練習(xí)1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面積S 提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)． 答案：a=6,S=9;a=12,S=18 變式練習(xí)2：判斷滿足下列條件的三角形形狀，(1)acosA = bcosB, (2)sinC = 提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為

50、邊” 師：大家嘗試分別用兩個定理進(jìn)行證明． 生1：（余弦定理）得a=b c=, 根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形或直角三角形 生2：（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB, sin2A=sin2B, 2A=2B, A=B 根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形 師：根據(jù)該同學(xué)的做法，得到的只有一種情況，而第一位同學(xué)的做法有兩種，請大家思考，誰的正確呢？ 生：第一位同學(xué)的正確．第二位同學(xué)遺漏了另一種情況，因?yàn)閟in2A=sin2B,有可能推出2A與2B兩個角互補(bǔ)，即2A+2B=180，A+B=90 (2)（解略）直角三角形 Ⅲ.課堂練習(xí) 課本第21頁練習(xí)第1、2題 Ⅳ.課時小結(jié) 利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀．特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用． Ⅴ.課后作業(yè) 課本第23頁練習(xí)第12、14、15題 ●板書設(shè)計(jì) ●授后記 第18頁