人教A版 必修三第二章 用樣本分布估計(jì)總體分布 頻率分布直方圖 莖葉圖

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1、用 樣 本 分 布 估 計(jì)總 體 分 布 2 通 過 圖 、 表 、 計(jì) 算 來 分 析 樣 本 數(shù) 據(jù) ,找 出 數(shù) 據(jù)中 的 規(guī) 律 ,就 可 以 對 總 體 作 出 相 應(yīng) 的 估 計(jì) .這 種 估 計(jì) 一 般 分 成 兩 種 : 是 用 樣 本 的 數(shù) 字 特 征 (如 平 均 數(shù) 、 標(biāo) 準(zhǔn) 差 等 )估 計(jì) 總 體 的 數(shù) 字 特 征 . 是 用 樣 本 的 頻 率 分 布 估 計(jì) 總 體 的 分 布 . 用 樣 本 去 估 計(jì) 總 體 ， 是 研 究 統(tǒng) 計(jì) 問 題 的 一個 基 本 思 想 . 3 頻 率 分 布 樣 本 中 所 有 數(shù) 據(jù) （ 或 數(shù) 據(jù) 組 ） 的 頻 數(shù)

2、和 樣本 容 量 的 比 ， 叫 做 該 數(shù) 據(jù) 的 頻 率 .頻 率 分 布 的 表 示 形 式 有 ： 頻 率 分 布 表 頻 率 分 布 直 方 圖 頻 率 折 線 圖所 有 數(shù) 據(jù) （ 或 數(shù) 據(jù) 組 ） 的 頻 數(shù) 的 分 布 變 化規(guī) 律 叫 做 樣 本 的 頻 率 分 布 . 頻 率 分 布 表頻 率 分 布 直 方 圖頻 率 折 線 圖 制 作 頻 率 分 布 表 的 步 驟 下 面 我 們 通 過 一 個 具 體 的 實(shí) 例 來 闡 述 這 一 方 法 。NBA（ National Basketball Association） 是 美 國 男 子 職 業(yè) 籃球 聯(lián) 賽 的

3、簡 稱 ， 于 1946年 6月 6日 在 紐 約 成 立 ， 由 北 美 三 十 支 隊(duì)伍 組 成 的 男 子 職 業(yè) 籃 球 聯(lián) 盟 ， 匯 集 了 世 界 上 最 頂 級 的 球 員 ， 是 美國 四 大 職 業(yè) 體 育 聯(lián) 盟 之 一 。NBA比 賽 分 為 ： 季 前 賽 、 常 規(guī) 賽 和 季 后 賽 三 大 部 分 。季 前 賽 為 各 球 隊(duì) 的 熱 身 賽 。 常 規(guī) 賽 是 每 年 的 10月 末 至 次 年 的 4月中 旬 NBA30支 球 隊(duì) 之 間 進(jìn) 行 的 輪 回 賽 ， 每 支 球 隊(duì) 需 要 參 加 82場比 賽 ， 30支 球 隊(duì) 一 共 進(jìn) 行 1230場

4、 比 賽 。 常 規(guī) 賽 結(jié) 束 后 ， 東 、 西部 聯(lián) 盟 常 規(guī) 賽 戰(zhàn) 績 排 前 八 位 的 球 隊(duì) 進(jìn) 入 季 后 賽 爭 奪 總 冠 軍 。 下 面 的 數(shù) 據(jù) 是 NBA球 員 勒 布 朗 詹 姆 斯 ， 在 17-18賽 季 82場 常規(guī) 賽 、 1場 全 明 星 賽 和 13場 季 后 賽 共 96場 比 賽 的 每 場 得 分29 24 22 34 29 18 16 33 57 26 30 33 19 23 31 39 18 33 27 30 21 24 34 23 32 29 30 25 25 29 20 39 34 20 16 29 24 19 33 10 26 27

5、 32 16 18 28 26 25 21 24 11 25 37 22 24 37 29 32 18 33 31 30 25 31 39 25 24 28 35 33 40 35 27 37 18 41 27 16 27 33 44 26 10 24 46 28 32 44 22 45 26 43 38 29 15 42 最 大 值最 小 值 最 小 值這 96個數(shù) 據(jù) 中 的最 大 值 和最 小 值 分別 是 什 么 ?由 此 說 明樣 本 數(shù) 據(jù)的 變 化 范圍 是 什 么 ? 制 作 頻 率 分 布 表 的 方 法 步 驟 ： 求 極 差 （ 也 稱 全 距 ， 即 一 組 數(shù) 據(jù) 中

6、 最 大 值 與 最小 值 的 差 ） ： 極 差 57 10= 47 決 定 組 距 與 組 數(shù) ,并 選 好 分 點(diǎn) 去 分 組 那 么 組 數(shù) = =9.4極 差組 距 樣 本 數(shù) 據(jù) 有 96個 ， 由 上 面 算 得 極 差 為 47，取 組 距 為 5， ,于 是 分 成 10組 。 將 第 1組 的 起 點(diǎn) 定 為 10， 以 組 距 為 5將 數(shù) 據(jù) 分 組 時 ， 可 以 分 成 以 下 10組 ：10， 15)， 15， 20), ,50 ,55), 55， 60. 登 記 頻 數(shù) ， 計(jì) 算 頻 率 ， 列 出 頻 率 分 布 表 頻 率 = ， 如 第 1小 組10,1

7、5)的 頻 率 為 =0.03125頻 數(shù)樣 本 容 量 396 頻 率 分 布 表分 組 頻 數(shù) （ 個 數(shù) ） 頻 率10,15) 3 0.0312515,20) 12 0.12520,25) 16 0.1666725,30) 26 0.2708330,35) 21 0.2187535,40) 9 0.0937540,45) 6 0.062545,50) 2 0.0208350,55) 0 055,60 1 0.01042合 計(jì) 96 1 頻 率 /組 距0.00630.0250.03330.05420.04380.01880.01250.004200.00210.2 0510152025

8、30 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 40,45) 45,50) 50,55) 55,60頻數(shù)分布條形圖00.050.10.150.20.250.3 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 40,45) 45,50) 50,55) 55,60頻率分布條形圖 利 用 直 方 圖 反 映 樣 本 的 頻 率 分 布 規(guī) 律 ，這 樣 的 直 方 圖 稱 為 頻 率 分 布 直 方 圖 ， 簡 稱頻 率 直 方 圖 。頻 率 分 布 直 方 圖 的 繪 制 方 法 與 步 驟 S1 先 制 作 頻 率 分

9、 布 表 ， 然 后 作 直 角 坐 標(biāo) 系 ， 以 橫 軸 表 示 每 場 的 分 數(shù) ， 縱 軸 表 示 頻 率 /組 距 . S2 把 橫 軸 分 成 若 干 段 ， 每 一 段 對 應(yīng) 一 個 組 的 組 距 ， 即 在 橫 軸 上 標(biāo) 上 10， 15, , 55 , 60 表 示 的 點(diǎn) ；S3 在 上 面 標(biāo) 出 的 各 點(diǎn) 中 ， 分 別 以 相 鄰 兩 點(diǎn)為 端 點(diǎn) 的 線 段 為 底 作 矩 形 ， 它 的 高 等 于 該 組的 頻 率 /組 距 ， 每 個 矩 形 的 面 積 恰 好 是 該 組的 頻 率 。 這 些 矩 形 就 構(gòu) 成 了 頻 率 分 布 直 方 圖 。

10、 0 0 0.0063 0.025 0.0333 0.0542 0.0438 0.0188 0.0125 0.0042 0 0.002100.010.020.030.040.05 0.06 頻 率 分 布 直 方 圖頻 率 /組 距 分 數(shù) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 頻 率 分 布 直 方 圖 的 特 點(diǎn) 從 頻 率 分 布 直 方 圖 可 以 清 楚 的 看 出數(shù) 據(jù) 分 布 的 總 體 態(tài) 勢 ， 但 是 從 直 方 圖本 身 得 不 出 原 始 的 數(shù) 據(jù) 內(nèi) 容 。 所 以 ，把 數(shù) 據(jù) 表 示 成 直 方 圖 后 ， 原 有 的 具 體數(shù)

11、據(jù) 信 息 就 被 抹 掉 了 。 一 、 求 極 差 ， 即 數(shù) 據(jù) 中 最 大 值 與 最 小 值 的 差二 、 決 定 組 距 與 組 數(shù) ： 組 距 =極 差 /組 數(shù)三 、 分 組 ,通 常 對 組 內(nèi) 數(shù) 值 所 在 區(qū) 間 ， 取 左 閉 右 開 區(qū) 間 , 最 后 一 組 取 閉 區(qū) 間四 、 登 記 頻 數(shù) ,計(jì) 算 頻 率 ,列 出 頻 率 分 布 表畫 一 組 數(shù) 據(jù) 的 頻 率 分 布 直 方 圖 ,可 以 按 以 下 的步 驟 進(jìn) 行 :五 、 畫 出 頻 率 分 布 直 方 圖 （ 縱 軸 表 示 頻 率 組 距 ） 例 某 市 政 府 為 了 節(jié) 約 生 活 用

12、水 ， 計(jì) 劃 在 本 市 試行 居 民 生 活 用 水 定 額 管 理 ， 即 確 定 一 個 居 民 月 用水 量 標(biāo) 準(zhǔn) a ,用 水 量 不 超 過 a的 部 分 按 平 價 收 費(fèi) ，超 過 a的 部 分 按 議 價 收 費(fèi) 。 如 果 希 望 大 部 分 居 民 的 日 常 生 活 不 受 影 響 ， 那 么 標(biāo) 準(zhǔn) a定 為 多 少 比 較 合 理 呢 ？ 為 了 較 合 理 地 確 定 這 個 標(biāo) 準(zhǔn) ， 你 認(rèn) 為 需 要 做 哪 些 工 作 ？ 通 過 抽 樣 ， 我 們 獲 得 了 100位 居 民 某 年 的 月 平 均 用 水 量(單 位 ： t) ， 如 下 表 ：

13、 1.求 極 差 （ 即 一 組 數(shù) 據(jù) 中 最 大 值 與 最 小 值 的 差 ） 2.決 定 組 距 與 組 數(shù)組 數(shù) = 4.3 - 0.2 = 4.14.10.5 = 8.2組 距極 差 =3.將 數(shù) 據(jù) 分 組 0， 0.5 )， 0.5， 1 )， ， 4， 4.5 組 數(shù) ： 將 數(shù) 據(jù) 分 組 ， 當(dāng) 數(shù) 據(jù) 在 100個 以 內(nèi) 時 ， 按 數(shù) 據(jù) 多 少 常 分 8-12組 。組 距 ： 指 每 個 小 組 的 兩 個 端 點(diǎn) 的 距 離 ， 4.列 頻 率 分 布 表 100位 居 民 月 平 均 用 水 量 的 頻 率 分 布 表注 意 ： 這 里 出 來 了 條 形

14、圖 中 條 形 的 寬 度 。 頻 率 不 僅 與 條 形 的 高 度 有 關(guān) ， 而 且 與 它 的 寬 度 有 關(guān) 。 為 了 使 選 擇 不 同 寬 度 的 總 體 分 布 相 同 ， 我 們 用 另 一 種 圖 形表 示 ， 即 直 方 圖 用 面 積 表 示 頻 率 。 頻 率 /組 距 月 平 均 用 水 量 /t0.500.400.300.200.10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5.畫 頻 率 分 布 直 方 圖小 長 方 形 的 面 積 組 距頻 率 =組 距 頻 率= 注 意 ： 這 里 的 縱 坐 標(biāo) 不 是 頻 率 ，而 是 頻 率 /組

15、 距 ； 某 個 區(qū) 間 上 的 頻 率 用 這 個區(qū) 間 的 面 積 表 示 ； 探 究 ： 同 樣 一 組 數(shù) 據(jù) ， 如 果 組 距 不 同 ， 橫 軸 、 縱 軸 的 單 位不 同 ， 得 到 的 圖 的 形 狀 也 會 不 同 。 不 同 的 形 狀 給 人 以 不同 的 印 象 ， 這 種 印 象 有 時 會 影 響 我 們 對 總 體 的 判 斷 。 分別 以 1和 0.1為 組 距 重 新 作 圖 ， 然 后 談 談 你 對 圖 的 印 象 。 頻 率 分 布 折 線 圖 ： 月 均 用 水 量 /t頻 率組 距0.100.200.300.400.50 0.5 1 1.5 2

16、2.5 3 3.5 4 4.5連 接 頻 率 分 布 直 方 圖中 各 小 長 方 形 上 端 的中 點(diǎn) ,得 到 頻 率 分 布 折線 圖 利用樣本頻率分布對總體分布進(jìn)行相應(yīng)估計(jì)（ 3） 當(dāng) 樣 本 容 量 無 限 增 大 ， 組 距 無 限 縮 小 ，那 么 頻 率 分 布 直 方 圖 就 會 無 限 接 近 于 一 條 光 滑曲 線 總體密度曲線。（ 2） 樣 本 容 量 越 大 ， 這 種 估 計(jì) 越 精 確 。（ 1） 上 例 的 樣 本 容 量 為 100， 如 果 增 至 1000，其 頻 率 分 布 直 方 圖 的 情 況 會 有 什 么 變 化 ？ 假 如 增至 10000呢

17、 ？ 總體密度曲線頻 率組 距 月 均 用水 量 /ta b總體密度曲線的實(shí)際意義在于： 總體密度曲線與x軸，直線x=a，x=b圍成的面積等于x在a，b取值時的頻率. 用 樣 本 分 布 直 方 圖 去 估 計(jì) 相 應(yīng) 的 總 體 分布 時 ， 一 般 樣 本 容 量 越 大 ， 頻 率 分 布 直 方 圖就 會 無 限 接 近 總 體 密 度 曲 線 ， 就 越 精 確 地 反映 了 總 體 的 分 布 規(guī) 律 ， 即 越 精 確 地 反 映 了 總體 在 各 個 范 圍 內(nèi) 取 值 概 率 。 總 體 密 度 曲 線 反 映 了 總 體 在 各 個 范 圍內(nèi) 取 值 的 概 率 ,精 確

18、地 反 映 了 總 體 的 分 布 規(guī)律 。 是 研 究 總 體 分 布 的 工 具 .總體密度曲線 做 一 做 :下 列 關(guān) 于 頻 率 分 布 直 方 圖 的 說 法 正 確 的是 ( )A.頻 率 分 布 直 方 圖 的 高 表 示 取 某 數(shù) 的 頻 率B.頻 率 分 布 直 方 圖 的 高 表 示 該 組 上 的 個 體 在 樣 本中 出 現(xiàn) 的 頻 率C.頻 率 分 布 直 方 圖 的 高 表 示 取 某 組 上 的 個 體 在 樣本 中 出 現(xiàn) 的 頻 數(shù) 與 組 距 的 比 值D.頻 率 分 布 直 方 圖 的 高 表 示 取 該 組 上 的 個 體 在 樣本 中 出 現(xiàn) 的

19、頻 率 與 組 距 的 比 值D 做 一 做 :在 頻 率 分 布 直 方 圖 與 總 體 密 度 曲 線 的 關(guān) 系中 ,下 列 說 法 正 確 的 是 ( )A.頻 率 分 布 直 方 圖 與 總 體 密 度 曲 線 無 關(guān)B.頻 率 分 布 直 方 圖 就 是 總 體 密 度 曲 線C.樣 本 容 量 很 大 的 頻 率 分 布 直 方 圖 就 是 總 體 密 度曲 線D.如 果 樣 本 容 量 無 限 增 大 ,分 組 組 距 無 限 縮 小 ,那 么頻 率 分 布 直 方 圖 就 可 以 用 一 條 光 滑 曲 線 總 體 密度 曲 線 來 描 繪 D 合 學(xué) 習(xí)例 1 一 個 樣

20、本 的 容 量 為 72,分 成 5組 ,已 知 第 一 、 五 組 的 頻 數(shù) 都 為 8,第 二 、四 組 的 頻 率 都 為 2/9 ,則 第 三 組 的 頻數(shù) 為 ( )A.16 B.20 C.24 D.36C 練 1:某 市 高 三 數(shù)學(xué) 抽 樣 考 試 中 ,對 90分 以 上 (含 90分 )的成 績 進(jìn) 行 統(tǒng) 計(jì) ,其 頻率 分 布 直 方 圖 如 圖所 示 ,若 130140分 數(shù) 段 的 人 數(shù) 為 90,則 90100分 數(shù) 段的 人 數(shù) 為 .810 【 典 例 】 中 小 學(xué) 生 的 視 力 狀 況 受 到 社 會 的 廣 泛 關(guān) 注 ,某 市 有 關(guān) 部 門從 全

21、 市 6萬 名 高 一 學(xué) 生 中 隨 機(jī) 抽 取 了 400名 ,對 他 們 的 視 力 狀 況 進(jìn) 行 一次 調(diào) 查 統(tǒng) 計(jì) ,將 所 得 到 的 有 關(guān) 數(shù) 據(jù) 繪 制 成 頻 率 分 布 直 方 圖 ,如 下 圖 所 示 .從 左 至 右 五 個 小 組 的 頻 率 之 比 依 次 是 5 7 12 10 6,則 全 市 高 一學(xué) 生 視 力 在 3.95,4.25)范 圍 內(nèi) 的 學(xué) 生 約 有 多 少 人 ? 7500 例 2.如 圖 ， 從 參 加 環(huán) 保 知 識 競 賽 的 學(xué) 生 中 抽 出 60名 ，將 其 成 績 （ 均 為 整 數(shù) ） 整 理 后 畫 出 的 頻 率 分

22、 布 直 方 圖如 下 ： 觀 察 圖 形 ， 回 答 下 列 問 題 ： （ 1） 79.5-89.5這 一 組 的 頻 數(shù) 、 頻 率 分 別 是 多 少 ？（ 2） 估 計(jì) 這 次 環(huán) 保 知 識 競 賽 的 及 格 率 （ 60分 及 以 上為 及 格 ） 15 0.2575% 例 3： 某 校 高 一 某 班 共 有64名 學(xué) 生 ， 下 圖 是 該 班某 次 數(shù) 學(xué) 考 試 成 績 的 頻率 分 布 直 方 圖 ， 根 據(jù) 該圖 可 知 ， 成 績 在 110 120間 的 同 學(xué) 大 約 有_人13 例 4 為 了 了 解 某 地 區(qū) 高 三 學(xué) 生 的 身 體 發(fā) 育 情 況

23、， 抽 查了 該 地 區(qū) 100名 年 齡 為 17.5歲 歲 的 男 生 體 重(kg) ,得 到 頻 率 分 布 直 方 圖 如 下 ： 根 據(jù) 上 圖 可 得 這100名 學(xué) 生 中 體 重 在 56.5,64.5)的 學(xué) 生 人 數(shù) 是 400.070.050.03 54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5 例 5、 一 個 社 會 調(diào) 查 機(jī) 構(gòu)就 某 地 居 民 的 月 收 入 調(diào) 查了 10000人 ， 并 根 據(jù) 所 得數(shù) 據(jù) 畫 了 樣 本 的 頻 率 分 布直 方 圖 （ 如 下 圖 ） 。 為

24、了分 析 居 民 的 收 入 與 年 齡 、學(xué) 歷 、 職 業(yè) 等 方 面 的 關(guān) 系 ，要 從 這 10000人 中 再 用 分層 抽 樣 方 法 抽 出 100人 作進(jìn) 一 步 調(diào) 查 ， 則 在2500,3000) （ 元 ） 月 收入 段 應(yīng) 抽 出 _人 。25 例 6.圖 l是 某 縣 參 加 2017年 高 考 的 學(xué) 生 身 高 條 形 統(tǒng)計(jì) 圖 ， 從 左 到 右 的 各 條 形表 示 的 學(xué) 生 人 數(shù) 依 次 記 為A1、 A2、 、 Am (如 A2表示 身 高 (單 位 :cm)在 150，155)內(nèi) 的 學(xué) 生 人 數(shù) )圖 2是 統(tǒng) 計(jì) 圖 l 中身 高 在 一

25、定 范 圍 內(nèi) 學(xué) 生 人 數(shù) 的一 個 算 法 流 程 圖 現(xiàn) 要 統(tǒng) 計(jì) 身 高 在 160 180cm (含 160cm， 不 含180cm)的 學(xué) 生 人 數(shù) ， 那 么 在 流 程 圖 中 的 判 斷 框 內(nèi) 應(yīng) 填 寫 的 條 件 是（ ） A i 9 B i 8 C i 7 D i 6B 頻 率組 距0.10.20.30.40.5 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月 平 均 用 水 量 (t) 眾 數(shù) 、 中 位 數(shù) 、 平 均 數(shù) 與 頻 率 分 布 直 方 圖 的 關(guān) 系100位 居 民 月 用 水 量 的 頻 率 分 布 直 方 圖 頻 率組 距

26、0.10.20.30.40.5 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月 平 均 用 水 量 (t) 眾 數(shù) 、 中 位 數(shù) 、 平 均 數(shù) 與 頻 率 分 布 直 方 圖 的 關(guān) 系 2.25 眾 數(shù) 與 頻 率 分 布 直 方 圖 的 關(guān) 系 ： 因 為 在 頻 率 分 布 直 方 圖 中 ， 各 小 長方 形 的 面 積 表 示 相 應(yīng) 各 組 的 頻 率 ， 也顯 示 出 樣 本 數(shù) 據(jù) 落 在 各 小 組 的 比 例 的大 小 ， 所 以 從 圖 中 可 以 看 到 ， 在 區(qū) 間2， 2.5） 的 小 長 方 形 的 面 積 最 大 ， 即這 組 的 頻 率

27、是 最 大 的 ， 也 就 是 說 月 均用 水 量 在 區(qū) 間 2， 2.5） 內(nèi) 的 居 民 最 多 ，即 眾 數(shù) 就 是 在 區(qū) 間 2， 2.5） 內(nèi) 。 眾 數(shù) 在 樣 本 數(shù) 據(jù) 的 頻 率 分 布 直 方 圖 中 ， 就 是 最 高 矩 形 的 中 點(diǎn) 的 橫 坐 標(biāo) 。 頻 率組 距0.10.20.30.40.5 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月 平 均 用 水 量 (t) 眾 數(shù) 、 中 位 數(shù) 、 平 均 數(shù) 與 頻 率 分 布 直 方 圖 的 關(guān) 系 2.25眾 數(shù) 在 樣 本 數(shù) 據(jù) 的 頻 率 分 布 直 方 圖 中 ， 就 是 最 高

28、矩 形 的 中 點(diǎn) 的 橫 坐 標(biāo) 。 眾 數(shù) 的 優(yōu) 缺 點(diǎn) ： 眾 數(shù) 體 現(xiàn) 了 樣 本 數(shù) 據(jù) 的 最 大 集 中 點(diǎn) ，但 它 對 其 它 數(shù) 據(jù) 信 息 的 忽 視 使 得 無 法客 觀 地 反 映 總 體 特 征 .如 上 例 中 眾 數(shù) 是2.25t,它 告 訴 我 們 ,月 均 用 水 量 為 2.25t的 居 民 數(shù) 比 月 均 用 水 量 為 其 它 數(shù) 值 的居 民 數(shù) 多 ,但 它 并 沒 有 告 訴 我 們 多 多 少 . 頻 率組 距0.10.20.30.40.5 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月 平 均 用 水 量 (t) 眾 數(shù)

29、、 中 位 數(shù) 、 平 均 數(shù) 與 頻 率 分 布 直 方 圖 的 關(guān) 系中 位 數(shù) 與 頻 率 分 布 直 方 圖 的 關(guān) 系 ： 在 樣 本 中 ， 有 50 的 個 體 小 于 或等 于 中 位 數(shù) ， 也 有 50 的 個 體 大 于或 等 于 中 位 數(shù) ， 因 此 ， 在 頻 率 分 布直 方 圖 中 ， 中 位 數(shù) 左 邊 和 右 邊 的 直方 圖 的 面 積 應(yīng) 該 相 等 ， 由 此 可 以 估計(jì) 中 位 數(shù) 的 值 。 在 這 個 頻 率 分 布 直方 圖 中 ， 左 邊 的 直 方 圖 的 面 積 代 表50個 單 位 ， 右 邊 的 直 方 圖 也 是 代 表50個 單

30、 位 ， 它 們 的 分 界 線 與 x軸 交 點(diǎn)的 橫 坐 標(biāo) 就 是 中 位 數(shù) 。 中 位 數(shù) 在 樣 本 數(shù) 據(jù) 的 頻 率 分 布 直 方 圖 中 ， 就 是 把 頻 率 分 布 直 方 圖 劃 分 左 右 兩個 面 積 相 等 的 分 界 線 與 x軸 交 點(diǎn) 的 橫 坐 標(biāo) 。2.02 頻 率組 距0.10.20.30.40.5 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月 平 均 用 水 量 (t) 眾 數(shù) 、 中 位 數(shù) 、 平 均 數(shù) 與 頻 率 分 布 直 方 圖 的 關(guān) 系 中 位 數(shù) 在 樣 本 數(shù) 據(jù) 的 頻 率 分 布 直 方 圖 中 ， 就 是

31、 把 頻 率 分 布 直 方 圖 劃 分 左 右 兩個 面 積 相 等 的 分 界 線 與 x軸 交 點(diǎn) 的 橫 坐 標(biāo) 。2.02 中 位 數(shù) 的 優(yōu) 缺 點(diǎn) ： 中 位 數(shù) 是 樣 本 數(shù) 據(jù) 所 占 頻 率 的 等分 線 ， 它 不 受 少 數(shù) 幾 個 極 端 值 的 影響 ， 這 在 某 些 情 況 下 是 優(yōu) 點(diǎn) ， 但 它對 極 端 值 的 不 敏 感 有 時 也 會 成 為 缺點(diǎn) 。 如 假 設(shè) 有 某 一 用 戶 月 均 用 水 量為 10t， 那 么 它 所 占 頻 率 為 0.01,幾乎 不 影 響 中 位 數(shù) ,但 顯 然 這 一 極 端 值是 不 能 忽 視 的 。 頻

32、 率組 距0.10.20.30.40.5 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月 平 均 用 水 量 (t) 平 均 數(shù) 與 頻 率 分 布 直 方 圖 的 關(guān) 系 ： 平 均 數(shù) 是 頻 率 分 布 直 方 圖 的 “ 重 心 ” ，是 直 方 圖 的 平 衡 點(diǎn) . 眾 數(shù) 、 中 位 數(shù) 、 平 均 數(shù) 與 頻 率 分 布 直 方 圖 的 關(guān) 系 平 均 數(shù) 在 樣 本 數(shù) 據(jù) 的 頻 率 分 布 直 方 圖 中 ， 等 于 頻 率 分 布 直 方 圖 中 每 個 小 矩 形面 積 乘 以 小 矩 形 底 邊 中 點(diǎn) 的 橫 坐 標(biāo) 之 和 。2.02t 頻 率組

33、 距0.10.20.30.40.5 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月 平 均 用 水 量 (t) 眾 數(shù) 、 中 位 數(shù) 、 平 均 數(shù) 與 頻 率 分 布 直 方 圖 的 關(guān) 系 2.02t 平 均 數(shù) 的 優(yōu) 缺 點(diǎn) ： 由 于 平 均 數(shù) 與 每 一 個 樣 本 的 數(shù) 據(jù)有 關(guān) ， 所 以 任 何 一 個 樣 本 數(shù) 據(jù) 的 改變 都 會 引 起 平 均 數(shù) 的 改 變 ， 這 是 眾數(shù) 、 中 位 數(shù) 都 不 具 有 的 性 質(zhì) 。 也 正因 如 此 ， 與 眾 數(shù) 、 中 位 數(shù) 比 較 起 來 ，平 均 數(shù) 可 以 反 映 出 更 多 的 關(guān) 于 樣

34、 本數(shù) 據(jù) 全 體 的 信 息 ， 但 平 均 數(shù) 受 數(shù) 據(jù)中 的 極 端 值 的 影 響 較 大 ， 使 平 均 數(shù)在 估 計(jì) 時 可 靠 性 降 低 。 平 均 數(shù) 在 樣 本 數(shù) 據(jù) 的 頻 率 分 布 直 方 圖 中 ， 等 于 頻 率 分 布 直 方 圖 中 每 個 小 矩 形面 積 乘 以 小 矩 形 底 邊 中 點(diǎn) 的 橫 坐 標(biāo) 之 和 。 合 學(xué) 習(xí)【 2014課 標(biāo) 全 國 (文 )18】 從 某 企 業(yè) 生 產(chǎn) 的 某 種 產(chǎn)品 中 抽 取 100件 ， 測 量 這 些 產(chǎn) 品 的 一 項(xiàng) 質(zhì) 量 指 標(biāo) 值 ，由 測 量 結(jié) 果 得 如 下 頻 數(shù) 分 布 表 ：質(zhì)量

35、指標(biāo)值分組 75,85) 85,95) 95,105) 105,115) 115,125)頻數(shù) 6 26 38 22 8(1)在 答 題 卡 上 作 出 這 些 數(shù) 據(jù) 的 頻 率 分 布 直 方 圖 ；(2)估 計(jì) 這 種 產(chǎn) 品 質(zhì) 量 指 標(biāo) 值 的 平 均 數(shù) 及 方 差(同 一 組 中 的 數(shù) 據(jù) 用 該 組 區(qū) 間 的 中 點(diǎn) 值 作 代 表 ) ;(3)根 據(jù) 以 上 抽 樣 調(diào) 查 數(shù) 據(jù) ， 能 否 認(rèn) 為 該 企 業(yè) 生 產(chǎn) 的 這 種產(chǎn) 品 符 合 “ 質(zhì) 量 指 標(biāo) 值 不 低 于 95的 產(chǎn) 品 至 少 要 占 全 部 產(chǎn)品 80%” 的 規(guī) 定 ？ 合 學(xué) 習(xí)【 2

36、016高 考 北 京 （ 文 ） 18】 某 市 民 用 水 擬 實(shí) 行 階 梯 水 價 ， 每 人 用 水 量 中 不 超 過 w立 方米 的 部 分 按 4元 /立 方 米 收 費(fèi) ， 超 出 w立 方 米 的 部 分 按 10元 /立 方 米 收 費(fèi) ， 從 該 市 隨 機(jī)調(diào) 查 了 10000位 居 民 ， 獲 得 了 他 們 某 月 的 用 水 量 數(shù) 據(jù) ， 整 理 得 到 如 下 頻 率 分 布 直 方 圖 ：（ I） 如 果 w為 整 數(shù) ， 那么 根 據(jù) 此 次 調(diào) 查 ， 為 使80%以 上 居 民 在 該 月 的用 水 價 格 為 4元 /立 方 米 ，w至 少 定 為

37、多 少 ？（ II） 假 設(shè) 同 組 中 的 每 個數(shù) 據(jù) 用 該 組 區(qū) 間 的 右 端 點(diǎn)值 代 替 ， 當(dāng) w=3時 ， 估 計(jì)該 市 居 民 該 月 的 人 均 水 費(fèi) . 合 學(xué) 習(xí) 合 學(xué) 習(xí)【 2015高 考 廣 東 (文 )17】 某 城 市 100戶 居 民 的 月 平 均 用 電 量 （ 單 位 ： 度 ） ， 以 160,180),180,200),200,220),220,240),240,260),260,280),280,300)分 組 的 頻 率 分 布 直 方 圖 如 圖 2.0.0020.0095 0.0110.0125 x 0.0050.0025 00.00

38、20.0040.0060.0080.010.0120.014 頻率分布直方圖 160 180 200 220 240 260 280 300(1)求 直 方 圖 中 x的 值 ；(2)求 月 平 均 用 電 量 的 眾數(shù) 和 中 位 數(shù) ；(3)在 月 平 均 用 電 量 為220,240),240,260),260,280),280,300)的 四 組 用 戶 中 ， 用 分 層抽 樣 的 方 法 抽 取 11戶 居民 ， 則 月 平 均 用 電 量 在220,240)的 用 戶 中 應(yīng)抽 取 多 少 戶 ？ 合 學(xué) 習(xí) 數(shù) 據(jù) 莖 葉 圖 頻 率 分 布 表 、 頻 率 分 布 直 方 圖

39、 能 幫 助 我 們 理 解 數(shù) 據(jù) ， 除此 之 外 統(tǒng) 計(jì) 中 還 有 一 種 被 用 來 表 示 數(shù) 據(jù) 的 圖 叫 做 莖 葉 圖NBA某 賽 季 甲 、 乙 兩 名 籃 球 運(yùn) 動 員 每 場 比 賽 的 得 分 的 原始 紀(jì) 錄 如 下 ：甲 運(yùn) 動 員 得 分 ： 13， 51， 23， 8， 26， 38， 16， 33，14， 28， 39；乙 運(yùn) 動 員 得 分 ： 49， 24， 12， 31， 50， 31， 44， 36，15， 37， 25， 36， 39.問 題 ： 請 用 適 當(dāng) 的 方 法 表 示 上 述 數(shù) 據(jù) ， 并 對 兩 名 運(yùn) 動 員的 得 分 能

40、力 進(jìn) 行 比 較 . 頻 率 分 布 表分 組 頻 數(shù) 頻 率甲 乙 甲 (11) 乙 (13)0,10) 1 0 0.09 0.00 10,20) 3 2 0.27 0.15 20,30) 3 2 0.27 0.15 30,40) 3 6 0.27 0.46 40,50) 0 2 0.00 0.15 50,60) 1 1 0.09 0.08 當(dāng) 數(shù) 據(jù) 比 較 少 時 ， 應(yīng) 用 列 分 布 直 方 圖 反 而 不 方 便 莖 葉 圖 顧 名 思 義 ,莖 是 指 中 間 的 一 列 數(shù) ,葉 就 是從 莖 的 旁 邊 生 長 出 來 的 數(shù) .當(dāng) 數(shù) 據(jù) 是 兩 位 有效 數(shù) 字 時 ,

41、用 中 間 的 數(shù) 字 表 示 十 位 數(shù) ,兩 邊 的數(shù) 字 表 示 個 位 數(shù) . 莖 是 指 中 間 的 一 列 數(shù) ，表 示 得 分 的 十 位 數(shù) 葉 就 是 從 莖 的 旁 邊 生長 出 來 的 數(shù) ， 表 示 得分 的 個 位 數(shù) 。 觀 看 下 面 兩 名 選 手 全 壘 打 數(shù) 據(jù) 的 莖 葉 圖 ， 對 他們 的 全 壘 打 兩 名 選 手 表 現(xiàn) 進(jìn) 行 比 較 . 1961年 揚(yáng) 基 隊(duì) 外 壘 手 馬 利 斯 打 破 了 魯 斯 的 一 個賽 季 打 出 60個 全 壘 打 的 記 錄 .下 面 是 揚(yáng) 基 隊(duì) 的 歷 年 比賽 中 的 魯 斯 和 馬 利 斯 每 年

42、 擊 出 的 全 壘 打 的 比 較 圖 ： 問 題 ： 和 直 方 圖 比 較 ， 莖 葉 圖 有 什 么 特 點(diǎn) ？優(yōu) 點(diǎn) :(1)保 留 了 原 始 數(shù) 據(jù) ,沒 有 損 失 樣 本 信 息 ; (2)數(shù) 據(jù) 可 以 隨 時 記 錄 、 添 加 或 修 改 .缺 陷 :莖 葉 圖 只 方 便 記 錄 一 組 或 兩 組 的 數(shù) 據(jù) ,兩 組 以 上 的 數(shù) 據(jù)雖 然 能 夠 記 錄 ,但 是 沒 有 表 示 兩 組 記 錄 那 么 直 觀 、 清 晰 .當(dāng) 樣 本數(shù) 據(jù) 較 多 時 ,就 顯 得 不 太 方 便 ,因 為 每 一 個 數(shù) 據(jù) 都 要 在 圖 中 占 據(jù)一 個 空 間 ,如

43、 果 數(shù) 據(jù) 很 多 ,枝 葉 就 會 很 長 . 一 般 地 ， 畫 出 一 組 樣 本 數(shù) 據(jù) 的 莖 葉 圖 的 步 驟 如 下 ：第 一 步 ， 將 每 個 數(shù) 據(jù) 分 為 “ 莖 ” 和 “ 葉 ”兩 部 分 ；第 二 步 ， 將 各 個 數(shù) 據(jù) 的 莖 按 大 小 次 序（ 由 小 到 大 ） 排 成 一 列 ；第 三 步 ， 將 各 個 數(shù) 據(jù) 的 葉 按 大 小 次 序 寫在 莖 左 （ 右 ） 側(cè) 。 【 2015高 考 山 東 （ 文 ） 6】 為 比 較 甲 、 乙 兩 地 某 月 14時 的 氣 溫 狀 況 ，隨 機(jī) 選 取 該 月 中 的 5天 ， 將 這 5天 中

44、14時 的 氣 溫 數(shù) 據(jù) （ 單 位 ： ）制 成 如 圖 所 示 的 莖 葉 圖 .考 慮 以 下 結(jié) 論 ： 甲 地 該 月 14時 的 平 均 氣 溫 低 于 乙 地 該 月 14時 的 平 均 氣 溫 ； 甲 地 該 月 14時 的 平 均 氣 溫 高 于 乙 地 該 月 14時 的 平 均 氣 溫 ； 甲 地 該 月 14時 的 平 均 氣 溫 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 小 于 乙 地 該 月 14時 的 氣 溫 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 ； 甲 地 該 月 14時 的 平 均 氣 溫 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 大 于 乙 地 該 月 14時 的 氣 溫 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 .其 中 根 據(jù) 莖 葉 圖 能 得 到

45、 的 統(tǒng) 計(jì) 結(jié) 論 的 標(biāo) 號 為 ( )A. B. C . D. B 【 2015高 考 重 慶 （ 文 ） 4】 重 慶 市 2013年 各月 的 平 均 氣 溫 （ C） 數(shù) 據(jù) 的 莖 葉 圖 如 下則 這 組 數(shù) 據(jù) 中 的 中 位 數(shù) 是 （ ）(A) 19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )23 B 【 2016蘭 州 模 擬 】 對 某 商 店 一 個 月 內(nèi) 每 天的 顧 客 人 數(shù) 進(jìn) 行 統(tǒng) 計(jì) ， 得 到 樣 本 的 莖 葉 圖 (如圖 所 示 )， 則 該 樣 本 的 中 位 數(shù) 、 眾 數(shù) 、 極 差 分別 是 ( )A 47, 45, 56B 46, 4

46、5, 53C 46, 45, 56D 45, 47, 53C 【 2013課 標(biāo) 全 國 （ 文 ） 18】 為 了 比 較 兩 種 治 療 失 眠 癥 的 藥 (分 別 稱為 A藥 ， B藥 )的 療 效 ， 隨 機(jī) 地 選 取 20位 患 者 服 用 A藥 ， 20位 患 者 服 用 B藥 ， 這 40位 患 者 在 服 用 一 段 時 間 后 ， 記 錄 他 們 日 平 均 增 加 的 睡 眠 時 間(單 位 ： h) 試 驗(yàn) 的 觀 測 結(jié) 果 如 下 ：服 用 A藥 的 20位 患 者 日 平 均 增 加 的 睡 眠 時 間 ：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2

47、2.3 3.2 3.5 2.5 2.61.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服 用 B藥 的 20位 患 者 日 平 均 增 加 的 睡 眠 時 間 ：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.51.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分 別 計(jì) 算 兩 組 數(shù) 據(jù) 的 平 均 數(shù) ， 從 計(jì) 算 結(jié) 果 看 ， 哪 種 藥 的 療 效 更 好 ？(2)根 據(jù) 兩 組 數(shù) 據(jù) 完 成 下 面 莖 葉 圖 ， 從 莖 葉 圖 看 ， 哪 種 藥 的 療 效 更 好 ？ 分 類名 稱 步 驟 優(yōu)

48、點(diǎn) 注 意頻 率 分布 表 1、 求 全 距 (組 數(shù) 、 組 距 )2、 分 組3、 登 記 頻 數(shù) ， 計(jì) 算 頻 率 數(shù) 據(jù) 詳 實(shí) ，清 晰 明 了 ，便 于 查 閱 分 組 過 少 ， 總 體 特 征不 明 顯 ； 分 組 過 多 ，總 體 特 征 不 利 于 比 較頻 率 分 布直 方 圖 1、 標(biāo) 橫 軸2、 計(jì) 算 (頻 率 /組 距 )標(biāo) 縱 軸3、 做 矩 形 形 象 直 觀 ，對 比 效 果 強(qiáng) 烈 組 數(shù) 足 夠 多 時 ，呈 現(xiàn) 折 線 圖頻 率 折 線圖 （ 密 度曲 線 ） 將 矩 形 上 寬 的 中點(diǎn) 順 次 連 接 能 反 映 數(shù) 據(jù) 的 變 化 發(fā)展 趨 勢 組 距 越 小 ，曲 線 越 光 滑 莖 葉 圖 1、 莖 (十 位 數(shù) )2、 葉 (個 位 數(shù) ) 所 有 的 信 息 都 可 以 在莖 葉 圖 中 得 到 ， 便 于記 錄 當(dāng) 樣 本 數(shù) 據(jù) 很 多 時 ，就 不 容 易 操 作 ； 對 差異 不 大 的 兩 組 數(shù) 據(jù) ，不 易 分 析