2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料《奇數(shù)偶數(shù)》.doc

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2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料《奇數(shù)偶數(shù)》 將全體整數(shù)分為兩類，凡是2的倍數(shù)的數(shù)稱為偶數(shù)，否則稱為奇數(shù).因此，任一偶數(shù)可表為2m（m∈Z），任一奇數(shù)可表為2m+1或2m－1的形式.奇、偶數(shù)具有如下性質(zhì)： （1）奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)； 奇數(shù)偶數(shù)=奇數(shù)；偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)； 奇數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)； （2）奇數(shù)的平方都可表為8m+1形式，偶數(shù)的平方都可表為8m或8m+4的形式（m∈Z）. （3）任何一個正整數(shù)n，都可以寫成的形式，其中m為非負整數(shù)，l為奇數(shù). 這些性質(zhì)既簡單又明顯，然而它卻能解決數(shù)學競賽中一些難題. 例題講解 1．下列每個算式中，最少有一個奇數(shù)，一個偶數(shù)，那么這12個整數(shù)中，至少有幾個偶數(shù)？ □+□=□，□-□=□，□□＝□，□□＝□. 2．已知n是偶數(shù)，m是奇數(shù)，方程組的解是整數(shù)，那么( ) （A）p、q都是偶數(shù). （B）p、q都是奇數(shù). （C）p是偶數(shù)，q是奇數(shù) （D）p是奇數(shù)，q是偶數(shù) 3．在1，2，3…，1992前面任意添上一個正號和負號，它們的代數(shù)和是奇數(shù)還是偶數(shù). 4．70個數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個數(shù)以外，每個數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊兩個數(shù)的和，這一行最左邊的幾個數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，….問最右邊的一個數(shù)被6除余幾？ 5．設a、b是自然數(shù)，且有關系式 123456789=（11111+a）（11111-b）， ① 證明a-b是4的倍數(shù). - - + + - - - - + 6．在33的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符號，然后每次將表中任一行或一列的各格全部變化試問重復若干次這樣的“變號”程序后，能否從一張表變化為另一張表. + + - + + - - - + b a 7．設正整數(shù)d不等于2，5，13.證明在集合｛2，5，13，d｝中可以找到兩個元素a,b，使得ab－1不是完全平方數(shù). 8．設a、b、c、d為奇數(shù)，，證明：如果a+d=2k，b+c=2m，k,m為整數(shù)，那么a=1. 9．設是一組數(shù)，它們中的每一個都取1或－1，而且a1a2a3a4+a2a3a4a5+…+ana1a2a3=0，證明：n必須是4的倍數(shù). 課后練習 1.填空題 （1）有四個互不相等的自然數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差等于4，最大數(shù)與最小數(shù)的積是一個奇數(shù)，而這四個數(shù)的和是最小的兩位奇數(shù)，那么這四個數(shù)的乘積是______. （2）有五個連續(xù)偶數(shù)，已知第三個數(shù)比第一個數(shù)與第五個數(shù)和的多18，這五個偶數(shù)之和是____. （3）能否把1993部電話中的每一部與其它5部電話相連結？答____. 2.選擇題 （1）設a、b都是整數(shù)，下列命題正確的個數(shù)是（ ） ①若a+5b是偶數(shù)，則a-3b是偶數(shù)；②若a+5b是偶數(shù)，則a-3b是奇數(shù)； ③若a+5b是奇數(shù)，則a-3b是奇數(shù)；④若a+5b是奇數(shù)，則a-3b是偶數(shù). （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （2）若n是大于1的整數(shù)，則的值（ ）. （A）一定是偶數(shù) （B）必然是非零偶數(shù) （C）是偶數(shù)但不是2 （D）可以是偶數(shù)，也可以是奇數(shù) （3）已知關于x的二次三項式ax2+bx+c（a、b、c為整數(shù)），如果當x=0與x=1時，二次三項式的值都是奇數(shù)，那么a（ ） （A）不能確定奇數(shù)還是偶數(shù) （B）必然是非零偶數(shù) （C）必然是奇數(shù) （D）必然是零 3.試證明11986+91986+81986+61986是一個偶數(shù). 4.請用0到9十個不同的數(shù)字組成一個能被11整除的最小十位數(shù). 5.有n 個整數(shù)，共積為n，和為零，求證：數(shù)n能被4整除 6.在一個凸n邊形內(nèi)，任意給出有限個點，在這些點之間以及這些點與凸n邊形頂點之間，用線段連續(xù)起來，要使這些線段互不相交，而且把原凸n邊形分為只朋角形的小塊，試證這種小三我有形的個數(shù)與n有相同的奇偶性. 7.一個四位數(shù)是奇數(shù)，它的首位數(shù)字淚地其余各位數(shù)字，而第二位數(shù)字大于其它各位數(shù)字，第三位數(shù)字等于首末兩位數(shù)字的和的兩倍，求這四位數(shù). 8.試證：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次冪整除. 課后練習答案 １．（１）３０．（最小兩位奇數(shù)是１１，最大數(shù)與最小數(shù)同為奇數(shù)） （２）１８０．設第一個偶數(shù)為ｘ，則后面四個衣次為ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８． （３）不能． ２．Ｂ．Ｂ．Ａ ３．１１９８６是奇數(shù)１，９１９８６的個位數(shù)字是奇數(shù)１，而８１９８６，６１９８６都是偶數(shù)，故最后為偶數(shù)． ４．仿例５ １２０３４６５８７９． ５．設ａ１，ａ２，…，ａｎ滿足題設即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０　?、? ａ１ａ２……ａｎ＝ｎ　②。假如ｎ為奇數(shù)，由②，所有ａｉ皆為奇數(shù)，但奇數(shù)個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故這時①不成立，可見ｎ只能為偶數(shù)．由于ｎ為偶數(shù)，由②知ａｉ中必有一個偶數(shù)，由①知ａｉ中必有另一個偶數(shù)．于是ａｉ中必有兩個偶數(shù)，因而由②知ｎ必能被４整除． ６．設小三角形的個數(shù)為ｋ，則ｋ個小三角形共有３ｋ條邊，減去ｎ邊形的ｎ條邊及重復計算的邊數(shù)扣共有（３ｋ＋ｎ）條線段，顯然只有當ｋ與ｎ有相同的奇偶性時，（３ｋ－ｎ）才是整數(shù)． ７．設這個四位數(shù)是由于１≤ａ＜ｄ，ｄ是奇數(shù)所以ｄ≥３于是ｃ＝２（ａ＋ｄ）≥８，即ｃ＝８或ｃ＝９．因ｃ是偶數(shù)，所以ｃ＝８，由此得ａ＝１，ｄ＝３．又因ｂ＞ｃ，所以ｂ＝９因此該數(shù)為１９８３． ８．當ｎ為奇數(shù)時，考慮（４－１）ｎ＋１的展開式；當ｎ為偶數(shù)時，考慮（２＋１）ｎ＋１的展開式． 例題答案： 1. 解 因為加法和減法算式中至少各有一個偶數(shù)，乘法和除法算式中至少各有二個偶數(shù)，故這12個整數(shù)中至少有六個偶數(shù). 2.分析 由于1988y是偶數(shù)，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶數(shù)，將其代入第二方程中，于是11x也為偶數(shù)，從而27y=m-11x為奇數(shù)，所以是y=q奇數(shù)，應選（C） 都能被7整除； 注： 3.分析 因為兩個整數(shù)之和與這兩個整數(shù)之差的奇偶性相同，所以在題設數(shù)字前面都添上正號和負號不改變其奇偶性，而1+2+3+…+1992==9961993為偶數(shù) 于是題設的代數(shù)和應為偶數(shù). 4.解 設70個數(shù)依次為a1,a2,a3據(jù)題意有 a1=0, 偶 a2=1 奇 a3=3a2-a1, 奇 a4=3a3-a2, 偶 a5=3a4-a3, 奇 a6=3a5-a4, 奇 ……………… 由此可知： 當n被3除余1時，an是偶數(shù)； 當n被3除余0時，或余2時，an是奇數(shù)，顯然a70是3k+1型偶數(shù)，所以k必須是奇數(shù)，令k=2n+1，則a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4. 5.證明 由①式可知 11111（a-b）=ab+4617 ② ∵a＞0,b＞0,∴a-b＞0 首先，易知a-b是偶數(shù)，否則11111(a-b)是奇數(shù)，從而知ab是奇數(shù)，進而知a、b都是奇數(shù)，可知(11111+a)及(11111-b)都為偶數(shù)，這與式①矛盾 其次，從a-b是偶數(shù)，根據(jù)②可知ab是偶數(shù)，進而易知a、b皆為偶數(shù)，從而ab+4617是4的倍數(shù)，由②知a-b是4的倍數(shù). 6. 解 按題設程序，這是不可能做到的，考察下面填法： 在黑板所示的22的正方形表格中，按題設程序“變號”，“+”號或者不變，或者變成兩個. 表(a)中小正方形有四個“+”號，實施變號步驟后，“+”的個數(shù)仍是偶數(shù)；但表(b)中小正方形“+”號的個數(shù)仍是奇數(shù)，故它不能從一個變化到另一個. 顯然，小正方形互變無法實現(xiàn)，33的大正方形的互變，更無法實現(xiàn). 7. 解由于25－1=32，213－1=52，513－1=82，因此，只需證明2d－1，5d－1，13d－1中至少有一個不是完全平方數(shù). 用反證法，假設它們都是完全平方數(shù)，令 2d－1=x2 ① 5d－1=y2 ② 13d－1=z2 ③ x,y,z∈N* 由①知，x是奇數(shù)，設x=2k－1，于是2d－1=（2k－1）2，即d=2k2－2k+1，這說 明d也是奇數(shù).因此，再由②，③知，y,z均是偶數(shù). 設y=2m,z=2n,代入③、④，相減，除以4得，2d=n2－m2=(n+m)(n－m)，從而n2－m2為偶數(shù)，n，m必同是偶數(shù)，于是m+n與m－n都是偶數(shù)，這樣2d就是4的倍數(shù)，即d為偶數(shù)，這與上述d為奇數(shù)矛盾.故命題得證. 8.首先易證：從而 .再由 因而 ① 顯然，為偶數(shù)，為奇數(shù)，并且只能一個為4n型 偶數(shù)，一個為4n+2型偶數(shù)（否則它們的差應為4的倍數(shù)，然而它們的差等于2a不是4 的倍數(shù)）， 因此,如果設，其中e,f為奇數(shù)，那么由①式及的特性就有 （Ⅰ）或（Ⅱ） 由 得e=1， 從而于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分別變?yōu)? 或 解之，得.因a為奇數(shù)，故只能a=1. 9.證明:由于每個均為1和－1，從而題中所給的等式中每一項也只取1或－1，而這樣的n項之和等于0，則取1或－1的個數(shù)必相等，因而n必須是偶數(shù)，設n=2m. 再進一步考察已知等式左端n項之乘積=()4=1，這說明，這n項中取－1的項（共m項）也一定是偶數(shù)，即m=2k，從而n是4的倍數(shù).