高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列、推理與證明 第7講 直接證明與間接證明課件 理.ppt

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第 7 講,直接證明與間接證明,1．了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了,解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)．,2．了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法,的思考過程、特點(diǎn)．,1．直接證明 (1)綜合法．,①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等， 經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這 種證明方法叫做綜合法．,(2)分析法．,①定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分 條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的 條件(已知條件、定義、定理、公理等)為止，這種證明方法叫 做分析法．,2．間接證明,反證法：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出 矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證 明方法叫做反證法．,A．反證法 B．分析法 C．綜合法 D．前面三種方法都不合適,B,2．用反證法證明命題：“三角形三個內(nèi)角中至少有一個不,大于 60”時，應(yīng)假設(shè)(,),B,A．三個內(nèi)角都不大于 60 B．三個內(nèi)角都大于 60 C．三個內(nèi)角中至多有一個大于 60 D．三個內(nèi)角中至多有兩個大于 60,3．用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)存在有理數(shù)根，那么 a，b，c 中至少有一個是偶數(shù)．,下列假設(shè)正確的是________．,②,①假設(shè) a，b，c 都是偶數(shù)； ②假設(shè) a，b，c 都不是偶數(shù)； ③假設(shè) a，b，c 至多有一個是偶數(shù)； ④假設(shè) a，b，c 至多有兩個是偶數(shù)．,4．某個命題與正整數(shù) n 有關(guān)，若 n＝k(k∈N*)時該命題成 立，那么可推得當(dāng) n＝k＋1 時，該命題也成立．現(xiàn)在已知當(dāng) n,),C,＝5 時，該命題不成立，那么可推得( A．當(dāng) n＝6 時，該命題不成立 B．當(dāng) n＝6 時，該命題成立 C．當(dāng) n＝4 時，該命題不成立 D．當(dāng) n＝4 時，該命題成立,考點(diǎn)1,綜合法,例1：已知 a，b，c 為正實數(shù)，a＋b＋c＝1.,【互動探究】,考點(diǎn) 2,分析法,【互動探究】,證明：∵m＞0，∴1＋m＞0. 要證原不等式成立， 即證(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即證 m(a2－2ab＋b2)≥0， 即證(a－b)2≥0， 而(a－b)2≥0 顯然成立， 故原不等式得證．,考點(diǎn)3,反證法,例 3：(2014 年廣東廣州一模)已知數(shù)列{an}的前 n 項和為 Sn，且 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若 p，q，r 是三個互不相等的正整數(shù)，且 p，q，r 成等 差數(shù)列，試判斷 ap－1，aq－1，ar－1 是否成等比數(shù)列？并說明 理由．,解：(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n， ∴當(dāng)n＝1時，有a1＝(1－1)S1＋2，解得a1＝2. 由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n，得 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＋(n＋1)an＋1＝nSn＋1＋2(n＋1)， 兩式相減，得(n＋1)an＋1＝nSn＋1－(n－1)Sn＋2. ① 以下提供兩種方法：,方法一：由①式，得 (n＋1)(Sn＋1－Sn)＝nSn＋1－(n－1)Sn＋2， 即Sn＋1＝2Sn＋2. ∴Sn＋1＋2＝2(Sn＋2)． ∵S1＋2＝a1＋2＝4≠0， ∴數(shù)列{Sn＋2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列． ∴Sn＋2＝42n－1，即Sn＝42n－1－2＝2n＋1－2. 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2)＝2n， 又a1＝2也滿足上式， ∴an＝2n.,方法二：由①式，得(n＋1)an＋1＝nSn＋1－(n－1)Sn＋2＝n(Sn＋1－Sn)＋Sn＋2， 得an＋1＝Sn＋2. ② 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－1＋2， ③ ②－③，得an＋1＝2an. 由a1＋2a2＝S2＋4，得a2＝4. ∴a2＝2a1.∴an＋1＝2an，n∈N*. ∴數(shù)列{an}是以a1＝2為首項，2為公比的等比數(shù)列． ∴an＝2n.,(2)ap－1，aq－1，ar－1不成等比數(shù)列，理由如下： ∵p，q，r成等差數(shù)列，∴p＋r＝2q. 假設(shè)ap－1，aq－1，ar－1成等比數(shù)列， 則(ap－1)(ar－1)＝(aq－1)2， 即(2p－1)(2r－1)＝(2q－1)2. 化簡，得2p＋2r＝22q. (*) ∵p≠r， ∴2p＋2r ＝22q，這與(*)式矛盾． 故假設(shè)不成立． ∴ap－1，aq－1，ar－1不成等比數(shù)列．,【規(guī)律方法】反證法主要適用于以下兩種情形：①要證的 條件和結(jié)論之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不 夠清晰；②如果從正面出發(fā)，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論， 而從反面證明，只要研究一種或很少幾種情形．,【互動探究】,3．設(shè){an}是公比為 q 的等比數(shù)列，Sn 是它的前 n 項和． (1)求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列；,(2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎？并說明理由．,(2)解：當(dāng)q＝1時，{Sn}顯然是等差數(shù)列． 當(dāng)q≠1時，{Sn}不是等差數(shù)列． 假設(shè)當(dāng)q≠1時，S1，S2，S3成等差數(shù)列，則2S2＝S1＋S3. 即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)． ∵a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，即q＝q2. ∵q≠1，∴q＝0，這與q≠0相矛盾． 綜上所述，當(dāng)q＝1時，{Sn}是等差數(shù)列； 當(dāng)q≠1時，{Sn}不是等差數(shù)列．,