2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《指、對(duì)數(shù)函數(shù),冪函數(shù)》.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料指、對(duì)數(shù)函數(shù),冪函數(shù)指數(shù)、對(duì)數(shù)以及指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，是高中代數(shù)非常重要的內(nèi)容。無論在高考及數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，都具有重要地位。熟練掌握指數(shù)對(duì)數(shù)概念及其運(yùn)算性質(zhì)，熟練掌握指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)這一對(duì)反函數(shù)的性質(zhì)、圖象及其相互關(guān)系，對(duì)學(xué)習(xí)好高中函數(shù)知識(shí)，意義重大。一、 指數(shù)概念與對(duì)數(shù)概念：指數(shù)的概念是由乘方概念推廣而來的。相同因數(shù)相乘aaa(n個(gè))=an導(dǎo)出乘方，這里的n為正整數(shù)。從初中開始，首先將n推廣為全體整數(shù)；然后把乘方、開方統(tǒng)一起來，推廣為有理指數(shù)；最后，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)建立起指數(shù)概念。 歐拉指出：“對(duì)數(shù)源出于指數(shù)”。一般地，如果a(a>0,a1)的b次冪等于N，就是ab=N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：logaN=b其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。ab=N與b=logaN是一對(duì)等價(jià)的式子，這里a是給定的不等于1的正常數(shù)。當(dāng)給出b求N時(shí)，是指數(shù)運(yùn)算，當(dāng)給出N求b時(shí)，是對(duì)數(shù)運(yùn)算。指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算互逆的運(yùn)算。二、指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)1指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)主要有3條：axay=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=axbx（a>0,a1,b>0,b1）2對(duì)數(shù)運(yùn)算法則（性質(zhì)）也有3條：（1）loga(MN)=logaM+logaN（2）logaM/N=logaM-logaN（3）logaMn=nlogaM(nR)(a>0,a1,M>0,N>0)3指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算的關(guān)系：X=alogax；mlogan=nlogam4負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)；1的對(duì)數(shù)是零，即loga1=0；底的對(duì)數(shù)是1，即logaa=15對(duì)數(shù)換底公式及其推論：換底公式：logaN=logbN/logba推論1：logamNn=(n/m)logaN推論2：三、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a1)叫做指數(shù)函數(shù)。它的基本情況是：（1）定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)（-，+）（2）值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)（0，+），從而函數(shù)沒有最大值與最小值，有下界，y>0（3）對(duì)應(yīng)關(guān)系為一一映射，從而存在反函數(shù)-對(duì)數(shù)函數(shù)。（4）單調(diào)性是：當(dāng)a>1時(shí)為增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，為減函數(shù)。（5）無奇偶性，是非奇非偶函數(shù)，但y=ax與y=a - x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，y=ax與y= -ax的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；y=ax與y=logax的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。（6）有兩個(gè)特殊點(diǎn)：零點(diǎn)（0，1），不變點(diǎn)（1，a）（7）抽象性質(zhì)：f(x)=ax(a>0,a1),f(x+y)=f(x)f(y),f(x-y)=f(x)/f(y)函數(shù)y=logax(a>0,且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，它的基本情況是：（1）定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)（0，+）（2）值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)（-，+）（3）對(duì)應(yīng)關(guān)系為一一映射，因而有反函數(shù)指數(shù)函數(shù)。（4）單調(diào)性是：當(dāng)a>1時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)是減函數(shù)。（5）無奇偶性。但y=logax與y=log(1/a)x關(guān)于x軸對(duì)稱，y=logax與y=loga(-x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，y=logax與y=ax圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。（6）有特殊點(diǎn)（1，0）,(a，1)（7）抽象運(yùn)算性質(zhì)f(x)=logax(a>0,a1)，f(xy)=f(x)+f(y),f(x/y)=f(x)-f(y)例題講解1若f(x)=(ax/(ax+a)，求f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+f(1000/1001) 25log25等于：（ ）（A）1/2 （B）(1/5)10log25 （C）10log45 （D）10log523計(jì)算4試比較(12xx+1)/(12xx+1)與(12xx+1)/(12xx+1)的大小。5已知(a,b為實(shí)數(shù))且f(lglog310)=5，則f(lglg3)的值是（ ）（A）-5 （B）-3 （C）3 （D）隨a,b的取值而定6已知函數(shù)y=(10x-10-x)/2)(XR)（1）求反函數(shù)y=f-1(x)（2）判斷函數(shù)y=f-1(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)7已知函數(shù)f(x)=loga(1+x)/(1-x)(a0,a1)（1）求f(x)的定義域（2）判斷f(x)的奇偶性并給以證明；（3）當(dāng)a1時(shí)，求使f(x)0的x取值范圍；（4）求它的反函數(shù)f-1(x)82xx的十進(jìn)制表示是個(gè)P位數(shù)，5xx的十進(jìn)位表示是個(gè)q位數(shù)，則p+q=。9已知x2-2x+loga(a2-a)=0有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù)a的范圍。10設(shè)y=log(1/2)a2x+2(ab)x-b2x+1(a0,b0)，求使y為負(fù)值的x的取值范圍課后練習(xí)1設(shè)a,b,c都是正數(shù)，且3a=4b=6c，那么（ ）（A）(1/c)=(1/a)+(1/b), (B)(2/c)=(2/a)+(1/b), (C)(1/c)=(2/a)+(2/b), (D)(2/c)=(1/a)+(2/b)2.F(x)=(1+(2/(2x-1)f(x)(x0)是偶函數(shù)，且f(x)不恒等于零，則f(x)( )（A）是奇函數(shù) （B）是偶函數(shù) （C）可能是奇函數(shù)也可能是偶函數(shù) （D）不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)3若f(x)=3x+5，則f-1(x)的定義域是（ ）（A）(0,+) (B) (5,+) (C) (8,+) (D) (-,+)4求值：6lg405lg365已知m,n為正整數(shù)，a0,a1,且logam+loga(1+(1/m)+loga(1+(1/(m+1)+loga(1+(1/(m+n-1)=lgam+logan。求m,n6X=(1/(log(1/2)(1/3)+(1/(log(1/5)(1/3)的值屬于區(qū)間（ ）（A）（-2，-1） （B）（1，2） （C）（-3，-2） （D）（2，3）7計(jì)算：（1）lg20+log10025 (2)lg5lg20+(lg2)28若集合x，xy，lg(xy)=0，x,y，則log8(x2+y2)=。9若x(1,10)，則lg2x,lgx2,lglgx的大小順序是：（A）lg2xlgx2lglgx (B)lg2xlglgxlgx2 （C）lgx2lg2xlglgx (D)lglgxlg2xlgx210計(jì)算：11集合x-1log(1/x)10-(1/2),xN的真子集的個(gè)數(shù)是 。12求函數(shù)y=(1/4)x2-2x-3的單調(diào)區(qū)間。13已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a0,且a1)，求滿足f(3x2-4x-5)>f(2x2-3x+1)的x的取值。14解方程8log6(x2-7x+15)=5log6815設(shè)有關(guān)于x的不等式lg (x+3+x-7)a（1）當(dāng)a=1時(shí)，解這個(gè)不等式；（2）當(dāng)a為何值時(shí)，這個(gè)不等式的解集為R？課后練習(xí)答案1.（B）；2.（A）；3.（B）；4.216；5.m=2，n=2；6.（D）；7.（1）2，（2）1；8.1/3；9.（D）；10.1/2；11.290-1；12.單調(diào)增區(qū)間（-，1，單調(diào)減區(qū)間1，+）13.當(dāng)a1時(shí)，x-2或x3，當(dāng)0a1時(shí)，-2x3；14.x1=2,x2=5；15.(1)x-3或x7，（2）a1 例題答案：1分析：和式中共有1000項(xiàng)，顯然逐項(xiàng)相加是不可取的。需找出f(x)的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，注意到1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=1，而f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+a)+(a1-x/(a1-x+a)=(ax/(ax+a)+(a/(a+axa)=(ax/(ax+a)+(a)/(ax+a)=(ax+a)/(ax+a)=1規(guī)律找到了，這啟示我們將和式配對(duì)結(jié)合后再相加：原式=f(1/1001)+f(1000/1001)+f(2/1001)+f(999/1001)+f(500/1001)+f(501/1001)=(1+1+1)5000個(gè)=500說明：觀察比較，發(fā)現(xiàn)規(guī)律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。（1）取a=4就是1986年的高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽填空題：設(shè)f(x)=(4x/(4x+2)，那么和式f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+f(1000/1001)的值=。（2）上題中取a=9，則f(x)=(9x/(9x+3)，和式值不變也可改變和式為求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+f(n-1)/n).（3）設(shè)f(x)=(1/(2x+2)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，可求得f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值為。這就是xx年春季上海高考數(shù)學(xué)第12題。2解：5log25=(10/2)log25=(10log25)/(2log25)=(1/5)10log25選（B）說明：這里用到了對(duì)數(shù)恒等式：alogaN=N(a0,a1,N0)這是北京市1997年高中一年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題。3解法1：先運(yùn)用復(fù)合二次根式化簡的配方法對(duì)真數(shù)作變形。解法2：利用算術(shù)根基本性質(zhì)對(duì)真數(shù)作變形，有 說明：乘法公式的恰當(dāng)運(yùn)用化難為易，化繁為簡。4解：對(duì)于兩個(gè)正數(shù)的大小，作商與1比較是常用的方法，記12xx=a0，則有(12xx+1)/(12xx+1)(12xx+1)/(12xx+1)=(a/12)+1)/(a+1)(12a+1)/(a+1)=(a+12)(12a+1)/(12(a+1)2)=(12a2+145a+12)/(12a2+24a+12)1故得：(12xx+1)/(12xx+1)(12xx+1)/(12xx+1)5解：設(shè)lglog310=t，則lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t 而f(t)+f(-t)=f(-t)=8-f(t)=8-5=3說明：由對(duì)數(shù)換底公式可推出logablogba=(lgb/lga)(lga/lgb)=1，即logab=(1/logba)，因而lglog310與lglg3是一對(duì)相反數(shù)。設(shè)中的部分，則g(x)為奇函數(shù)，g(t)+g(-t)=0。這種整體處理的思想巧用了奇函數(shù)性質(zhì)使問題得解，關(guān)鍵在于細(xì)致觀察函數(shù)式結(jié)構(gòu)特征及對(duì)數(shù)的恒等變形。6分析：（1）求y=(10x-10-x)/2的反函數(shù)首先用y把x表示出來，然后再對(duì)調(diào)x,y即得到y(tǒng)=f-1(x)；（2）判斷函數(shù)y=f-1(x)的奇偶性要依據(jù)奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義，看當(dāng)XR時(shí)是否有f(-x)=-f(x)或(f(-x)+f(x)=0)或f(-x)=f(x)恒成立。解：（1）由y=(10x-10-x)/2)(XR)可得2y=10x-10-x，設(shè)10x=t，上式化為：2y=t-t-1兩邊乘t，得2yt=t2-1整理得：t2-2yt-1=0，解得： 由于t=10x0，故將舍去，得到：將t=10x代入上式，即得: 所以函數(shù)y=(10x-10-x)/2)的反函數(shù)是(2)由得: f-1(-x)=-f(x)所以，函數(shù) 是奇函數(shù)。說明：從本題求解及判斷過程可以得到更一般的結(jié)論：函數(shù)y=(ax-a-x)/2)(XR,a0,a1)的反函數(shù)是，它們都是奇函數(shù)。當(dāng)a=2,3,10或e時(shí)就構(gòu)造了新的特殊的題目。進(jìn)一步還可以研究它們的單調(diào)性，如1992年高考數(shù)學(xué)試題：函數(shù)y=(ex-e-x)/2)的反函數(shù)（A）是奇函數(shù)，它在(0,+)上是減函數(shù)；（B）是偶函數(shù)，它在(0,+)上是減函數(shù)；（C）是奇函數(shù)，它在(0,+)上是增函數(shù)；（D）是偶函數(shù)，它在(0,+)上是增函數(shù)。函數(shù)y=(ax-a-x)/2)是由y=f(x)=ax構(gòu)造而得，全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（試驗(yàn)修訂本。必修）數(shù)學(xué)第一冊(cè)（上）（人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編著）P107復(fù)習(xí)參考題二B組第6題：設(shè)y=f(x)是定義在R上的任一函數(shù)，求證：（1）F1(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù)；（2）F2(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù)。而f(x)=F1(X)+F2(x)，它說明，定義在R上的任一函數(shù)都可以表示成一個(gè)奇函數(shù)(F2(x)與一個(gè)偶函數(shù)(F1(x)的代數(shù)和。從這個(gè)命題出發(fā)，由f(x)=ax就可以構(gòu)造出諸多奇函數(shù)，比如，y=(ax-a-x)/2)；y=(ax-a-x)/(ax+a-x)=(a2x-1)/(a2x+1)等等用自然對(duì)數(shù)的底e2.71828（無理數(shù)）作底，作函數(shù)sh(x)=(ex-e-x)/2),ch(x)=(ex+e-x)/2),th(x)=(ex-e-x)/(ex+e-x)它們分別叫做雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)，雙曲正切函數(shù)，它們具有如下性質(zhì)：(1)ch2(x)-sh2(x)=1;(2)sh(x+y)=sh(x)ch(y)+ch(x)sh(y);(3)ch(x+y)=ch(x)ch(y)+sh(x)sh(y);(4)th(x+y)=(th(x)+th(y)/(1+th(x)th(y);(5)ch(-x)=ch(x);(6)sh(-x)=-sh(x);(7)th(-x)=-th(x).令x=y，則有(8)sh(2x)=2sh(x)ch(x);(9)ch(2x)=ch2(x)+sh2(x)其中合起來，就是課本P107的第8題。7解：（1）由對(duì)數(shù)的定義域知(1+x)/(1-x)0解這個(gè)分式不定式，得：(x+1)(x-1)0,-1x1故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?1，1）（2）f(-x)=loga(1-x)/(1+x)=log(1+x)/(1-x)-1=-loga(1+x)/(1-x)=-f(x)由奇函數(shù)的定義知，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)。（3）由loga(1+x)/(1-x)0loga(1+x)/(1-x)loga1，因?yàn)閍1，所以由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知(1+x)/(1-x)1，考慮由（1）知x1,1-x0，去分母，得：1+x1-x,x0故：0x1 所以對(duì)于a1，當(dāng)x(0,1)時(shí)函數(shù)f(x)0（4）由y=loga(1+x)/(1-x)得：(1+x)/(1-x)=ay應(yīng)用會(huì)比分比定理得：(1+x)+(1-x)/(1+x)-(1-x)=(ay+1)/(ay-1)即:(2/2x)=(ay+1)/(ay-1)x=(ay-1)/(ay+1)交換x,y得：y=(ax-1)/(ax+1)，它就是函數(shù)f(x)=loga(1+x)/(1-x)的反函數(shù)f-1(x)即f-1(x)=(ax-1)/(ax+1)說明：（1）函數(shù)y=loga(1+x)/(1-x)與y=(ax-1)/(ax+1)是一對(duì)反函數(shù)。取a=e，函數(shù)y=(ex-1)/(ex+1)的反函數(shù)的定義域是。這就是89年的高考題目。（2）已知f(x)=lg(1-x)/(1+x),a,b(-1,1)求證：f(a)+f(b)=f(a+b)/(1+ab)（P89習(xí)題2.8第4題）可以看作該類函數(shù)的性質(zhì)。（3）y=ax與y=logax；y=(ax-a-x)/2)與；y=(ax-1)/(ax+1)與y=loga(1+x)/(1-x)這三對(duì)互反函數(shù)及其性質(zhì)需要理解記憶。 8解：2xx是個(gè)P位數(shù),10p-12xx10p 5xx是個(gè)q位數(shù)，10q-15xx10q 得:10p+q-2(25)xx10p+q即10p+q-210xx10p+q xx=p+q-1p+q=xx9解：方程有一正根一負(fù)根的充分必要條件是：loga(a2-a)0（由韋達(dá)定理而來） 由a0,a1,a2-a=a(a-1)0,可得a1 ，從而由loga(a2-a)0=loga1得:a2-a1,a2-a-10，解得: ，由得：10解：(1/2)1,要使y0,只要a2x+2(ab)x-b2x+11，即a2x+2(ab)x-b2x0b2x(a/b)2x+2(a/b)x-10(a/b)x2+2(a/b)x-10 . 1當(dāng)ab0時(shí),a/b1,；2當(dāng)ba0時(shí),0a/b1, 3當(dāng)a=b0時(shí)，xR。