2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《不等式的應(yīng)用》.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料不等式的應(yīng)用1排序不等式（又稱(chēng)排序原理）設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組及則（同序和）（亂序和）（逆序和）其中是1，2，n的任一排列.當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)（對(duì)任一排列）成立.2應(yīng)用排序不等式可證明“平均不等式”：設(shè)有n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)分別是 此外，還有調(diào)和平均數(shù)（在光學(xué)及電路分析中要用到，和平方平均（在統(tǒng)計(jì)學(xué)及誤差分析中用到） 這四個(gè)平均值有以下關(guān)系. 3應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)不等式，可用來(lái)證明下述重要不等式.柯西（Cavchy）不等式：設(shè)、，是任意實(shí)數(shù)，則等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)為常數(shù)，時(shí)成立.4利用排序不等式還可證明下述重要不等式.切比雪夫不等式：若， ，則例題講解1求證：2，求證： 3：4設(shè)，且各不相同，求證：.5利用基本不等式證明6已知求證：7利用排序不等式證明8證明：對(duì)于任意正整數(shù)R，有9n為正整數(shù)，證明：例題答案：1. 證明： 評(píng)述：（1）本題所證不等式為對(duì)稱(chēng)式（任意互換兩個(gè)字母，不等式不變），在因式分解或配方時(shí)，往往采用輪換技巧.再如證明時(shí)，可將配方為，亦可利用，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證.2.分析：顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故嘗試用商較法.不等式關(guān)于對(duì)稱(chēng)，不妨，且，都大于等于1.評(píng)述：（1）證明對(duì)稱(chēng)不等式時(shí)，不妨假定個(gè)字母的大小順序，可方便解題. （2）本題可作如下推廣：若 （3）本題還可用其他方法得證。因，同理，另，4式相乘即得證. （4）設(shè)例3等價(jià)于類(lèi)似例4可證事實(shí)上，一般地有排序不等式（排序原理）：設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組，則（順序和）（亂序和）（逆序和）其中的任一排列.當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立.排序不等式應(yīng)用較為廣泛（其證明略），它的應(yīng)用技巧是將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)有序數(shù)組的積的形式.如.3.思路分析：中間式子中每項(xiàng)均為兩個(gè)式子的和，將它們拆開(kāi)，再用排序不等式證明.不妨設(shè)，則（亂序和）（逆序和），同理（亂序和）（逆序和）兩式相加再除以2，即得原式中第一個(gè)不等式.再考慮數(shù)組，仿上可證第二個(gè)不等式.4.分析：不等式右邊各項(xiàng)；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等式.設(shè)的重新排列，滿(mǎn)足，又所以.由于是互不相同的正整數(shù)，故從而，原式得證.評(píng)述：排序不等式應(yīng)用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，5.思路分析：左邊三項(xiàng)直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對(duì)稱(chēng)性，可用輪換的方法.；三式相加再除以2即得證.評(píng)述：（1）利用基本不等式時(shí)，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項(xiàng)、連用等技巧.如，可在不等式兩邊同時(shí)加上再如證時(shí)，可連續(xù)使用基本不等式.（2）基本不等式有各種變式 如等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次數(shù)及系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1.6. 思路分析：不等式左邊是、的4次式，右邊為常數(shù)，如何也轉(zhuǎn)化為、的4次式呢.要證即證評(píng)述：（1）本題方法具有一定的普遍性.如已知求證：右側(cè)的可理解為再如已知，求證：+，此處可以把0理解為，當(dāng)然本題另有簡(jiǎn)使證法.（2）基本不等式實(shí)際上是均值不等式的特例.（一般地，對(duì)于個(gè)正數(shù)調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均這四個(gè)平均值有以下關(guān)系：，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.7. 證明: 令則，故可取，使得由排序不等式有：=（亂序和） （逆序和） =n，評(píng)述:對(duì)各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得，.8. 分析:原不等式等價(jià)于，故可設(shè)法使其左邊轉(zhuǎn)化為n個(gè)數(shù)的幾何平均，而右邊為其算術(shù)平均.評(píng)述:（1）利用均值不等式證明不等式的關(guān)鍵是通過(guò)分拆和轉(zhuǎn)化，使其兩邊與均值不等式形式相近.類(lèi)似可證（2）本題亦可通過(guò)逐項(xiàng)展開(kāi)并比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)的大小而獲證，但較繁.9.證明:先證左邊不等式（*）式成立，故原左邊不等式成立.其次證右邊不等式 （*）（*）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號(hào)成立.