2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二單元 空間向量 高考達(dá)標(biāo)檢測（三十三）空間向量2綜合——翻折、探索 理.doc

2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二單元 空間向量 高考達(dá)標(biāo)檢測（三十三）空間向量2綜合翻折、探索 理1如圖1，在ABC中，C90，ACBC3a，點(diǎn)P在AB 上，PEBC交AC于點(diǎn)E，PFAC交BC于點(diǎn)F.沿PE將APE翻折成APE，使得平面APE平面ABC；沿PF將BPF翻折成BPF，使得平面BPF平面ABC，如圖2.(1)求證：BC平面APE；(2)若AP2PB，求二面角APCB的正切值解：(1)證明：因?yàn)镕CPE，F(xiàn)C平面APE，PE平面APE，所以FC平面APE.因?yàn)槠矫鍭PE平面ABC，且平面APE平面ABCPE，AEPE，所以AE平面ABC.同理BF平面ABC，所以BFAE，從而BF平面APE.又FCBFF，所以平面BCF平面APE.因?yàn)锽C平面BCF，所以BC平面APE.(2)易知EC，EP，EA兩兩垂直，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Exyz.則C(a,0,0)，P(0,2a,0)，A(0,0,2a)，B(a,2a，a)所以(a,0，2a)，(0,2a，2a)，(0，2a，a)，(a,0，a)設(shè)平面ACP的一個(gè)法向量為m(x，y,1)，則即解得所以平面ACP的一個(gè)法向量為m(2,1,1)設(shè)平面BCP的一個(gè)法向量為n(x，y，1)，則即解得所以平面BCP的一個(gè)法向量為n.設(shè)二面角APCB的大小為，易知為銳角，則cos ，從而可得tan ，即二面角APCB的正切值為.2.如圖，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，ABC60.EAFC，且FC平面ABCD，F(xiàn)C2，AE1，點(diǎn)M為EF上任意一點(diǎn)(1)求證：AMBC；(2)點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)(包括兩端點(diǎn))，試確定M的位置，使平面MAB與平面FBC所成的銳二面角為60.解：(1)證明：ABCD，ADDCCB1，ABC60，AB2，連接AC，在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcos 602212221cos 603，AB2AC2BC2，BCAC.FC平面ABCD，F(xiàn)CBC.又ACFCC，BC平面AEFC，AM平面AEFC，BCAM.(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CA，CB，CF為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C xyz，則A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，F(xiàn)(0,0,2)，E(，0,1)，(，1,0)，設(shè)M(x，y，z)， (01)，則(x，y，z2)(，0，1)，故M(，0,2)，(，0,2)設(shè)平面ABM的法向量m(x1，y1，z1)，則即令x11，可得y1，z1，m.易知平面FBC的一個(gè)法向量為n(1,0,0)，cos 60，1，點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時(shí)，平面MAB與平面FBC所成的銳二面角為60.3如圖，已知在長方形ABCD中，AB2，A1，B1分別是邊AD，BC上的點(diǎn)，且AA1BB11，A1E垂直B1D于E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)把長方形ABCD沿直線A1B1折起，使得平面AA1B1B平面A1B1CD，且直線B1D與平面AA1B1B所成的角為30.(1)求異面直線A1E，B1F所成角的余弦值；(2)求二面角FB1DA1的余弦值解：由已知條件可得A1A，A1B1，A1D兩兩垂直，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1xyz，由已知AB2，AA1BB11，可得A1(0,0,0)，B1(2,0,0)，F(xiàn)(1,0,1)又A1D平面AA1B1B，所以B1D與平面AA1B1B所成的角為DB1A130，又A1B1AB2，A1EB1D，所以A1E1，A1D，從而易得E，D.(1)因?yàn)椋?1,0,1)，所以cos ，所以異面直線A1E，B1F所成角的余弦值為.(2)易知平面A1B1CD的一個(gè)法向量m(0,0,1)設(shè)n(x，y，z)是平面B1DF的法向量，易知，所以即令x1，得n(1，1)所以cosm，n.由圖知二面角FB1DA1為銳角，所以二面角FB1D A1的余弦值為.4(xx成都模擬)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，BD與EF交于點(diǎn)H，G為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)R在線段BH上，且(>0)現(xiàn)將AED， CFD，DEF分別沿DE，DF，EF折起，使點(diǎn)A，C重合于點(diǎn)B(該點(diǎn)記為P)，如圖所示(1)若2，求證：GR平面PEF；(2)是否存在正實(shí)數(shù)，使得直線FR與平面DEF所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)證明：由題意，可知PE，PF，PD三條直線兩兩垂直PD平面PEF.在圖中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，G為BD的中點(diǎn)，EFAC，GDGB2GH.在圖中，2，且2，在PDH中，GRPD，GR平面PEF.(2)由題意，分別以PF，PE，PD所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Pxyz.設(shè)PD4，則P(0,0,0)，F(xiàn)(2,0,0)，E(0,2,0)，D(0,0,4)，H(1，1,0)，(2，2,0)，(0,2，4)，R，0，2，0，0.設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為m(x，y，z)，由得取z1，則m(2,2,1)直線FR與平面DEF所成角的正弦值為，|cosm，|，921870，解得或(不合題意，舍去)故存在正實(shí)數(shù)，使得直線FR與平面DEF所成角的正弦值為.已知在三棱柱ABCA1B1C1中，B1B平面ABC，ABC90，B1BAB2BC4，D，E分別是B1C1，A1A的中點(diǎn)(1)求證：A1D平面B1CE；(2)設(shè)M是B1E的中點(diǎn)，N在棱AB上，且BN1，P是棱AC上的動(dòng)點(diǎn)，直線NP與平面MNC所成角為，試問：的正弦值存在最大值嗎？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 解：(1)證明：連接BC1交B1C于點(diǎn)O，連接EO，DO，在B1BC1中，DO綊B1B，在四邊形B1BA1A中，A1E綊B1B，A1E綊DO，四邊形A1EOD是平行四邊形，A1DEOA1D平面B1CE，EO平面B1CE，A1D平面B1CE.(2)假設(shè)存在符合題意的點(diǎn)P.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz，由已知得A(4,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0,4)，E(4,0,2)，M(2,0,3)，N(1,0,0)，則(1,0，3)，(1,2,0)，(4,2,0)，(3,0,0)設(shè)平面MNC的一個(gè)法向量m(x，y，z)，則即取x6，得m(6,3，2)，設(shè) (01)，則(34，2，0)，由題設(shè)得sin |cos，m|，設(shè)t1(01)，則1t，且0t1，sin .當(dāng)t0時(shí)，sin 0，當(dāng)0t1時(shí)，sin .當(dāng)且僅當(dāng)，即t時(shí)，sin 取得最大值，此時(shí).存在符合題意的點(diǎn)P，且.