2019年高中數學 1.3.1 單調性與最大（小）值導學案 新人教A版必修1.doc

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2019年高中數學 1.3.1 單調性與最大（?。┲祵W案 新人教A版必修1 【溫馨寄語】 假如生活是一條河流，愿你是一葉執(zhí)著向前的小舟；假如生活是一葉小舟，愿你是個風雨無阻的水手。 【學習目標】 1．理解函數的單調性及其幾何意義. 2．能根據圖象的升降特征，劃分函數的單調區(qū)間；理解增(減)函數的定義，會證明函數在指定區(qū)間上的單調性. 3．理解函數的最大值、最小值的概念. 4．會根據函數的單調性求函數的最大值和最小值. 5．掌握函數的最值在實際中的應用. 【學習重點】 1．函數的最大(小)值及其幾何意義 2．利用定義函數的單調性的步驟 3．函數單調性的有關概念的理解 【學習難點】 1．利用函數的單調性求函數的最大(小)值 2．利用定義判斷函數的單調性的步驟 3．函數單調性的有關概念的理解 【自主學習】 1．函數的單調性與單調區(qū)間 (1)單調性：如果函數在區(qū)間上是 ，那么說函數在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性. (2)單調區(qū)間：指的是 . 2．函數單調性的定義 條件 結論 增函數 設函數的定義域為，如果對于定義域內某個區(qū)間上的兩個自變量的值，，當時 都有 ，則函數在區(qū)間上是增函數 減函數 都有 ，則函數在區(qū)間上是減函數 3．函數的最大值和最小值 最大值 最小值 前提 設函數的定義域為，如果存在實數滿足 條件 (1)對任意，都有 ； (2)存在，使得 (1)對任意，都有 ； (2)存在，使得 結論 ___________是函數的最大值 ___________是函數的小值 1．下列函數中，在區(qū)間(0，2)上為增函數的是 A. B. C. D. 2．若函數，則其在上是 (填“增函數”或“減函數”). 3．已知函數，則與的大小關系為 . 4．函數，，則的最大值為 A.-1 B.0 C.3 D.-2 5．若函數在[1，2]上的最大值與最小值的差是2，則 A.2 B.-2 C.2或-2 D.0 6．函數，，則的最大值為 ；最小值為 . 知識拓展 探究案 【合作探究】 1．函數單調性的定義與單調區(qū)間 根據下面的圖象探究下列問題. (1)圖①中任取，，當時與的大小關系如何？圖②昵？ (2)圖①，圖②分別反映了函數的什么性質？ (3)如果在函數中有，能否得到函數為增函數？ (4)若函數在上是增函數，，則在上是什么函數？ 2．函數單調性的定義與單調區(qū)間 根據函數單調性的定義，思考下列問題： (1)在函數單調性的定義中能否將“任取，”改為“任取，”？ (2)在函數增減性的定義中，的符號與的符號之間有什么關系？ 3．函數的最大(小)值 根據提示完成下面的問題，明確函數的單調性與最值的關系： (1)若函數在區(qū)間上是單調遞增的，則函數的最大值是 ；最小值是 . (2)若函數在區(qū)間上是單調遞減的，在區(qū)間上是單調遞增的，則函數在區(qū)間上的最小值是 ；最大值是 . 4．函數的最大(小)值 請根據函數最大(小)值的定義探究下面的問題： (l)定義中的應滿足什么條件？ (2)該定義中若只滿足第一條，是不是函數的最大(小)值？ 【教師點撥】 1．對函數單調性和單調區(qū)間的三點說明 (1)任意性；“任取，”中的“任取”二字不能去掉，更不能用兩個特殊值替換. (2)確定性：，有大小之分且屬于同一個單調區(qū)間，通常規(guī)定. (3)區(qū)間表示：函數的單調區(qū)間是函數定義域的子區(qū)間，兩個單調區(qū)間要用“，”或“和”連接，而不能用“”連接. 2．對函數最大值、最小值的四點說明 (1)最值中一定是一個函數值，是值域中的一個元素. (2)最值定義中的兩條缺一不可，必須同時滿足時，是函數的最值. (3)求函數的最值一般是先判斷函數的單調性，然后再求最值. (4)幾何意義：如圖函數圖象最高點的縱坐標即為函數的最大值，函數圖象的最低點的縱坐標即為函數的最小值. 【交流展示】 1．已知的圖象如圖所示,則的增區(qū)間是 ,減區(qū)間是 . 2．作出函數的圖象,并指出函數的單調區(qū)間. 3．函數有如下性質：若常數,則函數在上是減函數,在上是增函數.已知函數(為常數),當時,若對任意,都有,則實數的取值范圍是 . 4．已知函數. (1)若的單調減區(qū)間為,求的取值范圍. (2)若在區(qū)間上為減函數,求的取值范圍. 5．如圖為函數，的圖象，則它的最大值為 ；最小值為 . 6．求函數的最小值. 7．函數在區(qū)間()上有最大值9，最小值-7，則 , . 8．設函數，，為常數，求的最小值的解析式. 【學習小結】 1．求單調區(qū)間的三個注意點 注意點一：求函數的單調區(qū)間時，要先求函數的定義域； 注意點二：對于一次函數、二次函數、反比例函數的單調區(qū)間作為常識性的知識，可以直接使用； 注意點三：函數圖象不連續(xù)的單調區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“”連接. 2．利用定義證明函數單調性的變形技巧和步驟 (1)變形技巧： ①因式分解：當原函數是多項式函數時，常進行因式分解. ②通分：當原函數是分式函數時，作差后通分，然后對分子進行因式分解. ③分子有理化：當原函數是根式函數時，作差后往往考慮分子有理化. (2)四個步驟： 提醒：利用定義證明函數單調性，作差變形要“徹底”，也就是說要轉化為幾個因式相乘的形式，且每個因式都能夠利用題設條件判斷其符號. 3．由單調性求參數取值范圍的兩種方法 (1)定義法：借助函數的定義，根據結合函數單調性的定義，建立與 的關系. (2)圖象法：借助函數圖象的特征，例如二次函數的圖象被對稱軸一分為二，根據對稱軸相對于所給的單調區(qū)間的位置求參數的取值范圍. 提醒：求函數中參數的取值范圍問題中，將函數單調性的大小關系轉化為參數大小關系的同時注意函數的定義域. 4．求函數最值的三種方法 (1)觀察法：對于簡單的初等函數，如一次函數、二次函數、反比例函數，可以依據定義域求出值域，觀察得出. (2)圖象法：對于圖象較容易畫出的函數的最值問題，可借助于圖象直觀求出. (3)單調性法：對于較復雜的函數，可利用單調性的判斷方法，判斷出函數的單調性，然后 求最值. 提醒：利用單調性求最值時，一定要先確定函數的定義域. 5．求二次函數在指定區(qū)間上最值的方法及三點注意 (1)常用方法：利用二次函數的單調性結合對稱軸與區(qū)間的位置關系.分三種情況： ①對稱軸在區(qū)間左側；②對稱軸在區(qū)間內；③對稱軸在區(qū)間右側. (2)求二次函數最值的三點注意： ①注意開口方向，即與0的關系； ②注意對稱軸，的位置； ③注意所給定的區(qū)間，即對稱軸與區(qū)間的關系. 【當堂檢測】 1．已知函數在上是減函數,則實數的取值范圍為 A.[2,3) B.(1,3) C.(2,3) D.[1,3] 2．已知函數(l). (2).(3).上述函數中在 區(qū)間上為增函數的有 . 3．某市一家報刊攤點，從該市報社買進該市的晚報價格是每份0.40元，賣出價格是每份0.60元，賣不出的報紙以每份0.05元的價格退回報社.一個月按30天算，其中有18天每天可以賣出400份，12天每天只能賣出180份，攤主每天從報社買進　　　　　　份，才能使每月獲得最大的利潤. 4．作出函數的圖象,并寫出其單調區(qū)間. 1.3.1單調性與最大（?。┲? 詳細答案 課前預習 預習案 【自主學習】 1．(1)增函數或減函數　(2)區(qū)間D 2．任意　f(x1)＜f(x2)　f(x1)＞f(x2) 3．(1)≤　(2)＝ (1)≥　(2)＝　M　M 【預習評價】 1．B 2．增函數 3．＞ 4．C 5．C 6．1　 知識拓展 探究案 【合作探究】 1．(1)由圖①可知函數y＝f(x)圖象隨x的增大而“上升”，即x1＜x2時，f(x1)＜f(x2).圖②中函數y＝f(x)圖象隨x的增大而“下降”，即x1＜x2時，f(x1)＞f(x2). (2)圖①②反映了函數的單調性，其中圖①對應的函數為增函數；圖②對應的函數為減函數. (3)不能，函數單調性的定義中任取x1，x2，當x1＜x2時，f(x1)＜f(x2)，則函數y＝f(x)為增函數，而1和2只是定義域上的兩個特殊值，不能說明對任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，所以由f(1)＜f(2)得不到函數為增函數. (4)增函數. 2．(1)當函數在定義域上單調時，是可以的，當函數在定義域上有增有減時不可以. (2)當函數是增函數時，x1－x2與f(x1)－f(x2)的符號相同；當函數是減函數時，x1－x2與f(x1)－f(x2)的符號相反. 3．(1)f(b)　f(a) (2)f(b)　f(a)或f(c) 4．(1)M是一個函數值，即存在一個元素x0，使M＝f(x0). (2)M不一定是最大(小)值，如函數f(x)＝－x2(x∈R)，對任意x∈R，都有f(x)≤1，但1不是函數的最大值，因為不存在x0∈R，使f(x0)＝1. 【交流展示】 1．[-1.5,3),[5,6) [－4,－1.5),[3,5),[6,7] 2．圖象如圖所示,可得(－∞,－3]為遞減區(qū)間,(3,＋∞)為遞增區(qū)間,而f(x)在(－3,3]為常函數. 3．[12,20] 4．(1)由題意知得. (2)由f(x)在區(qū)間(－∞,4)上為減函數,說明(－∞,4)只是函數f(x)的一個減區(qū)間.當a＝0時,f(x)＝－2x＋2在(－∞,4)上單調遞減,故成立. 當a≠0時,由,得. 綜上可知. 5．3　－1 6．f(x)有意義，則滿足，得. 則f(x)的定義域為， 任取且x1＜x2， 則 ， 所以f(x1)＜f(x2)，所以f(x)是增函數，則f(x)的最小值為. 7．－2　0 8． 【當堂檢測】 1．A 2．y＝2x－1 3．180 4． 即 作出圖象如圖所示.由圖象可知函數的單調增區(qū)間為(－∞,－1]和[0,1],單調減區(qū)間為(－1,0)和(1,＋∞).