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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2-3-3第3課時(shí) 雙曲線的綜合應(yīng)用同步檢測(cè) 新人教版選修2-1
一、選擇題
1．如圖，橢圓C1，C2與雙曲線C3，C4的離心率分別是e1，e2，e3與e4，則e1，e2，e3，e4的大小關(guān)系是( )
A．e2
0，b>0)，依題意c＝，
∴方程可化為－＝1.
由得，
(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝.
∵＝－，∴＝－，解得a2＝2.
故所求雙曲線方程為－＝1，故選D.
3．若ab≠0，則ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲線只可能是下圖中的( )
[答案] C
[解析] 方程可化為y＝ax＋b和＋＝1.從B，D中的兩橢圓看a，b∈(0，＋∞)，但B中直線有a<0，b<0矛盾，應(yīng)排除；D中直線有a<0，b>0矛盾，應(yīng)排除；再看A中雙曲線的a<0，b>0，但直線有a>0，b>0，也矛盾，應(yīng)排除；C中雙曲線的a>0，b<0和直線中a，b一致．應(yīng)選C.
4．(xx濰坊模擬)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，過(guò)F1作傾斜角為30的直線交雙曲線右支于M點(diǎn)，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 在直角△MF1F2中，∠F1F2M＝90，∠MF1F2＝30，|F1F2|＝2c，于是＝cos30＝，＝tan30＝，從而有|MF1|＝c，|MF2|＝c，代入|MF1|－|MF2|＝2a，得c＝2a，故e＝＝，故選B.
5．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為( )
A．(1,3) B．(1,3]
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
[答案] B
[解析] 由雙曲線的定義得，|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|＝4a，∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
∴6a≥2c，≤3，故離心率的范圍是(1,3]，選B.
6．已知F1、F2是兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是以F1和F2為公共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，并且PF1⊥PF2，e1和e2分別是上述橢圓和雙曲線的離心率，則有( )
A.＋＝4 B．e＋e＝4
C.＋＝2 D．e＋e＝2
[答案] C
[解析] 設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為m，則
①2＋②2得：2(|PF1|2＋|PF2|2)＝4a2＋4m2，
又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2代入上式得4c2＝2a2＋2m2，
兩邊同除以2c2得2＝＋，故選C.
7．(08山東)設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26.若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] A
[解析] 由已知得橢圓中a＝13，c＝5，曲線C2為雙曲線，由此知道在雙曲線中a＝4，c＝5，故雙曲線中b＝3，雙曲線方程為－＝1.
8．已知a>b>0，e1，e2分別為圓錐曲線＋＝1和－＝1的離心率，則lge1＋lge2的值( )
A．大于0且小于1 B．大于1
C．小于0 D．等于0
[答案] C
[解析] ∵lge1＋lge2＝lg＋lg＝lg0，b>0)的左、右焦點(diǎn)．若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的漸近方程為( )
A．3x4y＝0 B．3x5y＝0
C．4x3y＝0 D．5x4y＝0
[答案] C
[解析] 如圖：
由條件|F2A|＝2a，|F1F2|＝2c
又知|PF2|＝|F1F2|，知A為PF1中點(diǎn)，由a2＋b2＝c2，有|PF1|＝4b由雙曲線定義：
|PF1|－|PF2|＝2a，則4b－2c＝2a
∴2b＝c＋a，又有c2＝a2＋b2，(2b－a)2＝a2＋b2，
∴4b2－4ab＋a2＝a2＋b2
3b2＝4ab，∴＝，
∴漸近線方程：y＝x.故選C.
二、填空題
11．設(shè)中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線2x2－2y2＝1有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該橢圓的方程是________．
[答案]?。珁2＝1
[解析] 雙曲線為－＝1.
∴雙曲線的焦點(diǎn)為(1,0)和(－1,0)，離心率為.則橢圓的離心率為，又e＝＝，c＝1，
∴a＝，b＝1.∴橢圓的方程是＋y2＝1.
12．過(guò)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率等于____________．
[答案] 2
[解析] 由題意得，a＋c＝，
即a2＋ac＝b2，a2＋ac＝c2－a2，
∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0.
解得e＝2或e＝－1(舍去)．
13．雙曲線－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上，若PF1⊥PF2，則點(diǎn)P到x軸的距離為_(kāi)___________．
[答案] 3.2
[解析] 設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>n)，∴a＝3，b＝4，c＝5.由雙曲線的定義知，m－n＝2a＝6，
又PF1⊥PF2.
∴△PF1F2為直角三角形．
即m2＋n2＝(2c)2＝100.
由m－n＝6，得m2＋n2－2mn＝36，
∴2mn＝m2＋n2－36＝64，mn＝32.
設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d，
S△PF1F2＝d|F1F2|＝|PF1||PF2|，
即d2c＝mn.∴d＝＝＝3.2，
即點(diǎn)P到x軸的距離為3.2.
14．(xx北京理，13)已知雙曲線－＝1的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______；漸近線方程為_(kāi)_______．
[答案] (4,0) y＝x
[解析] 雙曲線焦點(diǎn)即為橢圓焦點(diǎn)，不難算出為(4,0)，又雙曲線離心率為2，即＝2，c＝4，故a＝2，b＝2，漸近線為y＝x＝x.
三、解答題
15．求以橢圓＋＝1的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，3)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
[解析] 橢圓＋＝1長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)為A1(－5,0)，A2(5,0)，則雙曲線的焦點(diǎn)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，由雙曲線的定義知，
|PF1|－|PF2|
＝－
＝－＝8，
即2a＝8，a＝4，c＝5，∴b2＝c2－a2＝9.
所以雙曲線的方程為－＝1.
16．直線l被雙曲線－＝1截得弦長(zhǎng)為4，其斜率為2，求直線l在y軸上的截距．
[解析] 設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m，
由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.
設(shè)直線l與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，
由韋達(dá)定理，得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．
又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，
∴y1－y2＝2(x1－x2)，
∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2
＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝5[m2－4(m2＋2)]
∵|AB|＝4，∴m2－6(m2＋2)＝16.
∴3m2＝70，m＝.
17．設(shè)P點(diǎn)是雙曲線－＝1上除頂點(diǎn)外的任意一 點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，c為半焦距，△PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2切于點(diǎn)M，求|F1M||F2M|之值．
[解析] 如圖所示．P是雙曲線上任一點(diǎn)(頂點(diǎn)除外)，由雙曲線定義得|PF1|－|PF2|＝2a，
根據(jù)切線定理，可得|F1M|－|F2M|＝|PF1|－|PF2|＝2a.
又|F1M|＋|F2M|＝2c，
∴當(dāng)P在雙曲線左支上時(shí)，|F1M|＝c－a，|F2M|＝c＋a.
當(dāng)P在雙曲線右支上時(shí)，|F1M|＝c＋a，|F2M|＝c－a.
故|F1M||F2M|＝c2－a2＝b2.
18．已知直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1交于A、B兩點(diǎn)．
(1)若以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值，
(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)？若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
[解析] (1)由消去y得，
(3－a2)x2－2ax－2＝0①
依題意
即－
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